追求概念教学的自然高效——以“平面向量的概念与表示”教学为例

冷永飞

江苏省苏州市吴中区苏苑高级中学 215100

数学概念作为数学学科的基础，是教学的核心，它的教学成效对学生的数学学习有着直接影响.《普通高中数学课程标准（2017年版）》对数学概念与核心素养的关系有了明确的阐述，但仍有部分教师难以掌握新课标所提出的要求，常常误解教材的实际意图，忽视概念教学过程中学生思维的启发与引导，导致学生无法透彻理解概念的内涵与外延，使得教学活动无法进入深层次，只能漂浮于知识表浅层面.

为了有效地启发学生的数学思维，让学生自主突破概念的本质，提高教学效益.本文以“平面向量的概念与表示”教学为例，借助课堂教学活动的开展，引领学生充分认识与向量相关的概念，深入概念内在逻辑系统与意义领域，让学生充分感知平面向量概念的内涵与外延，从真正意义上实现概念教学促进学生有效发展的价值，为促进学生形成良好的数学核心素养夯实基础.

课前教学分析

长期以来，受综合因素的影响，不少教师存在“重解题，轻概念”的教学偏见.殊不知，概念是形成数学抽象能力的基础，是促进学生数学核心素养形成与发展的根本.“平面向量的概念与表示”对于高中生而言，并不难理解，但要在思维上水到渠成地掌握其本质，尚需一番研究.

结合美国匹兹堡大学关于数学课堂高思维水平保持方法的研究与学生的实际情况，本节课从以下七条概念教学基本准则进行了思维启发，以促进概念的自然形成：第一条，为推理和数学思维铺设台阶；第二条，提供元认知方法，促进学生的理解；第三条，高水平的操作示范；第四条，对解释、证明、意义进行着重强调；第五条，将任务建立在学生原有认知水平基础之上；第六条，建立相关概念间的联系；第七条，让学生感知思维的发展对概念形成的帮助［1］.

根据以上七条准则，笔者精心设计了相应的教学方案，现摘录教学过程，谈一些看法与思考，与同人共勉！

教学简录

1.抽象概念

众所周知，问题是数学的心脏，也是概念教学的起点.在概念引入环节设置“问题串”，能有效地激发学生的思维，让学生拥有明确的思考方向，为自然地抽象出概念做铺垫.

问题1：利用PPT展示5只手掌与5个苹果，引导学生感知数“5”（数学源于生活）.

问题2：利用图文并茂的方式，展示著名的毕达哥拉斯学派的主要学说，提出：“是否能用数表达任意对象？”（万物皆数）

问题3：利用图像与文字结合的方式，展示成语“退避三舍”，提出：“是否可用一个数来表达‘只退三舍’的命令？”（引用成语故事）

问题4：展示近期气象台所提供的天气分析气流图，找出某城市所在位置上呈现出的刷子形状，该形状表示什么？

针对以上四个问题，学生认为问题2、问题3两问无法直接用数来表达，问题4中的刷子形状表示风向和风力.

师：问题4涉及的风向和风力所蕴含的实际意义，是否能用一个准确的数来表达？

生1：不能.

师：从以上几个问题来看，并不是所有的对象都可以用数来表达，当我们遇到类似以上无法用数表达的对象时，该怎么办呢？大家在物理学科中有没有遇到过类似的概念？

生2：物理学科中的力、速度、位移、加速度等.

师：联系数学学科与物理学科，我们发现这些无法用数直接表示的对象存在什么共同点？

生3：既存在方向又存在大小.

师：类似这样的量，无法直接用数来表达，但从不同的对象中获取相似信息时，可抽象出新的对象.现在我们一起来探讨既有方向又有大小的量，这种对象该用什么方式来表达更合理呢？（引出向量）

评析：以上四个问题的提出到向量概念的引入，共花费了4分钟的时间，符合概念教学基本准则.四个问题的设计，以学生所熟悉的生活为起点，引导学生自主抽象出数，再带领学生从一般到特殊，感知并非所有的生活对象都能用数来表达.这是为学生的思维铺设台阶，让学生在“问题串”的引导下，发现新的研究对象.

纵览以上几个问题，发现这些问题蕴含了丰富的内容，有生活、数学文化等，逐层递进的问题让学生的思维拾级而上，学生通过问题的逐个分析，不仅对本节课所学内容有了更加深刻的印象，还能对向量的概念进行高度概括与精准表达.

2.探究概念

师：我国文化源远流长，我们可以用文字来表达各种事物与现象，那么对于一些特殊的数学对象，可以用什么方法来表示呢？比如我们在方格纸上画出A到B的向量，该怎么表达呢？

学生到黑板上作图演示，以A为起点、B为终点，画一段带有箭头的线段.

师生共同总结此图即为向量的几何表达方式.此过程虽然清晰，容易理解，却少了一些数学味.因此，结合教材提示，学生提出用箭头记号的方式来表示向量（如）或用字母a，b，c，…表示.

生4：例如我们所熟悉的用绝对值表示两点间的距离.

师：不错！我们可以将绝对值符号用于“以A为起点、B为终点”的线段吗？

学生思考，纷纷点头表示可以，但使用绝对值符号来表示向量的大小与两点间的距离具有怎样的区别呢？

经过探索，获得结论：将向量的大小理解为向量的模或长度，可记作同样，a的模可以记作

问题5：向量之间是否可以比大小？怎么确定向量的模的取值范围？

为了突破这个问题，学生对不同大小和方向的向量进行了观察和研究，一致认为：向量之间无法比大小，向量的模的取值范围是［0，+∞）.

问题6：从向量的模的取值范围出发，零向量为长度为零的向量（记作0），单位向量是指长度为一个单位长度的向量.那么，零向量与单位向量具备怎样的方向特征？

经讨论，学生一致同意以A为起点的单位向量，其终点均在一个单位圆上；但对于零向量的方向，学生呈现出了不一样的意见.

此时，教师带领学生总结出起点与终点重合是零向量的特征，同时其方向并不固定，是任意方向.

师：现在我们都明确了向量既有大小又有方向，那么究竟该如何描述向量的方向呢？如向量，我们认为它的方向为从A指向B，除此之外，还有什么方法可以进行更加系统、完整的描述呢？比如说咱们将教室里的黑板视为地图，上方为正北，该如何描述的方向？

操作：要求几位学生到黑板上作图，大家一起讨论相等向量、平行向量、相反向量的概念，并阐述各个向量所蕴含的实际意义，将讨论结果填入表1.

表1

评析：此过程为向量概念的探究过程，涉及概念教学七条准则中除了第四条外的所有准则.教师通过对思维阶梯的铺设，学生获得了元认知，使得学生自然而然地对向量的几何表示法产生了形象的理解（用箭头记号或字母表示向量）.此操作过程由学生自主参与，建构了向量的模的概念，并获得了向量的模的主要特点，彰显了数学教学“以生为本”的理念.

表1不仅总结了各类向量的描述方法，并让学生对各类向量有了更为系统的认识.当学生对向量的大小和方向有了明确的体悟后，教师再引导学生逐个总结各类向量的描述方法，让学生在自身原有的认知结构的基础上对每种向量都产生了更深刻的认识.

3.辨析概念

辨析1：判断以下说法正确与否.

①温度为向量；②0为向量；③零向量的长度为0，可以为任意方向；④是否为相等的关系，与a，b的方向没有任何关系.

辨析2：判断以下说法正确与否.

①如果两个向量的模是相等的，那么这两个向量必然也相等；②模相等的两个平行向量必然是相等向量；③如果a=b，b=c，那么a=c；④任何向量与它的相反向量都不相等.

辨析3：判断以下说法正确与否.

辨析4：判断以下说法正确与否.

①模为0的向量为零向量；②向量之间不可以比大小；③若向量a，b为非共线的关系，那么a，b均为非零向量；④起点相同的两个非零向量一定不平行.

4.经典例题

例1如图1所示，点O是正六边形ABCDEF的中心点，观察图中所标出的向量.问题：（1）与共线的向量有哪些？（2）与相等的向量有哪些？（3）和是相等的关系吗？

图1

例2如图2所示，在4×5的方格上，存在向量，若以图中所示的格点作为起点与终点作向量，有多少向量与相等？与向量长度相等的共线向量存在多少个？（不包含本身）

图2

评析：概念辨析过程是理清知识脉络的过程，学生通过对概念的辨析，不仅能强化对概念本质的认识，还能为后继灵活应用奠定基础.在辨析概念中，教师将班级成员分为四组，学生可以选择相应的题组进行回答.不难发现，四组问题分别对应向量概念、相等向量、共线向量、零向量的理解过程.

经典例题的应用，能让学生对概念的内涵与外延产生更加深刻的理解，为形成良好的解题技巧奠定基础.此环节，教师让学生自主作图，鼓励学生通过对向量的几何表示，理解共线向量和相等向量，这里涉及概念教学七条准则中的第四条和第七条.当学生的思维遇到障碍时，教师并不急于揭示正确答案，而是结合课堂教学重点，强调概念的内涵，让学生在充裕的时间和空间内思考分析，引导学生自主获得结论.

课堂分析与思考

结合七条概念教学基本准则，本节课在概念探究的环节中，存在6个促进高阶思维形成的教学方法，其中，发现问题（概念引入）中存在4个，数学联结（辨析）中存在2个.多个高阶思维水平的启发，让学生从最大程度上理解了向量的概念，自然而然地抽象出了概念的本质，并在概念辨析环节让课堂教学达到了高潮.另一方面，每个探索环节，教师都给予了学生充足的时间和空间，提供了充分的获得元认知的方法，让学生在高水平的示范操作中，自主抽象、理解并内化概念.

以上教学过程对七条概念教学基本准则把握得较为合理，从一定程度上保持并启发了学生的数学思维，让学生的思维水平上升到了一个较高的阶段.毋庸置疑，课堂教学效果也较为显著，堪称利用概念教学启发学生思维的典范.

概念教学是数学教学的核心，是注重过程的教学，应避免平铺直叙结论式教学带来的枯燥、乏味.“问题串”是启发学生思维的载体，教师在概念教学中，不要急于呈现出结论，应为学生搭建更多的平台，给予学生更多的表达机会，通过梯度问题的设置，推动学生的探索欲，让学生自主发现、分析并解决问题，让数学知识的内在联系充分暴露在学生面前，升华学生对概念的理解［2］.

概念教学基本准则的前四条，既彰显了教师的示范水平，又展示了学生高阶思维能力.因此，在教学过程中，教师应尽可能地帮助学生建构新知与旧知之间的联系，鼓励学生在自主分析和思考中抽象出相应的概念，亦可通过变式训练等方式强化学生对概念的理解.概念教学基本准则的后三条，虽然容易实现，却容易被忽略.

总之，概念教学是高中数学教学的关键，是培养学生数学核心素养的最佳途径.每位一线数学教师都应从思想上重视概念教学，从行动上着手概念教学的研究，为学生搭建更优的学习平台，让每位学生都能在概念学习中获得可持续性发展的学习能力.