基于差分粒子法的复杂曲面轮廓度误差评定

胡学敏，杜 娟，闫献国，智红英，雍博皓

(太原科技大学 机械工程学院，太原 030024)

在航空航天、医疗诊治、生活家电、汽车装备等涉及到高精度需求时，大部分零件曲面复杂多样，曲面形状所需精度要求较高，例如汽轮机叶轮叶片、螺旋桨、汽车模具，这些曲面零件的质量直接影响国家机械行业的发展水平，各种机械制造业中的零件都会涉及到复杂曲面的质量检测[1]。传统常见的轮廓度误差评定采取最小二乘法[2]，但由于其得到的误差比较大，复杂曲面零件质量得不到较好评估引起浪费，因此找到一种计算简便、效率高的评定误差的方法极其重要。目前我国选用最小区域法[3]对复杂曲面进行轮廓度误差评定，这样可以提高曲面的利用价值。传统的优化测点位置方法如梯度下降法、牛顿法等容易使优化结果受局部控制，且不适用于复杂曲面优化问题；文献[4]采用差分进化算法对理论面与实际曲面进行优化匹配，文献[5]采用粒子群算法对测点与理论曲面进行优化匹配，这些算法可以解决类似曲面中的复杂函数优化问题，适当地改善了传统优化算法的缺点。但如果单独使用差分进化法其全局搜索能力较弱[6-7]，单独使用粒子群算法容易使得算法在刚开始时收敛速度变快，很容易使优化结果受局部控制。基于以上这些问题，本文提出了一种差分进化粒子群混合算法用来优化实际测量点的移动旋转位置，该算法计算精度高、时间少、收敛速度快，结合了差分进化法和粒子群法的优点，避开了两种算法的缺点，适用于复杂曲面轮廓度误差求解这类非线性优化问题[8-9]，最终结合廖平[10]的分割曲面逼近算法用于计算复杂曲面的轮廓度误差。

1 复杂曲面轮廓度误差评定的含义

检测复杂曲面的质量也就是通过对比加工后的实际测量出的曲面与理论设计出的曲面之间的形状误差，曲面的轮廓度误差指的是包围实测曲面轮廓的两个同等距离的理论曲面轮廓之间的最小距离。采用最小区域法评定复杂曲面的轮廓度误差数学模型如下，根据其数学表达式，曲面误差评定模型包含两方面：点到曲面最小距离的计算、实测曲面与理论曲面的优化匹配。

(1)

公式中dj(Δx，Δy，Δz，α，β，γ)为原来的实际测量点(xj，yj，zj)经过坐标平移旋转转换后得到新的实际测量点(xj*，yj*，zj*)到理论曲面的最小距离。

2 分割曲面逼近法计算最小距离

图1 均分理论曲面形成网格节点Fig 1.Evenly divide theoretical surfaces to form mesh nodes

图2 实际测量点到理论曲面片端点的最小距离Fig.2 The minimum distance from the measuring point to the end point of the theoretical surface

以上是一般情况，在特殊情况下，当矩形顶点A位于理论曲面的四条轮廓边上时，小曲面∑k(t)的取值区域如下：

当vjc(t)=0，则v∈[0，1/N(t)]；当vjc(t)=1，则v∈[1-1/N(t)，1].

(3)判断分割值1/N(t)得到的距离差是否小于计算精度。若分割值1/N(t)得到的距离与分割值1/N(t-1)得到的距离之差小于计算精度，那么这一轮循环到此为止，这时计算得到的数值即为实际测量点到理论曲面的最小距离。如果分割值1/N(t)得到的距离与分割值1/N(t-1)得到的距离之差大于计算精度，需要继续分割曲面重复第(2)步，继续求解，最终达到所需的精度要求。

3 差分进化粒子群混合算法

差分进化法操作过程少、计算精度高，但全局搜索能力较弱。粒子群法容易使得算法在刚开始时收敛速度变快，很容易使优化结果受局部控制。为了得到搜索精度高且计算速度快的优化算法，我们将在已有的差分进化算法中加入粒子群算法作为辅助变异算子，也就是将这两种算法结合成为差分进化粒子群混合算法。

3.1 差分进化法

进化流程包括变异、交叉和选择操作，只是三种操作顺序及计算公式有差别。其原理就是NP个种群个体在D维空间由参数向量xi，j(i=1，2，…，NP;j=1，2，…，D)不断进化筛选个体留下适应能力更好的个体。

(1)变异操作

变异表达式如下：

(2)

此时r1，r2，r3∈{1，2，…，NP}且r1≠r2≠r3≠i，式中F为缩放因子，缩放因子按照标准取值范围为[0，2].

(2)交叉操作

(3)

(3)选择操作

(4)

3.2 粒子群算法

粒子群优化算法的生物原理实际上是来自于对一群小鸟捕捉食物的情景模拟，一般采用的是速度-位置搜索模型，由NP个种群个体在D维空间不断调整自己的位置及速度首先随机产生初始种群，且每个粒子都设定一个随机速度。因此每个粒子的速度和位置由下式给出:

(5)

(6)

3.3 差分粒子群混合算法

差分粒子群混合算法刚开始的步骤是使用差分进化算法先进行变异选择操作，若选择后产生的个体满足公式(2)，则包括在群体内，否则进入下一步粒子群算法中进行更新群体粒子的最佳位置与速度，然后再进入差分进化算法操作中的交叉选择操作。一直不断地重复迭代该步骤直到达到最佳值。在差分进化算法中加入粒子群算法使得进化的粒子更加多样化，其算法流程如图3所示：

图3 差分进化粒子群算法流程Fig.3 Differential evolution particle swarm algorithm process

4 分割曲面逼近法与差分粒子群算法相结合进行曲面轮廓度误差评定

复杂曲面的轮廓度误差评定的具体步骤如下所示：

(1)设定差分粒子群算法控制参数，主要包括种群规模粒子数NP、变异算子F、交叉算子CR、惯性因子ω、学习因子c1和c2、最大进化代数Gm等。

(2)初始化粒子种群。随机初始化6 个平移旋转变化量(Δx，Δy，Δz，α，β，γ)，初始化范围一定要在这6 个变量取值范围之内，这样就形成了一个六维的参数向量，接着NP个这样的粒子形成了初始种群Q(G)，此时G=0，同时随机初始化这些粒子群体的位置及其对应的速度，然后利用分割曲面逼近方法计算初始种群中每个粒子的目标函数值，进而就得到了所有粒子的最优位置。

(3)初始种群Q(G)中的个体经过变异得到临时种群，然后利用分割曲面逼近方法，计算该临时种群中每个个体的目标函数值。

(4)对临时种群和当前种群Q(G)进行选择操作，若是选择得到的粒子是经过变异操作则包含在下一代种群内，否则对粒子进行更新位置和速度如式(5)和式(6)，从而使种群粒子到达最好位置，得到下一代种群Q(G+1).

(5)对下一代种群中的粒子进行交叉、选择操作。

(6)求解最终计算结果。看进化代数是否满足设定值Gm，如果满足设定值Gm，那么该进化循环结束，这时所有个体的目标函数值中的最小值作为解输出；如果没有满足设定值Gm，那么重复第(3)步。直到满足情况，这时最终的输出值则为所求的复杂曲面轮廓度误差值。

5 实例计算及其分析

本文对五轴加工的S形复杂曲面的一部分使用MATLAB软件编程进行轮廓度误差值计算，其基于NURBS描述的理论三维模型如图4所示，所测实际加工的曲面如图5所示。本实验采用WALE轮廓仪V1.0-1000系列，其测量原理是为直角坐标测量法，即通过X轴、Z1轴传感器，测绘出被测零件的表面轮廓的坐标点。由于该仪器只能测二维方向的数据点，对于本次实验对象为三维曲面且曲面关于平面YOZ对称，所以只需要等Y轴间距测出五条轨迹曲线的数据点当作本次实验的曲面数据点即可。根据等间距采样原则，在曲面模型上等间距选取70 个采样点，对这些点进行轮廓仪测量如图6所示，形成70 个试验测量点。

图4 S形部分曲面三维模型Fig.4 S-shaped partial surface 3D model

图5 S形部分测量曲面Fig.5 S-shaped part measurement surface

图6 S形部分曲面测量轮廓仪Fig.6 S-shaped part curved surface measuring profiler

按照第四节中的计算曲面误差值的过程进行MATLAB编程计算，首先将控制参数设置如下：

种群大小NP=50；F=0.005；CR=0.7；Gm为50，Δx、Δy、Δz、α、β、γ的取值区域为[-0.1，0.1].经MATLAB计算，得到该曲面的轮廓度误差值为0.095 966 mm，而采用文献[4]介绍的差分进化法计算得到的轮廓度误差值为0.119 475 mm，采用文献[5]介绍的粒子群算法计算得到的轮廓度误差值为0.140 125 mm.从图7可以看出，差分粒子群混合算法刚开始时的起点与差分进化算法和粒子群算法大致相同，但其收敛速度相比于另外两种算法更迅速，到第15 代左右时就得到了比较好的计算结果，其结果更优，显示其跳出局部最优解的能力更强。所以本文方法能够得到更加精确的复杂曲面轮廓度误差值。

图7 三种算法迭代收敛对比曲线Fig.7 Comparison curve of iterative convergence of three algorithms

6 结论

提出一种差分进化粒子群混合算法结合分割曲面逼近算法来评定复杂曲面的轮廓度误差，该方法可对工程中生活中的复杂曲面进行质量检测，大大提高工程对其利用价值。

(1)采用分割曲面逼近法计算实测点到理论曲面的最短距离，该方法计算精度高，可进行具体操作。

(2)使用差分进化粒子群混合算法来优化实际测量点的位置，该方法结合了差分进化法全局搜索能力强的优点及粒子群法的局部搜素能力强的优点，在用来求解复杂曲面函数问题上更好地显示出算法的优点。

本文方法计算时间少且计算精度高于差分进化法和分割曲面逼近算法相结合及粒子群法和分割曲面逼近算法相结合这两种方法，具有一定的实用意义。