周期切换可修系统最优视情维修决策

罗元庚，张晓红，冯 泽

(1.太原科技大学经济与管理学院，太原 030024；2.太原科技大学工业与系统工程研究所，太原 030024)

在工业生产应用中，为保证生产的连续性和安全性，同时避免长时间的维修停机造成的高昂生产损失[1]，诸如矿井通风机、电厂火检冷却机等系统均设计为可切换式两设备冗余结构，采用离线切换式维修，在运行设备使用一定周期后切换至备用设备，两个设备交替使用，切换后在生产的同时再对切换下来的设备进行离线检修或保养后再使用。

由于此类可修系统中设备存在交替使用的特点，系统的故障特性由两个冗余设备的性能及退化特性共同决定。如何为可修系统安排合理的切换及维修活动，有效地提高系统可靠性，延长系统的使用寿命是一个值得研究的问题[2]。

已有许多学者针对可修系统开展了维修决策研究。和不可修系统的维修决策研究相似，前期的可修系统维修决策也多采用基于时间的维修建模理论，提出了基于失效次数的更换策略N[3]、基于使用时间的周期性更换策略T[4]和综合考虑失效次数和使用时间的(T，N)更换策略[5]。但基于时间的维修决策[6]易出现“过维修”或“欠维修”的情况。

视情维修通过对系统实际劣化程度的评估安排维修工作，减少不必要的维修。许多学者研究了可修系统的视情维修决策。如Zhu等[7]针对连续劣化的可修系统，引入联合维修周期，研究了视情维修策略的决策问题。Hossein Rahimi[8]制定了包含多种不同效果的多种维修方式的维修策略，建立了同时考虑劣化和冲击的视情维修决策模型。Alaswa[9]对随机劣化系统的视情维修优化模型进行了综述，归纳了单部件可修系统和多部件可修系统的建模方法。

修理效果决定了系统在维修后再投入再生产的潜在价值，维修效果通常为非完美的。Pham等[10]归纳了基于系统年龄的8种非完美维修建模方法。视情维修策略中的非完美维修效果建模多是参考前期基于时间维修策略下的建模方式衍生改进的。文献[11-12]建立了可修系统的随机非完美维修模型。徐立新[13]用确定的维修因子描述可修系统的视情非完美维修效果。李志强[14]针对马尔科夫多状态可修系统，建立了视情非完美维修决策模型。Mercier[15]针对可修系统比较了役龄递减和状态算术递减的两种非完美维修模型。

本文针对需周期切换且状态可测的可修系统，制定了切换式离线视情维修策略，引入维修资源投入度的概念，分析了维修资源投入度对修理效果、修理时间和修理成本的影响关系模型，建立了有限时间范围内以平均费用率最小为目标的解析模型，并采用遗传算法进行优化，得到了最优切换周期、预防性维修阈值和维修资源投入度。

1 系统描述

本文关注的是由一用一备两个设备组成的切换式可修系统，运行设备的故障会导致整个系统的故障，其劣化可近似表征系统的劣化特性。

1.1 系统劣化建模及假设

由于两个设备通常相同或相似，可假设具有相同的劣化特性，其劣化过程定义如下：

(1)设备在运行过程中发生单调累积劣化，其劣化水平是一个可检测的随机量，其劣化过程形成了一个连续随机过程{Z(t)，t≥0}；

(2)设t时刻设备的劣化状态为Xt.t=0时刻，部件全新，X0=0，Xt随时间不断增大，当Xt超过预先设定的故障阈值Df时，设备发生累积劣化故障，该故障不会导致系统直接停机，仅可通过检测发现，故障后设备可以继续劣化运行；

(3)设备任意第k个单位时间Δt的劣化增量ΔX(k)=XkΔt-X(k-1)Δt(k∈N)是服从概率密度函数为f(x)的非负稳定且独立的随机变量。则t个单位时间内的劣化增量服从概率密度函数为f(t)(x)的分布，f(t)(x)是f(x)的t次卷积。

1.2 切换式离线视情维修策略

对系统采用切换式离线视情维修策略，该策略下，运行设备与备用设备按照交替使用和修理，同一设备在相邻周期内被用作运行设备和备用设备。

分别用A和B表示系统的运行设备和备用设备，为设备定义了预防维修阈值Dp，一般认为0

(1)系统每运行T个单位时间，用备用设备对运行设备进行切换。单次切换成本为Cr，相比系统的运行时间，切换时间较短，故假设忽略；

(2)由检测设备对切换后的设备B的劣化状态进行检测，单次检测成本为Cins，检测为瞬间无损检测，和切换时间类似，检测时间假设忽略；

(4)因系统的修理时间和订购时间均具有随机性，若修理时间或订购时间大于系统运行时间T，则无法及时切换，为保证系统的安全生产，系统停机等待，单位时间产生停机损失Cd.

2 模型建立

选用系统的维修费用率最小作为目标，建立费用率决策模型。用R表示建模的时间范围，C(R)表示时间范围内的维修总成本，CR表示维修费用率，设R包含N个运行周期，由于系统可能停机，实际的周期长度R≥NT，决策模型定义如下：

(1)

切换周期T、预防维修阈值Dp、维修资源投入度W的大小会对系统的费用率目标产生直接影响。故将其作为决策变量。模型表示如下：

s.tT=1，2，…；0

(2)

(3)

则第k个周期产生的期望总费用为：

(4)

综上，N个周期的总费用为：

E(C(R))=N(Cr+Cins)+

(5)

任意第k个运行周期实际周期长度分析如下：

当k=1时，由于备用设备处于全新，没有停机可能性，故周期时间长度仅包含系统的正常运行时间T.

因此，N个运行周期总时间为：

(6)

则费用率模型可表示为：

minCR(t)=

s.t.T=1，2，…；0

(7)

3 系统状态的稳态概率模型

系统的劣化由两个设备的交替退化共同确定，且受到修理过程的影响。系统中的设备的交替劣化示意过程如图1所示。

图1 系统劣化状态转移及维修示意图Fig.1 system deterioration state transition and maintenance diagram

在系统第一个周期(k=1)和第二个周期(k=2)均使用全新的设备，故周期结束时系统的状态分布为初始分布Ω1(X)=Ω2(X)=f(T)(x).

第k(3≤k≤N)个运行周期开始时，系统是由第k-2个运行周期结束后切换后设备经过维修后再使用。因此，第k个运行周期结束时系统状态的概率分布可由第k-2个运行周期结束时设备的所有状态分析得到。第k-2个运行周期中对备用设备的处理方式有不维修、预防性维修以及报废处理三种。

(8)

(9)

利用式(10)正交近似数值求解规则对稳态密度函数计算。

(10)

令s(x)=f(T)(x)，采用Dmax对∞进行截尾，每一个正交点的近似方程可表示为：

(11)

其中，x/h=i，y/h=j，Dp/h=aDf/h=b，Dmax/h=c.用向量形式表示稳态概率密度函数的解Ωk=[Ωk(h)，Ωk(2h)，…，Ωk(ch)]T，则有:

Ωk=hK1Ωk-2+hK2Ωk-2+hK3Ωk-2

(12)

其中，

K1=

(13)

(14)

(15)

可通过递推方式求得Ωk的数值近似解。

4 维修资源投入度影响分析

系统的维修资源投入度直接影响修理任务完成所需的修理时间和修理成本，同时决定修理效果的好坏。

4.1 维修资源投入度与修理效果

通常，随维修资源投入度的增大系统的修理效果更佳，二者呈现单调递增的关系。本文的模型中，修理效果越好，修复后的状态值越小，即Q越趋近0，而修理效果越差，Q越趋近1.

若维修初期的资源投入对改善效果较为明显，而当修理效果达到一定程度，更多资源投入对效果的改善不明显时。如锂电池的充电过程和轧辊的修磨过程。因此，维修资源投入度与Q的关系可表征为图2中的曲线a.若维修初期受修理设备磨合和修理工技术熟练程度影响，修理效果改善不明显，而后期效果较好，则其关系可表示为图2中的曲线b.若Q随维修资源投入度匀速变化时，二者呈线性关系，如图2中的c.

图2 维修资源投入度与修理效果关系示意图Fig.2 The relationship between maintenance resource input degree and repair effect

4.2 维修资源投入度与修理成本、时间

维修资源投入度是维修资源投入的量化，维修资源使用越多，所付出的成本也越大。因此维修资源投入度与修理成本呈现单调递增关系。

由于维修时间具有随机性，故本文选择对修理时间期望与维修资源投入度之间的关系进行建模。维修资源投入度越高，在给定资源条件下耗时越长，故维修资源投入度与平均修理时间呈现一种单调递增关系。

5 数值实验

通风设备是保证煤矿安全生产的主要设备之一，矿井地面的通风机按规定一般均为两台，其中一台运行，一台备用，定期轮流倒换运行。通风机实际的性能随使用而逐渐改变。并且其性能指标可以通过传感器定期检测获得。随着设备的使用，通风装置不断耗损，导致风量减小，需要进行维修干预才能保证系统的风量。由此可见，矿井通风机的劣化是一个连续累积的退化过程，并且其劣化状态具有可检测性。本文以矿井通风机为对象，验证提出的维修决策和建立的模型的正确性及有效性。

5.1 稳态概率密度函数的数值求解

设单台设备在单位时间内系统劣化增量服从Γ(α，β)，则t个单位时间内的累积增量服从分布Γ(tα，β).选取实验数据α=1.2，β=2，T=10，Dp=15，W=0.6，N=20，Df=35，以非更换手段很难将设备恢复全新，故定义维修因子Q=v(W)=1-W2.

图4显示了不同运行次数的稳态概率密度函数Ωk(x)的近似数值解，其中用4Df对积分上限∞作截尾处理。由图可知随着系统运行次数k的增加，Ωk(x)均值明显右移，峰值在逐渐减小，系统单位时间内劣化增量的均值不断增大。

图4 不同运行次数的稳态概率密度近似解Fig.4 The approximate solution of stable probability density under different running times

(1)正确性分析

图5-图6显示了不同系统的劣化参数的Ωk(x)的近似数值解。随着形状参数α和尺度参数β的增大，系统单位时间的劣化增量均值增大。且由于β对单位时间劣化增量的方差是以平方级影响，故图形变化更为明显。

图5 β=2的稳态概率密度近似解Fig.5 The approximate solution of stable probability density when β=2

图6 α=1.2的稳态概率密度近似解Fig.6 The approximate solution of stable probability density when α=1.2

(2)有效性分析

基于制定的维修策略，每次仅改变某一个参数分析T、Dp、W对系统稳态概率密度函数的影响。

图7、图8显示了Ωk(x)闼鎀和Dp的变化情况。不难发现，随着T和Dp增大，系统的故障概率增大，且T对故障概率的影响较大。

图7 不同切换周期对应的稳态概率密度近似解Fig.7 The approximate solution of stable probability density under different switching periods

图8 不同预防维修阈值对应的稳态概率密度近似解Fig.8 The approximate solution of stable probability density under different preventive maintenance thresholds

图9显示Ωk(x)随W的变化情况。随着W的增大，系统的修理效果提升，故障概率降低。

图9 不同维修资源投入度对应的稳态概率密度近似解Fig.9 The approximate solution of stable probability density under different maintenance input degrees

以上实验结果表明，改变系统的T、Dp、W均会改变Ωk(x)的数值解，进而改变维修需求概率和修理效果等。

5.2 优化模型的近似解

假设Cp与W之间符合图3(a)中的曲线b的变化趋势，参考文献[16]定义修理成本Cp=ηe2W-1，其中η为成本基数。假设Cins=3，Cr=5，Cd=50，Cc=100，η=12，τo服从参数为30的指数分布。假设E(τm)与W之间符合图3(b)中的曲线c的变化趋势，参照文献[17]定义τm服从参数为(8，2-W)的威布尔分布，实验费用参数单位均为千元。

图3 维修资源投入度与修理成本、时间关系示意图Fig.3 The relationship between maintenance resource input degree，repair effect and time

(1)模型比较分析

为了验证维修资源投入度及切换式离线视情维修策略对维修成本的影响，将本文模型与传统在线视情维修模型和未考虑维修资源投入度的离线视情维修模型进行比较，实验结果如表1.实验结果表明，依据本文维修策略建立的解析模型能有效的降低系统维修费用率。

表1 不同模型最优维修策略及费用率Tab.1 The optimalmaintenance strategy and expense rate

(2)灵敏度分析

分别对成本参数Cr、Cins、Cd、Cc、Cp计算基数η进行增大或者缩小适当倍数的处理，分析该参数对最优维修策略参数的影响，其优化结果分别如表2至表6所示。

由表2可知，随着Cr增大，T随之增大，系统检测频率降低。Dp随之增大，减少预防性维修概率，降低修理费用，但由于检测周期和Dp的增大，系统故障风险增大，W提高，增强修理效果抵御风险。

表2 切换成本Cr对最优维修策略的影响Tab.2 The influence of switching cost Cron optimal maintenance strategy

由表3可知，随着Cins的增大，W随之减小，Dp随之增大，通过降低系统预防维修费用控制系统总费用率。同时，T对Cins变化不敏感。

表3 检测成本Cins对最优维修策略的影响Tab.3 The influence of inspection cost Cins on optimal maintenance strategy

由表4可知，随Cd的增加，T随之减小，系统检测频率增加，系统的劣化状态捕捉更及时，停机风险降低。W随之增大，预防维修的修理效果提升，以降低系统发生故障的概率。Dp降低，提高系统预防性维修的概率，降低系统发生故障的概率。

表4 停机成本Cd对最优维修策略的影响Tab.4 The influence of downtime cost Cdon optimal maintenance strategy

由表5可知，随着Cc的增加，T随之减小，系统检测频率增加，降低系统故障概率。Dp随之减小，提高预防性维修概率，减少系统故障概率，由于适当降低W，降低修理成本。

表5 报废处理成本Cc对最优维修策略的影响Tab.5 The influence of discard treatment cost Ccon optimal maintenance strategy

由表6可知，随着η的增加，W随之减小，降低系统的修理成本。Dp随之增大，减小预防性维修的概率。但由于修理效果和预防维修概率降低，T随之降低，系统检测频率增加，降低发生故障概率。

6 总结

本文针对需周期切换的可修系统，制定了切换式离线视情维修策略，考虑了维修资源投入度对修理效果、时间及成本的影响，推导了有限时间范围内各周期的稳态概率密度函数的计算模型，建立了以最小费用率为目标的决策模型。通过遗传算法优化，得到了系统全局最优的维修决策变量值。并以矿井通风机为案例进行了数值实验，实验结果表明，提出的离线视情维修策略能有效的降低系统的维修成本。