基于学科核心素养的高中数学新旧教材习题的比较研究——以解三角形为例

沈小雪 宋玉军

（佳木斯大学理学院 黑龙江佳木斯154000）

自2017版高中数学课标颁布以来，各省分批开始新一轮的课程改革。随着课改的不断深入，教材也随之发生改变。现在，我国高中普遍使用的数学教材共有5版，分别为人教A版、人教B版、北师大版、湘教版、苏教版，从而使我国形成一纲多版的局面。面对新课改提出的要求，人教A 版在解三角形部分进行了很大改变。在高中的数学知识体系中，解三角形具有重要地位，并且它也是高考常见题型之一。而习题部分，课前作为预习，能够了解本节要学习的内容；课上作为练习，能够巩固知识的学习；课后作为知识点的补充，能够检测学生的学习效果。因此，习题在一章当中成为不可或缺的一部分。综上，分析解三角形部分的习题是很有必要的。

1 基于数学学科核心素养的比较分析

对新旧教材的习题进行统计时，按照以下标准进行统计：教材中，以1、2、3……编号为大题，以（1）、（2）、（3）……编号为小题，凡是大题中有小题出现时，皆按小题数量计算。另外，统计的习题包含每节标有“练习”“习题”和“复习参考题”字样的部分。依据以上标准，按照各题目所体现的数学核心素养进行统计，如表1和表2所示。

表1 新教材各题目所体现的数学核心素养比较

表2 旧教材各题目所体现的数学核心素养比较

1.1 数学抽象维度的比较分析

数学抽象是指通过对数量之间的关系，或是空间形式上的变化的抽象，进而得到数学研究对象的素养。新教材中体现数学抽象素养的题目共有8 道，占总量的22.2%；旧教材中则有10道，占总量的14.9%。相较于旧教材来说，新教材在这方面的占比略高。由此可见，这次的教材编写注重培养学生的这一素养。

例如，新教材中习题6.4 的“你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗？”这一道题，在旧教材中，与它类似的题目是这样描述的：“就三角形的面积计算问题作一探索，你现在已经学习了哪些计算公式，还可发现和证明一些新的计算公式吗？”

这两道题的立意都是希望学生能够通过对正弦定理的学习，自主探索总结出三角形的面积公式。新教材在题目中直接给出推导的思路，而旧教材没有。相比之下，新教材题目的表达更加符合学生的发展认知，更加有利于学生获得数学的某种规则，培养数学思维，形成数学体系［1-3］。

1.2 逻辑推理维度的比较分析

逻辑推理是学生学习数学应具备的基本能力之一，它是指根据已知判断推出新判断的一种能力。借助逻辑推理能力的培养，使学生建构数学知识体系，且能够找到错综复杂的事物之间的本质联系。新教材中，凸显逻辑推理素养的题目基本是延续了旧教材，但是新教材的题数占总数的22.2%，而旧教材为17.9%，新教材高于旧教材4.3%。由此可见，在对学生逻辑推理能力的培养上，新教材比旧教材更加重视。

1.3 数学建模维度的比较分析

数学建模是指将实际问题抽象为数学问题，再运用数学知识和方法对问题进行设计和实施，从而建立数学模型解决问题的素养。在新教材中，体现数学建模素养的题目数量仅占总数的5.6%，而旧教材为7.5%，新教材比旧教材低了1.9%，可见数学建模这一核心素养在新教材的体现度略低。数学建模是连接实际生活与数学知识的一道桥梁，是数学在应用方面最好的体现，也是以后学习高等数学必备的数学思想。在高中阶段学会数学模型，一方面，可以培养学生发现、分析、解决问题的能力，增强用数学语言表示实际生活的感觉；另一方面，可以认识数学模型在生活中的多种作用，提升学生的动手操作能力，增强创新意识。因此，新教材应该适当增加数学建模方面的习题［4-6］。

1.4 数学运算维度的比较分析

数学运算是指明确计算目标，根据适当的运算法则解决数学问题。主要包括：定对象，懂法则，理思路，求结果。从表1和表2中可以看出，新教材对体现数学运算素养的这类题目进行了删减。对于这种纯运算直接应用定理，只能机械强化学生思维的题目，与“全面发展”这一教育理念背道而驰，因此，新教材在修订时特别注重多种素质的共同培养。

1.5 直观想象维度的比较分析

直观想象是指通过借助几何直观和空间想象认识事物的变化过程，利用图形加深理解，从而解决数学问题。主要包括：通过空间形态认识事物；利用图形分析问题等。通过表1和表2发现，新教材习题体现直观想象素养的数量占总体38.9%，而旧教材为40.3%，二者相差不大，从占比来看，直观想象这一核心素养均是新旧两版教材中解三角形部分主要体现的核心素养之一，在高中数学学习中直接展现这一素养的典型思想就是数形结合。借助这类题目的练习，可以帮助学生在解题过程中建立数形结合的思想，提升空间想象的能力。

1.6 数据分析维度的比较分析

数据分析主要指具备对数据处理、分析的敏感度，能够真实且有用地获取数据信息，并且对于数据结果进行合理、科学的统计，从而在数据分析的过程当中获得有价值的信息内容，进而实现对于数据的利用。通过在高中阶段的学习，使学生能够提高获取信息、处理信息和应用信息的能力及意识，增强运用数据表达现实问题的能力，以此让学生逐渐具备用数据印证事实的思维。从表1 和表2 中可以看出，在这部分习题中，体现数据分析素养的题目和体现数学建模素养的题目是直接挂钩的。因此，新教材在这个素养上是低于旧教材的，但是差距并不是十分明显，教师在对这类题目进行讲解时应融入其他与之类似的题目。

2 习题难度的比较研究

2.1 习题数量比较

依据以上标准，对新旧教材解三角形部分习题的统计数量，如表3和表4所示。

表3 新教材习题数量分布表

表4 旧教材习题数量分布表

从数据结果看，新教材的习题总数为36 道，旧教材的习题总数为67道，新教材的数量比旧教材少了近一半。造成这一现象的主要原因是编排方式的改变，在旧教材中解三角形独成一章，共有三小节，由于第三节是实习作业，所以没有对应的习题，前两节都有练习和习题部分，在章节的最后还有复习参考题。而在新教材中，解三角形仅仅是作为平面向量的应用出现，只占了一节中的一部分，除了有单独的练习外，并没有与之配套的习题和复习参考题。

在这部分中，还有一个最显著的变化，新教材中题目所给出的三角形元素突出“特殊角”的作用。与旧教材相比，新教材题目中所给出条件不会过于复杂，说明它更加注重定理的应用。在应用举例部分，新教材数量明显比旧教材少很多，但并不是说新教材不重视定理在实际生活中的应用。这样设计的原因有二：一是在前面提到编排方式上的改变；二是旧教材中此部分的习题数量对于学生而言过于繁重，由于学生刚刚学完解三角形的知识，认知正在处于建构阶段，而应用举例的习题通常题干过长，难以理解，若这部分题目过多，易使学生在错误中感到沮丧，进而失去解题的兴趣。

2.2 习题综合难度分析

根据鲍建生的综合难度模型，选取新教材的36个题目和旧教材的67 个题目为研究对象，从习题的背景、探究、运算、推理、知识5个因素进行分析。下面结合解三角形这部分习题的特点对5个因素的每个水平进行阐述，如表5所示。

表5 习题难度各因素水平描述

根据以上界定，通过对两本教材解三角形部分的习题的比较，它们的难度统计如表6所示。

表6 新旧教材解三角形部分习题难度比较

通过观察图1分析，不管是新教材还是旧教材，习题的运算部分都是要比其他部分的难度略大一些，分别为2.58 和2.46，可见新旧教材在解三角形部分更加注重对定理的理解以及定理在数学运算上的应用。另外，两本教材的主要不同之处呈现在背景和知识两个方面。从背景方面来看，新教材的难度值小于旧教材，造成这一结果的主要原因是新教材在章节分布上的变化。在新教材中，解三角形被安排在了平面向量这一章，作为平面向量的应用出现，其中，这节还有平面向量在物理中的应用，这部分的增加使得解三角形中带有背景的题目减少。从知识方面看，新教材的难度值高于旧教材，说明这本教材在编写上对知识内容做出了新的要求。高考数学通常是将解三角形的知识与其他知识交汇考察，为适应高考，新教材在进行编写时应注重多种知识的融会贯通。

图1 习题难度雷达图

3 结语

通过对新旧教材解三角形部分的习题的难度和基于核心素养分析习题两个维度进行研究，新教材的习题更加注重学生的数学抽象、逻辑推理的能力。此次改编充分考虑到学生的知识建构能力，重视各核心素养在学生身上的结合作用，在学生稳步前进的同时，更加关注他们的全面发展，落实了“立德树人”的根本任务。