基于全局敏感性分析的压气机多级轮盘参数优化*

王继福 王跃方,2

（1.大连理工大学工程力学系；2.工业装备结构分析国家重点实验室）

0 引言

压气机是航空发动机的核心部件之一，其功能是压缩吸入发动机的空气，并将压缩后气体供给后续的涡轮和燃烧室，提高燃烧效率。压气机转子在运行过程中，承受着复杂的载荷，包括超高的转速、较高的温度和温差、复杂的气动载荷、机械激振等，对结构的强度和安全有着较高的要求。

航空发动机中压气机占总结构质量的40%～50%，轮盘约占整个发动机质量的25%～30%，减小压气机转子的质量对于提高航空发动机的效率和性能非常重要[1]。为了进一步提高航空发动机推重比，对压气机结构开展减重优化设计是必要的。目前压气机结构强度优化往往通过结构对比、结构强度跨专业多次迭代的方式开展，仅部分采用参数化模型优化，还有部分优化更是需要通过跨部门跨学科协作开展。因此，如何有效的进行压气机转子结构优化，形成高效率、适用广的优化流程，对压气机结构设计有着重要的意义。

随着结构优化理论和相关算法的研究，对于工程结构优化问题发展出数学规划方法、进化算法、神经网络算法等优化方法。遗传算法作为自适应全局优化概率搜索算法，对于复杂的非线性问题有着更加优越的性能[2]，被广泛应用于压气机相关领域的结构优化设计[3-5]。Genta[6]评估了遗传算法在转子轮盘结构形状优化中的适用性，结果表明遗传算法对于此类问题非常有效。刘涛[7]以航空涡轮轴发动机的组合式压气机为研究对象，基于代理模型技术和遗传算法，对分开的单级离心式和轴流式轮盘进行减重优化设计。Kieszek[8]结合人工神经网络算法和遗传算法对压气机轮盘进行减重优化，获得减重6.58%的效果，在通过人工神经网络算法的学习和模拟后，优化效率得到显著提高。

目前关于压气机转子的优化设计对象多为单级轮盘[9-10]，而实际压气机一般为多轮盘结构，但是直接对多级轮盘结构进行优化设计会存在分析过于复杂、计算规模大、优化效率低等问题。雷先华[11]指出对压气机转子轮盘进行优化时，不能只对单个盘分析，这样会与实际情况有一定的误差。轮盘之间依靠鼓筒连接，实际运转时需要考虑到盘鼓变形会产生10%～20%的附加应力，这部分应力对轮盘结构强度有一定的影响。

本文针对多级轮盘结构的压气机转子，进行参数化建模，实现结构几何特征的自动控制。研究多级轮盘的静强度，相较于单级轮盘计算更加符合实际情况。基于全局敏感性分析，研究轮盘强度性能对尺寸参数的敏感性，简化优化模型。通过构建高效、通用的优化流程，实现多级轮盘转子的减重优化设计。

1 参数优化方法

1.1 参数化建模

为了实现对结构形状的控制，需要将结构特征的尺寸和约束等相关变量设为可控参数，通过参数化建模达到模型几何特征自动修改和更新的效果。考虑到压气机多级轮盘转子可优化尺寸及其结构特点，针对每级轮盘的幅板高度、厚度，盘心高度、厚度，盘心倒圆半径等关键尺寸进行参数化。以单级盘为例，其参数设置如图1 所示，几何意义如表1 所示，各级轮盘参数设置相似。

图1 轮盘参数化示意图Fig.1 Disk parameterization diagram

表1 参数几何意义Tab.1 Geometric meaning of parameters

为提高优化效率，需要对转子结构进行合理简化。采用二维单元有限元建模方法，对转子的轴对称部分使用轴对称单元建模，其他部分使用平面应力单元，对于叶片结构直接等效为质量单元并与轮盘耦合。

1.2 优化问题

参数化模型中的尺寸参数记为xi，则优化问题的设计变量可表示为：

考虑模型的干涉、装配要求以及优化方向等因素合理选择参数范围。

优化目标是减轻转子结构质量，有限元计算中通过APDL 命令流输出二维结构等效质量来评估结构质量变化：

式中,Sei为单元面积;Rei为对应单元质心相对转轴半径;ρn为对应材料密度。

除了参数范围约束外，需考虑旋转轮盘结构的静强度。压气机转子运行时承受高离心力、高温、气动力等载荷作用，转子轮盘一旦发生破裂是无法包容的，对发动机乃至机身和人员安全都是巨大威胁。一般以轮盘破裂裕度作为性能指标，即破裂转速储备系数，对于压气机轮盘一般要求其破裂裕度不小于1.25。考虑到计算误差和设计裕量，综合考虑优化算法的选择以及邻近轮盘的影响等因素，该约束条件可根据实际情况适当修改。

综上所述，定义单目标优化问题如下：

其中，为等效质量；Mbt为周向破裂裕度；Mbr为径向破裂裕度；Mbt0和Mbr0分别为给定的周向和径向破裂裕度下限。

1.3 参数优化策略

针对上节提出的优化问题，本文实现参数优化的流程如图2所示。基于UG软件实现压气机转子的参数化简化建模；基于Workbench实现压气机转子结构强度分析，并通过APDL命令流和Python等方法实现目标函数、约束函数等相关变量的自动化输出；基于在开源优化工具箱DAKOTA 基础上开发的优化工具，使用Sobol敏感性分析方法进行参数敏感性分析，获得关键参数简化优化模型，使用遗传算法和可行方向法进行结构优化设计。通过各级轮盘参数分组优化，并以整体结构的轮盘破裂裕度值和结构变形值对其进行校核，实现多组参数同时优化，提高优化效率。通过构建通用的优化流程，相关参数和文件的自动化传递与调用，实现高效自动的优化设计方法。

图2 参数优化流程Fig.2 Parameter optimization process

2 轮盘静强度分析

2.1 平均应力法

轮盘结构的强度校核以其破裂裕度为准，本文采用平均应力法[12]计算各级轮盘破裂转速。平均应力法主要以轮盘子午面和圆柱面两种截面上的正应力为准则，分别针对轮盘周向破裂和径向破裂这两种破裂形式，认为当轮盘子午面或者圆柱面平均正应力达到材料强度极限时轮盘发生破裂。

轮盘子午面上的平均周向应力为

其中，σt为轮盘周向应力，相应的周向破裂转速可以用平均周向应力表示：

其中，σb为材料强度极限；n为轮盘转速。对于实际的轮盘结构，材料和厚度带来的误差可以使用修正系数m，m的数值根据试验确定，一般m≤1。用相同的方法可得轮盘圆柱面破裂转速为

式中，max为轮盘圆柱面最大平均径向应力，通常认为圆柱面径向应力分布较为均匀，m可取1。

轮盘破裂转速与最大工作转速之比为其破裂转速储备，亦可称为破裂裕度，即：

其中，n0为破裂转速;nmax为最大工作转速;σUTS为破裂子午面或圆柱面的平均工作温度下的材料强度极限;σAVGT为轮盘平均周向应力或平均径向应力。

2.2 轮盘静强度

以典型压气机多级轮盘转子为研究对象，整个转子共11级轮盘，约束转子左端轴承连接处轴向位移，计算在最大转速13000r/min、腔压和非均匀温度场作用下的轮盘静强度。通过计算轮盘子午面和圆柱面上的平均正应力，根据平均应力法得到相应的破裂裕度。以转子模型中第9级盘为例，其周向应力和径向应力云图如图3 所示，最大周向应力位于盘心底部，最大径向应力位于幅板底部。

图3 9级盘应力Fig.3 Stage 9 disk stress

在相同工况下对单级轮盘进行分析，计算得到的应力分布如图4所示。完整多级轮盘转子和单级轮盘分析得到的轮盘平均应力和破裂裕度如表2 所示，可知由于鼓筒和其他轮盘带来的附加应力影响，单级轮盘计算的应力比完整结构应力小，计算结果更加保守。因此，考虑多级轮盘结构进行静强度计算更符合实际。

图4 单级盘应力Fig.4 Single stage disk stress

表2 多级轮盘与单级轮盘静强度比较Tab.2 Comparison of static strength between multistage disk and single-stage disk

3 敏感性分析

敏感性分析是研究模型输出的不确定性问题，可以反映模型输入参数对输出参数的影响关系，敏感性指标越大，说明输入参数对输出参数的影响程度越大。进行敏感性分析，可以帮助研究者处理复杂参数问题，确定输入参数的关键域，简化分析模型。敏感性分析根据参数数量的不同，可以分为局部敏感性分析和全局敏感性分析。局部敏感性分析只考虑单个参数对模型输出的影响程度，而全局敏感性分析考虑多个参数同时作用对输出的影响程度，反映了多参数相互作用的结果[13]。

3.1 Sobol敏感性指标

Sobol方法是由I.Sobol在原有基于方差分析的敏感性分析方法推广而来，提出了一个简单的基于蒙特卡洛实现的概念，能够计算任何参数组的敏感性[14-15]。其实质是将输出函数的方差表示为每个输入变量的方差和各变量间相互作用的方差的和，以参数的方差比例来表示参数对输出的影响程度。

针对输入参数为X=(X1,X2,...,Xk)，输出函数为Y=f(X1,X2,...Xk) 的模型，其中Xi∈[0,1],i=1,2,...k，通过高维模型展开(HDMR)为一组维度递增函数的和：

假设f(X)是平方可积的，对式进行平方并积分可得

式中Vi可以衡量单独参数的影响效应，Vij可以衡量Xi和Xj联合效应。因此，根据各个参数方差的贡献比例可以定义全局敏感性系数如下：

一阶敏感性系数Si表示每个输入参数对输出变化的主要影响贡献，总效应系数STi表示单个参数对输出方差的总贡献。

3.2 敏感性结果

为分析转子关键尺寸对结构强度指标的影响程度，以第5 级盘的幅板和盘心尺寸为输入参数，以结构质量、5级盘的周向破裂裕度和径向破裂裕度为响应进行敏感性分析。各响应结果对输入参数的总敏感性系数如图5、图6所示,可知盘心厚度和高度对结构的质量和破裂裕度都有较大的影响，而盘心倒角对于结构的质量和破裂裕度影响较小，优化中可以忽略该参数。轮盘的周向破裂裕度受盘心高度影响较大，径向破裂裕度受幅板厚度影响较大，这与轮盘结构最大周向应力和径向应力分布特点相符合。

图5 结构质量对5级盘参数的敏感性系数Fig.5 Sensitivity coefficient of structural quality to stage 5 disk parameters

图6 5级盘破裂裕度对其参数的敏感性系数Fig.6 Sensitivity coefficient of stage 5 disk burst margin to stage 5 disk parameters

控制单个参数变化得到第5、6级盘的周向、径向破裂裕度随第5 级盘幅板厚度和盘心高度变化曲线分别如图7、图8所示。整体上随着幅板厚度的增加，轮盘周向和径向破裂裕度增大，随着盘心高度增加轮盘周向破裂裕度增大，径向破裂裕度减小。而第五级盘单个参数变化对第6 级盘破裂裕度的影响幅度在0.001 左右，可以认为在一定的范围内，单级轮盘尺寸参数的改变不会大幅度影响其他轮盘的破裂裕度。

图7 破裂裕度随幅板厚度变化曲线Fig.7 Variation curve of burst margin with plate thickness

图8 破裂裕度随盘心高度变化曲线Fig.8 Variation curve of burst margin with height of disk center

4 优化设计

基于前文所建立的参数化模型和优化问题，针对多级轮盘的压气机转子关键尺寸参数进行减重优化。优化前转子轴对称部分重274.08kg，优化后减重13.55kg，减重率为4.94%。结构轮盘参数较多，不予全部展示，优化前后8～11级轮盘结构如图9所示，参数如表3 所示，其中r，a，b，c，d为对尺寸参数进行标准化的无量纲标准值。由于幅板厚度尺寸较小，优化后幅板厚度变化较小，盘心厚度变薄。

图9 优化前后结构Fig.9 Structure before and after optimization

表3 优化前后参数Tab.3 Initial and optimized parameters

优化后各级轮盘的破裂裕度以及相应的减重量如表4所示，优化后的1级盘径向破裂裕度、5级盘周向破裂裕度和6级盘径向破裂裕度有所提高，其他破裂裕度均下降。其中第6 级盘由于初始径向破裂裕度小于1.25，优化后结构质量相较于初始结构质量增加，径向破裂裕度有所提升。优化后各级轮盘均不小于1.25，且满足约束条件，优化后转子最大位移改变量仅为0.12mm，结构刚度符合要求。

表4 优化后破裂裕度及减重Tab.4 Burst margin after optimization and mass reduction

5 结论

1）通过建立参数化模型和高效的参数优化流程，以复杂的压气机多级轮盘转子为研究对象，开展全局敏感性分析和减重优化设计。相较于单级轮盘，采用多级轮盘模型考虑了鼓筒、其它轮盘对结构强度的影响，通过参数分组优化提高了优化效率。

2）基于Sobol敏感性分析得到轮盘关键尺寸，结果表明轮盘的周向破裂裕度受盘心高度影响较大，径向破裂裕度受幅板厚度影响较大，盘心倒角半径对结构质量和静强度影响较小，单级盘参数改变对邻近盘的破裂裕度影响较小。基于遗传算法和可行方向法对转子进行减重优化，实现减重4.94%，且破裂裕度满足要求。