依问题情境，用函数性质解一类问题

林自强 黄 华

(1.广西来宾市第八中学 2.广西南宁市宾阳县新桥镇大仙学校)

众所周知,函数是备受高考命题者青睐的核心内容,而函数性质历来是高考命题的一个重点,学生在做题中要不断积累经验,做到融会贯通方能应对自如.通常来说,函数性质包括单调性、奇偶性、周期性与对称性等,但因函数性质伴随函数图像出现,因此本文借用函数定义域、值域和图像等指导解题.本文创设问题情境,整合一类问题,灵活运用函数性质,以期帮助读者在问题解决中,获得解一类问题的技能,达成数学思维的训练.

1 单调性指向数值、函数值大小比较等问题

高考对指数函数、对数函数和幂函数这三类函数的考查,主要聚焦在大小比较问题上,要求学生依问题情境中数值形式构造函数,并利用所构造函数的单调性来比较大小,必要时需要引进中间量进行比较.

例1(2020 年全国Ⅲ卷理12)已知55＜84,134＜85.设a＝log53,b＝log85,c＝log138,则( ).

解题流程:问题情境(数值大小的比较)—思路构建(依情境构造函数)—解题技巧(必要时引入中间量等或利用基本不等式)—函数性质(利用单调性解题).

解析由问题情境知a,b,c均是对数形式,因此构造对数函数y＝logmx来指导解题.已知55＜84,134＜85,分别以8,13为底取对数得log855＜log884,log13134＜log1385,即亦即,从而得到b＜c.

点评本题考查逻辑思维能力和运算求解能力,作为选择题的压轴题,具有一定的难度.若能快速识别出指数函数和对数函数的特征,构造函数、引入中间量、结合单调性等,便可精准解答.

例2(2019年全国Ⅲ卷理11)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,＋∞)单调递减,则( ).

解题流程:利用函数的奇偶性将所有的自变量转化到单调区间内—比较自变量的大小—根据单调性比较函数值.

点评本题以抽象函数f(x)为载体,考查函数单调性、奇偶性及比较指数、对数值的大小.求解关键在于将所要比较的三个自变量值转化到同一单调区间,再比较该单调区间内三个值的大小,最后根据单调性进行解答即可.

2 奇偶性指向函数值、解析式的参数等问题

关于函数奇偶性的问题,较为常见的是求函数值,只要打通求解这类题的思维脉络,难度不大.但含参数的问题相对来说具有一定的难度,所以有“谈参色变”之说,对于这类问题往往需要较强的数学思维能力,要善于挖掘隐藏在恒成立中的函数的性质.函数的奇偶性定义实则就是一个恒等式,而在已知函数单调性的前提下,函数的导数与零的关系又是一个不等式恒成立问题.

善于捕捉题中的关键信息会给解题带来事半功倍的效果.例如,f(x)是定义在R 上的奇函数,则f(0)＝0,f(－(x＋a))＝－f(x＋a);若f(x＋a)是奇函数,则f(－x＋a)＝－f(x＋a);若f(x＋m)是定义在R上的奇函数,则f(x＋m)的图像关于原点(0,0)对称,向左或向右平移|m|个绝对值单位,亦有f(x)的图像关于点(m,0)对称,即f(m)＝0.

例3(2021年全国甲卷理12)设函数f(x)的定义域为R,f(x＋1)为奇函数,f(x＋2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6,则

解题流程:从问题情境中捕捉关键信息—构建关系式—确定解析式中的参数—将自变量转化到指定区间,求相关函数值.

解析由f(x＋1)为奇函数可知f(x＋1)的图像关于原点(0,0)对称,将f(x＋1)的图像向右平移1个单位得到f(x)的图像,同时,f(x＋1)图像的对称点(0,0)也跟随向右平移1个单位,即f(x)图像的对称点为(1,0),即f(1)＝0;当x∈[1,2]时,f(x)＝ax2＋b,所以f(1)＝a＋b＝0.

由f(x＋1)为奇函数,得f(－x＋1)＝－f(x＋1),由f(x＋2)为偶函数,得f(－x＋2)＝f(x＋2),继而有f(0)＝－f(2),f(1)＝f(3).当x∈[1,2]时,f(x)＝ax2＋b,所以

即－f(2)＋f(1)＝－(4a＋b)＋a＋b＝6.

由f(x＋2)为偶函数,得f(－x＋2)＝f(x＋2),即f(－x)＝f(x＋4);由f(x＋1)为奇函数,得f(－x＋1)＝－f(x＋1),即f(－x)＝－f(x＋2),所以f(x＋4)＝－f(x＋2),得f(x＋6)＝－f(x＋4)＝－[－f(x＋2)],即f(x＋6)＝f(x＋2),则f(x＋4)＝f(x),所以函数f(x)的周期是4,故

点评本题是选择题的压轴题,具有一定的难度,但只要学会获取题中的关键信息,加上平时的训练,解题思路就水到渠成.一般而言,解析式含参数,可以先定参数,对超出给定区间的自变量,通常用周期性、奇偶性将其转化到指定的区间,再应用解析式解题.

3 周期性指向函数的解析式、函数值等问题

我们要理解函数周期性的定义及一些常用的二级结论,特别是初次接触周期性,要学会利用“整体取代”的思想推导验算,例如,∀x∈R:

1)若f(x＋a)＝－f(x),则f(x)周期为2a.

3)若f(a＋x)＝f(a－x),当f(x)是偶函数时,f(x)周期为2a;当f(x)是奇函数时,f(x)周期为4a.

例4设函数f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)＝2x(1－x),则

解题流程:由题干信息,利用奇偶性、周期性将自变量值转化到已知函数解析式的定义域,用已知解析式求函数值.

解析由函数f(x)是周期为2 的奇函数,有f(x＋2)＝f(x),f(－x)＝－f(x),则

点评解题的关键在于充分利用奇偶性、周期性将自变量转化到已知函数的定义域,然后借助解析式求值.

4 用函数性质判断函数图像与解不等式问题

函数的性质对函数图像特征起着决定性作用,在判断函数图像问题时,我们要分析函数的函数值、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性、极限、函数的零点等,方可得出函数的大致图像.同时借助函数的图像特征可以解决一类与抽象函数相关的不等式问题.解决有关不等式问题时,常利用函数的单调性,而某些函数单调性的确定需要根据题设构造恰当的函数,常用的构造技巧如下.

1)已知“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”型,可构造H(x)＝f(x)g(x).

2)已知“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”型,可构造

比如，在引导学生对“感应电流产生条件”的授课过程中，教师就能采用摇动绳子进行发电的实验：如课本中的插图所示，找几位学生轮流进行摇动导线的操作，并在此同时找其他学生观察电流表指针的变化情况。通过这样户外实验活动的开展，可以让学生在其中了解地磁场存在这一现象，并体验依靠其产生感应电流这一现象。应该说物理这一学科的确非常充满魅力，物理学的魅力不仅在于它可以在具体的操作中印证自己所掌握的相关知识，而且还能通过我们对相关自然现象的分析从而得出新的物理学知识。所以说，让学生更好地理解物理学知识，更好地培养其核心素质，我们有必要在自己的授课过程中增加学生独立探究的内容。

例5设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(－1)＝0,当x＞0时,则xf′(x)－f(x)＜0,则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( ).

解题流程:由题设构造新的函数并判断新函数的奇偶性—判断新函数的单调性—结合已知条件求解相关不等式.

根据f(－1)＝f(1)＝0、单调性以及偶函数性质作出函数H(x)草图(如图1),使得f(x)＞0成立的x取值范围:

图1

综上,使得f(x)＞0 成立的x的取值范围为(－∞,－1)∪(0,1),故选A.

点评在构造函数时,还有一些如下特殊情形的构造.1)条件中含有f′(x)＋f(x),可构造H(x)＝exf(x);2)条件中含有f′(x)－f(x),可构造;3)条件中含有f′(x)＋2f(x),可构造H (x)＝e2xf(x);4)条件中含有f′(x)－2f(x),可构造

5 函数基本性质的综合应用与函数零点问题

含有参数的函数零点问题主要考查函数性质与函数图像的综合应用,难度较大,在高考试题中有着很强的区分度.但若能熟练运用函数的性质,通过数形结合的数学思想方法此类难题就能迎刃而解.

例6(2019年江苏卷14)设f(x),g(x)都是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,有

其中k＞0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)＝g(x)有8 个不同的实数根,则k的取值范围是_________.

解题流程:根据题干中的函数的相关性质作出草图—将方程f(x)＝g(x)的不同实数根转化成图像交点问题—利用数形结合思想方法解题.

解析根据函数的解析式、周期性在同一直角坐标系中作出f(x),g(x)的大致图像(如图2).

图2

图3

综上,k的取值范围为

点评本题是填空压轴题,涉及的知识点比较多,有分段函数、函数与方程、函数的图像、函数的性质、点到直线的距离、直线的斜率等,解题时往往需要以“形”辅助“数”.

本文介绍的问题情境下的函数性质应用,仅是冰山一角,但希望能起到抛砖引玉的作用,学生在平时的学习中,要有定义意识、转化意识和数形结合意识.

(完)