初探解题教学中聚焦式的变式策略*——对《ex 放在分母上是一种解题思维》的再思考

华南师范大学数学科学学院(510631) 陈俊阳 黄丽纯

本刊2021 年第10 期(上)的文章《ex放在分母上是一种解题思维》[1](下称文[1])以题目1 为例子介绍了一种代数变形处理手段——把ex放分母,并将此作为解题经验推广到一道高考导数应用问题中[1]. 该文引发了笔者的一些思考:(1)“…设φ(x) =x2-4ex-2,两次求导后也不能判断φ′(x)正负的区间,这种方法再往下走已经没有意义了并且也走不下去了”这一论断正确吗? (2)该题“把ex放分母”的思路自然吗? (3)“在练习题中获得经验→将经验推广到另一道练习题”这一思路在论文写作中是常见的,倘若在解题教学中,这样的推广方式合适吗? 更具体地,在解题教学中,如何有效地开展变式教学?

1 原文探讨

题目1 已知函数f(x)=xlnx-ax+1.

1.1 论断正确吗?

因此,在日常教学和日常写作时,对问题应当避免妄下论断. 特别是在教学中,不宜为了引出一种更简洁更快捷的方法,去否定一个较为复杂甚至看似不可行的方法,而应比较不同方法的优缺点,揭示不同方法的联系与异同之处.

1.2 思路自然吗?

因此,在思考问题以及课堂教学中需要注意思维的自然形成,体现数学的逻辑性.

1.3 推广合适吗?

文[1]总结出“把ex放分母”这一解题经验后,将经验推广到一道高考题中去. 作者对不等式先作“把ex放分母”的代数变形,再通过对参数的分类,讨论函数的单调性进而研究恒成立问题. 高考题是广大师生最关注的试题之一,因此将新方法迁移到高考问题解决中去是合情合理的,特别是在文章写作中,体现了所阐述方法在高考中的应用价值. 然而,在解题教学中,将经验推广和方法迁移到高考题中合适吗?又做一道高考题能否起到高效巩固的作用? 反之,会不会增加学生的认知负担?

事实上,在变式教学中,容易变相地被动灌输,最终演变为更加死板与烦琐地用变式去填鸭[2]. 不合适的变式训练可能会导致学生停留在细节和技巧方面的体验,难以形成有效的知识建构,更难以提升更高级的思维和探索能力,导致“熟能生笨”,甚至“熟能生厌”[3][4]. 另一方面,在日常解题教学中,教师常常急于为学生提供升学要求的问题甚至更难的竞赛问题给学生去做,这时学生对新知识、新方法的同化过程还没完成,新知识、新方法的意义还没真正获得,无法实现有意义学习,最终沦为机械学习[5].

2 聚焦式的变式策略——以“放分母”问题为例

在解题教学的变式训练中,顾泠沅先生基于青浦实验的诸多课例提出了适用于数学活动经验教学的过程性变式[6],这是一种有层次推进的教学方式,强调分类排列并联结所有相关的变式,形成多层次的系统经验,关注数学思维方式以及问题与问题间的逻辑关系,而这种有层次推进的教学方式,绝不是一种“机械训练”.

针对上文提出的疑惑和思考,下文将再次以“ex放分母”为例,基于变式教学的相关理论,结合笔者教学实践经历,探索聚焦式的变式策略如何在解题教学中实施,以促进学生的知识内化与思维提升.

2.1 聚焦矛盾——认知冲突,方法探究

一个解题方法的“巧”与“妙”是在对比中产生的,是相对其他方法而言的. 因此,在引出一种较为巧妙的解题方法时,可以聚焦原有方法的局限,制造认知冲突,探索解决方法.

回到题目1, 关键的认知冲突在于函数φ(x) =x2-4ex-2≤0 的导函数φ′(x) = 2x-4ex-2对应的方程是超越方程,无法求出具体解,从而难以求出φ(x)具体的极值点以及单调区间,只能虚设φ′(x)的零点作进一步的讨论. 这样的处理是可行的,但对于认知水平不高的学生理解起来较为抽象. 因此,为了解决这一认知冲突,抓住产生超越方程的原因是: [ex±f(x)]′= ex ±f′(x) (＊),结合过程性变式的层次性原则设计问题:

问题1 对以下两个函数求导,并说说它们导函数结构的特点与(＊)有何不同?

2.2 聚焦价值——原理提炼,方法强化

问题2 为什么“把ex放分母”会让导函数如此简洁? 能结合数学语言谈谈你的看法吗?

如果学生能自主解释问题2,那么说明学生已经初步理解这一方法的原理. 进一步为了强化学生对方法的掌握,设置了看似难度非常大的问题3:

通过这一个看似困难而形式又简洁漂亮的不等式问题,不掺杂其它处理技巧,学生无论从知识能力上还是从情感上都会强化对这一方法的理解,提升解题教学课堂的有效性.

2.3 聚焦思想——思想类比,方法迁移

在了解新方法的来源以及应用价值后,需要自觉对问题的本质进行重新剖析,从中概括一般规律,并进行推广、深化,经历解题的元认知监控的评价过程[7]. 提炼“把ex放分母”的原理后,进一步引导学生回顾方法的生成过程,体会背后的思想,并将方法类比迁移到新的问题情境中去.

问题4 回顾“把ex放分母”的代数变形,它解决了怎么样的矛盾?

问题5 还有怎么样的代数形式求导后会出现超越方程? 如何解决这一困扰?

通过问题5 的提出和启发,学生立马想到了关于指对数的其他问题情境及解决方法:

生1: 因为[exf(x)]′= ex[f(x)+f′(x)], 所以除了“把ex放分母”,还可以“把ex提出来”.

师追问: 很好! 除了指数函数,还有什么函数会出现超越方程,怎么解决?

师总结: 因此,我们不仅学了“把ex放分母”这一种代数变形方法,我们还需体会方法背后的数学思想,从本质上来说,我们希望通过等价的代数变形,使得求解导函数时不出现超越方程等复杂的形式. 有兴趣的同学还可以思考并探究: 由三角函数与其他基本初等函数构成的函数有何特殊的代数变形手段?

2.4 聚焦方法——问题解决,方法应用

在体会方法的价值与思想后,还需通过具体的变式练习促进方法的应用与强化. 这一变式练习不宜发散,掺杂过多其它的方法技巧,应当聚焦本节课所学的思想方法,进行有针对性的强化. 因此,笔者选取了问题6.

因此,该不等式证明问题解决的过程中以“求导——研究导函数——讨论单调性——求最值”这一通性通法为主线,反复运用本节课所学的思想方法,起到了方法聚焦,方法强化的作用.