基于2021年江苏省高考物理卷第14题的变式类型分析及解题策略

江苏 吕朝阳 王 虹

2021年江苏省高考物理卷第14题是一道模型新颖、设计精巧的学习探索类情境综合试题，其显著特征是在系统中有一个或多个物体做匀速圆周或非匀速圆周运动，考查的知识点有力的平衡、圆周运动(向心力与向心加速度)、弹性势能和功能关系等，对学生的思维品质和关键能力有很好的检测作用。受此影响，在此后的各地高三模拟考试卷中出现了大量的变式题。现将此类变式题型归类分析，并研究和总结解题策略。

【高考原题】如图1所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上，长为2L的细线和弹簧两端分别固定于O和A，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为37°，现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到53°时，A、B间细线的拉力恰好减小到零，弹簧弹力与静止时大小相等、方向相反，重力加速度为g，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：

图1

变式类型一、含弹簧的多物体系统

在处理含弹簧且系统内有一个或多个物体做圆周运动的综合题时，要从以下4个方面进行突破。

②找准系统中各物体之间力的联系。多物体系统中，物体之间一般是通过轻绳、轻杆或轻弹簧连接，需要通过分析轻绳、杆和弹簧中力的大小和方向来寻找物体间力的联系，这也是解决多物体系统问题常见的思路之一。

③分析系统中做圆周运动物体的向心力的来源。在这类题型中，做圆周运动物体的受力一般相对较复杂，对应的解题思路是将物体所受的力均沿半径方向和垂直半径的方向进行正交分解，沿着半径方向的合力就是向心力。

④透析功和能的一一对应关系以及能量的转化情况。当研究对象为系统时，如果只发生动能和重力势能、弹性势能之间的相互转化，则利用机械能守恒定律解题；若有外力对系统做功或外界有能量注入系统，则一般利用能量的转化和守恒定律或功能关系(外界对系统所做的功等于系统各种能量的增量的和)列方程求解。若研究对象为单个物体，则一般利用动能定理列方程求解。

该变式类型又可细分为以下2类题型。

1.初、末状态弹簧的弹性势能相同

【变式1】(2022·江苏高三联考·14)如图2所示，小球A、B、C分别套在光滑“T”型杆的水平杆MN和竖直杆OP上，小球A、B由轻弹簧相连，小球C由两根不可伸长的等长细线分别与小球A、B相连，水平杆MN可以绕竖直杆OP在水平面内转动。静止时，细线AC、BC与杆OP的夹角均为θ=37°，小球A、B间的距离x1=0.6 m。已知细线的长度l=0.5 m，弹簧原长x0=0.7 m，球A、B的质量mA=mB=0.5 kg，小球C的质量mC=0.48 kg，三个小球均可视为质点，取重力加速度g=10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。

图2

(1)系统静止时，求弹簧对A的弹力大小F；

(2)使水平杆MN匀速转动，稳定时细线AC与MN杆的夹角α=37°(图中未标出)，求MN杆转动的角速度ω；

(3)求系统从静止到以(2)中的角速度匀速转动过程中，外力所做的功W。

【解析】(1)对小球C受力分析，有2Tcos37°=mCg

对小球A受力分析，有F=Tsin37°

代入数据得F=1.8 N

(2)系统静止时，弹簧的压缩量Δx1=x0-x1=0.1 m，当细线AC与MN杆的夹角α=37°时，弹簧的伸长量Δx2=x2-x0=2lcos37°-x0=(0.8-0.7) m=0.1 m，故此时弹簧的弹力大小F1=F=1.8 N

对小球C受力分析，有2T1sin37°=mCg

对小球A受力分析，有T1cos37°+F1=mAω2lcos37°

联立解得ω=5 rad/s

(3)由于弹簧在初末状态的形变量相同，故弹簧的弹性势能也相同。根据功能关系，外力做功等于系统机械能的增加，有W=ΔEpC+2ΔEkA

而ΔEpC=mCgl(cos37°-sin37°)

代入数据解得W=2.48 J

【点评】该题主要考查了力的平衡、匀速圆周运动以及功能关系等重要知识点，其主要特点是，在初、末状态弹簧分别是压缩或伸长的，但形变量恰好相同，即弹簧在初、末状态的弹性势能相同，故在利用功能关系列方程时，就不需要考虑弹簧弹性势能的变化。同时，该题型又是一个轴对称的结构，小球A和B的角速度和动能相同，线速度、向心力、向心加速度的大小相同。根据对称性还可以分析出，两根绳子对小球C拉力的大小也相同。这些都是在解题时需要注意的。

2.初、末状态弹簧的弹性势能不同

图3

(1)装置静止时，小环A受杆的摩擦力大小f；

(2)轻杆与竖直方向夹角为53°时的角速度ω；

(3)轻杆与竖直方向夹角从37°变化到53°的过程中，竖直转轴对装置所做的功W。

【解析】(1)装置静止时，设杆对B的作用力为F，则

A受力平衡f=Fsin37°

(2)轻杆与竖直方向的最终夹角为53°时，弹簧弹力

以A、B为整体，分析竖直方向的受力，可知A与水平杆之间的正压力FN=2mg

A受摩擦力fm=μ·FN=μ·2mg=mg

对B，设杆对B的作用力为F1，则F1cos53°=mg

对A分析fm+Fk-F1sin53°=mω2Lsin53°

摩擦力所做的功Wf=fm·Δx=0.2mgL

对系统，根据功能关系W+mgh-Wf=EkA+Ep

【点拨】该题主要考查了力的平衡、匀速圆周运动以及功能关系等重要知识点，其主要特点是弹簧在初、末状态的形变量不同，但题干中给出了弹簧弹性势能的表达式，故在利用功能关系列方程时，将表达式直接代入即可。若题干中没有给出弹性势能的表达式，则需根据弹簧弹力做功跟弹簧端点的位移大小(即弹簧形变量的大小)成正比的关系，推导出弹性势能的表达式。另，本题中连接A、B两圆环的是轻质刚性杆，是通过可以自由转动的铰链进行链接的，故轻质杆对两圆环的弹力均沿着杆的方向。

变式类型二、不含弹簧的多物体系统

在处理不含弹簧且系统内有一个或多个物体做圆周运动的综合题时，一般的解题思路如下。

①力的观点。该类题型中，做圆周运动的物体的受力一般较为复杂，将力沿半径方向和垂直半径的方向进行正交分解，则沿半径方向的合力即为向心力。若物体做匀速圆周运动，其合外力提供向心力，则沿垂直半径方向(即切线方向)分力的合力为零。

②能的观点。研究对象为系统时，若只发生动能与势能之间的相互转化，则利用机械能守恒定律列方程解题；若有外力对系统做功或有其他形式的能参与转化，则需利用功能关系或能量的转化和守恒定律列方程解题。研究对象为单个物体时，由于往往涉及变力做功，则一般列出动能定理的方程解题。

③牵连速度观点。将杆连或绳连物体的速度，沿着绳或杆的方向及垂直于绳或杆的方向进行正交分解，则物体在沿杆或绳方向的分速度相同。但一定要注意的是，对绳连或杆连的物体来说，虽然它们沿着绳或杆的分速度是相同的，但它们的加速度在沿着绳或杆方向的分量，在一般情况下都是不同的。

④动量的观点。该类题型若涉及冲量，则需要列出动量定理的方程求解；若系统合外力为零，则需列出动量守恒定律的方程求解。

该变式类型又可细分为以下3类题型。

1.考查水平面内的匀速圆周运动

【变式3】(2022·扬州一模·14)(改编)如图4所示，轻杆的上端可绕O处的光滑铰链在竖直平面内自由转动，小球固定在轻杆上Q点，用细绳连接小物块与小球，绳子穿过铰链正下方P处的小孔。现用手沿绳方向拉住小球，使小球和物块保持静止，此时∠OQP=90°，∠POQ=37°。已知小球和小物块的质量m均为1 kg，轻杆长度L=1 m，重力加速度g取10 m/s2，忽略一切摩擦，sin37°=0.6，sin53°=0.8，则：

图4

(1)求松手后，小球运动到最低点时的速度大小v；

(2)求松手后，小球在左侧最高点时绳对小球的拉力大小T；

(3)若在松手的瞬间给小球一个垂直纸面向里的瞬时冲量I，小球恰能在水平面内做匀速圆周运动，求I的大小。

【解析】(1)撤去F后，小球、物块组成的系统机械能守恒，小球运动到最低点时，物块的速度为零

小球下降的高度h1=L(1-cos37°)

(2)如图5所示，小球在左侧最高点时，小球和物块的速度均为零，物块与小球沿绳方向加速度大小相等。

图5

小球：T+mgsin37°=ma

物块：mg-T=ma

解得T=2 N

(3)设杆对小球的力为FN，绳对小球的力FT=mg，设小球运动的速度大小为v1，则

FNcos37°=mg+mgsin37°

【点拨】该题主要考查了机械能守恒定律、瞬时加速度、牵连速度、匀速圆周运动以及动量定理等重要知识点，其主要特点是题干字数虽不多，但信息量大，考查知识点多，综合性强。在本题(1)中，要能根据牵连速度的相关知识判断出，当小球运动到最低点时小物块的速度为零；本题的(2)中，由于小球和物块的速度在此刻为零，不存在相对向心加速度，故而它们沿着绳的加速度相同。但如果存在相对向心加速度，则轻绳相连的两物体沿绳方向的分加速度可能不同。

2.考查水平面内的非匀速圆周运动

【变式4】(2022·南通七市联考·14)(改编)如图6甲所示，在光滑水平面上有A、B、C三个小球，A、B两球分别用水平轻杆通过光滑铰链与C球连接，两球间夹有劲度系数足够大、长度可忽略的压缩轻弹簧，弹簧与球不相连。固定住C球，释放弹簧，球与弹簧分离瞬间杆中弹力大小F=10 N。已知A、B两球的质量均为m1=0.2 kg，C球的质量m2=0.4 kg，杆长L=1.0 m，弹簧在弹性限度内。

(1)求弹簧释放的弹性势能Ep；

(2)若C球不固定，求释放弹簧后C球的最大速度v；

(3)若C球不固定，求球与弹簧分离后到两杆间夹角第一次为θ=120°的过程中(图6乙)，杆对B球所做的功W。

甲

【解析】(1)由对称性可知球，与弹簧分离时两球的速度大小相等，设为v0

(2)如图7所示，设两杆夹角为θ时，C球的速度为vC，将B球的速度正交分解为vx和vy，根据对称性可知，vAy=vBy=vy，vAx=vBx=vx

图7

y轴方向动量守恒，则0=m2vC-2m1vy

①

系统机械能守恒，则

②

B、C两球沿杆方向的分速度相同，则

③

故当θ=180°时，C球的速度最大，且最大值

v=vC=5 m/s

(3)在(2)的①②③三式中，将θ=120°代入，可得

以B球为研究对象，利用动能定理

【点拨】该题主要考查了动量守恒定律、机械能守恒定律、牵连速度和动能定理等重要知识点，其最大的特点是A、B两球虽相对C球做圆周运动，但由于C球不固定，使得A、B两球的运动形式比较复杂，因此该题对思维能力的要求很高，需要具有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及利用数学工具处理物理问题的能力。在解答本题时，一是需要利用对称的观点解题，要能根据本题中三个小球受力及运动的特点，判断出C球的速度是沿着两杆夹角的角平分线方向，A球和B球沿x轴方向的分速度大小相等、方向相反以及沿y方向的分速度相同；二是在利用动量守恒定律解题时，要能利用运动的合成和分解知识将复杂的运动简单化，把A球和B球的速度在x轴和y轴两个方向进行正交分解，再在这两个方向上利用动量守恒定律分别列方程求解。

3.考查竖直平面内的非匀速圆周运动

【变式5】(2022·如皋市三模·15)如图8所示，圆心为O、半径为R的圆环固定在竖直平面内，O1、O2为两个轻质定滑轮顶点，O1在O点正上方2R处，跨过定滑轮的轻绳一端连接着套在圆环上的小球A，另一端连接着小球B。用一竖直向下的外力作用于B，A、B静止于图示位置，OP与竖直方向的夹角为60°，撤去外力后，A、B开始运动，B始终不与滑轮碰撞。已知A、B的质量分别为4m、m，重力加速度为g，圆环与绳不接触，不计一切摩擦。

图8

(1)求外力的大小F；

(2)当A运动到圆心等高处的Q点时，求A的向心力大小Fn；

(3)若撤去外力的同时给A施加沿轻绳斜向右下的瞬时冲量I，A恰能运动到圆环的最高点，求：

①I的大小；

②A从圆环最低点运动到最高点过程中轻绳对A做的功W。

【解析】(1)对A：4mgsin60°=T

对B：T=mg+F

(2)A、B系统机械能守恒

(3)①对A、B：I=5mv0

当小球A恰好运动到圆环最高点时，A、B球的速度均为零，系统机械能守恒

②在小球A从圆环最低点运动到最高点，初、末状态小球B的速度均为零，对B利用动能定理

WTB=-mg(3R-R)=-2mgR

而W=-WTB

解得W=2mgR

【点拨】该题主要考查了力的平衡、圆周运动、机械能守恒定律、牵连速度和动能定理等重要知识点，该题与此前例题的最大区别是，物体在竖直平面内做非匀速圆周运动。在处理此类综合问题时，还需注意三点。一是要分清物体在竖直平面内的运动是属于“绳模型”还是“杆模型”。本题属于“杆模型”，故小球A恰能运动到圆环的最高点时速度为零。二是在本题(3)①中，虽题干中指出，在撤去外力的同时，给小球A施加沿轻绳斜向右下的瞬时冲量I，但I≠mAvA。因为两小球是用轻绳连接在一起的，理想轻绳不能被拉长，绳中的拉力可以突变，故I=(mA+mB)v。三是在本题(3)②的解答中，在求轻绳对小球A所做的功时，并没有直接以小球A为研究对象，而是选取小球B为研究对象，利用动能定理先求出绳子对小球B所做的功，再根据绳对A、B做功的大小相等、一正一负的结论来巧妙解题。如果两个小球是用轻杆相连，那么这个结论依然成立。但当连接两个小球的不是轻绳或轻杆，而是弹性绳或弹簧时，由于两个小球沿弹性绳或弹簧方向的位移一般不同，此结论将不再成立。

结语

高考是指挥棒，所以研究高考真题以及相应的变式习题就非常重要。在处理含弹簧或不含弹簧、有一个或多个物体做圆周运动的综合题时，一般的解题思路如下。

1.在对做圆周运动的物体正确受力分析后，一般将物体受力沿半径方向和垂直半径方向进行正交分解，再列两个方向上对应方程的解题思路。这样做的好处是，既可以列出向心力公式，也可以求出或表示出绳或杆中的张力大小，而此张力往往是联系物体间关系的桥梁之一。

2.对含弹簧的多物体系统来说，要通过分析和计算，判断在初、末状态弹簧形变量的大小关系，进而判断出弹簧弹性势能的变化情况。一般来说，出现弹簧在初、末状态的形变量恰好相等的这种情况相对较多。如果弹簧在初、末状态的形变量不相等，一般不会考查弹性势能大小的表达式。

3.当只发生动能与势能间的相互转化时，系统的机械能是守恒的，需要列出系统机械能守恒定律的方程进行求解；当外界对系统做功或外界有其他能量注入系统时，一般要列出功能关系或能量转化和守恒定律的方程进行求解；当题目要求的是内力对单个物体所做的功时，一般采用动能定理进行求解。

4.当系统中的物体是通过轻绳或轻杆相连接时，一般都需要将物体的速度沿着绳或杆，以及垂直于绳或杆这两个方向进行分解，在轻绳没有松弛的前提下，物体沿绳或杆的分速度是一定相同的。但物体沿绳或杆的分加速度不一定相同，具体情况还应再具体分析。