巧用“四同法”与单位圆分析波形图像与振动图像

四川 尹爱国

机械振动与机械波相关知识都涉及描述质点振动的方向。通过两种图像的共同性找到相互关联的信息，巧妙地应用“四同法”与单位圆确定质点的位置和相位，用“相邻法”“同侧法”判断质点的振动方向与波的传播方向，就能准确而快速地分析机械振动与机械波的相关问题。

机械振动在介质中传播，形成了机械波。机械波的频率等于其波源振动的频率，将质点的振动与波的传播紧密联系，往往会衍生出复杂多变的问题。

机械振动的图像描述某个质点在一段时间内的位移变化，不能表示机械波的传播距离。机械波的图像表示某一时刻机械波上各质点的位移。两个图像都涉及质点的位移与时刻，两者如何关联呢？我们可以用“四同法”进行关联，即同一时刻、同一位置、同一质点、同一运动。

“同一时刻”指波形图像和振动图像的相同时刻；“同一位置”指特定质点在波形图像和振动图像的位移相同；“同一质点”指波形图像和振动图像研究的对象相同；“同一运动”指同一质点在波形图像和振动图像中的振动方向相同。

为了更好地理解和应用“四同法”，需要熟悉机械波的传播与机械振动的相关知识。先回顾一下振动图像和波形图像如何表示质点振动或波的传播方向。

一、“相邻法”与“同侧法”

振动图像中质点振动方向的判断可用“相邻法”：某质点振动方向从当前时刻位置指向相邻下一时刻的位置，如图1中的A点和B点，tA时刻质点在yA位置，相邻的tB时刻质点在yB位置，该点振动方向就是由yA指向yB的方向，即该质点tA时刻时沿y轴正方向振动。

图1

通过波形图像判断机械波的传播方向和质点的振动方向可用“同侧法”：在研究的某一点上画两个箭头，这两个箭头的箭尾在同一点，两个箭头在波形曲线的同一侧，使与x轴平行的箭头指向波的传播方向，则与y轴平行的箭头表示质点的振动方向。如图2所示，在C、D两点上分别画出箭头，b、c两个箭头与x轴平行指向波的传播方向，a、d两个箭头与y轴平行，表示质点的振动方向，C点的a、b两个箭头在波形曲线的同侧，D点的c、d两个箭头在波形曲线的同侧。

D

图2

二、“四同法”的具体分析

如图3所示，图像甲是一简谐横波在t=0.6 s时刻的波形图像，图像乙是该波上某质点的振动图像。“同一时刻”是指t=0.6 s时刻；“同一位置”是指该时刻质点在两图像之中都应处在平衡位置；“同一质点”，题干设置了不确定的多解性，可以是平衡位置的所有质点，即5 m、10 m等处的质点；“同一运动”是指这些质点都沿y轴负方向振动。

甲

甲

通常情况下，往往需要将机械振动与机械波结合在一起进行分析，具体应用情境如下。

三、由波形图像画出振动图像

从波形图像可以找到某个质点的振动方向及具体位置，由此可画出该质点的振动图像，确定周期与时间的关系。

【例1】(多选)手持较长软绳端点O以周期T在竖直方向做简谐运动，带动绳上的其他质点振动形成简谐波沿绳水平方向传播，如图5所示。绳上有另一质点P，且O、P的平衡位置间距为L，t=0时，O点位于最高点，P点的位移恰好为零，速度方向竖直向上，下列判断正确的是

图5

( )

A.该简谐波是横波

B.该简谐波的最大波长为3L

B

【思路】本题已知两点的特征位置及距离、振动方向，分析波长需要画出波形图像；分析指定时刻的振动物理量，需要画出振动图像及单位圆确定质点的具体位置及振动情况。

图6

甲

【答案】AC

C

A

四、由振动图像画出波形图像

由振动图像可以找到指定时刻、指定位置、相应质点的运动方向，画出与题设对应特征的波形图像，确定空间与波长的关系。

【例2】一个机械波的波源以坐标原点O为中心位置在y轴上做简谐运动，其振动图像如图8所示，振动在介质中产生的简谐横波沿x轴负方向传播，波速为5 m/s，波源振动0.6 s后立即停止运动，再经过0.4 s后的波形图像为

图8

( )

【思路】已知波源的振动图像、波速和时间，分析波形图像。先计算传播距离，再根据波的传播方向及质点的振动方向画出特征位置，进一步画出实际的波形图像。

图9

机械波在介质中传播的时间为t=0.6 s+0.4 s=1 s，传播距离x=vt=5 m，波沿x轴负方向传播，波形最前端由x=0 m传播到x=-5米的位置，正确答案为A。

【答案】A

五、根据文字画出振动图像与波形图像

由文字信息画出满足题设特定条件的振动图像和波形图像，分析时间与周期、空间与波长的关系。

【例3】平衡位置位于原点O的波源发出的简谐横波在均匀介质中沿水平x轴传播，P、Q为x轴上的两个点(均位于x轴正方向)，P与O的距离为22 cm，此距离介于二倍波长与三倍波长之间。已知波源自t=0时由平衡位置开始向下振动，周期T=4 s。当波传到P点时，波源恰好处于波峰位置；此后再经过21 s，平衡位置在Q处的质点第一次处于波峰位置。求P、Q间的距离。

【思路】本题没有图像且文字较长，需要认真阅读抓住要点，根据空间关系及指定点的特征，画出波形图像确定波长，结合已知求出波速；指定点出现指定波形所需的时间，等于波传播到指定点的时间，加上指定点振动的时间，根据速度和时间就可以求出距离；通过振动图像分析Q点的运动有助于求出波形由P传到Q的时间。

图11

六、根据已知信息分析已知振动图像和波形图像以外的图像

根据机械振动与机械波的相关规律分析指定质点以外的其他质点，或者指定时刻以外的其他时刻的相关振动图像与波形图像。

【例4】(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻波形图像如图12实线所示，此时波刚好传到P点，t+6 s时刻的波形图像如图12中虚线所示，a、b、c、P、Q点是介质中的质点，则下列说法正确的是

图12

( )

A.这列波的波速一定是5 m/s

C.质点c在这段时间内通过的路程可能为80 cm

D.若周期T=8 s，则在t+8 s时刻，质点Q的势能最大

【思路】本题已知两个不同时刻的波形图像，实线中的P点刚起振，虚线中的Q点已经振动，但是否为起振题目未说明，这里设置了一个陷阱。首先由波形图像读出波长，再通过两时刻的空间关系找到时间关系，继而进一步找到周期的表达式，有了波长和周期可分析波速；a在不同时刻的位置可由振动图像和单位圆进行判断和计算；c点传到Q点的运动参数可以由振动图像分析得出。

甲

图14

【答案】BD

综上可以看出，机械振动和机械波涉及的知识面广、信息容量大。波形图像和振动图像从不同的方面对质点的运动信息做了描述。要快速准确分析质点的运动及波的传播，一定要与时间、空间图像紧密结合。分析空间与波长的关系，一定要画波形图像；分析质点所在位置的位移、速度、加速度、动能、势能要结合振动图像、单位圆图像、振动方程、波的方程；时间与空间的联系，振动一个周期时，机械波在介质中传播的距离是一个波长；空间某个点一定时间内的运动情况往往要分析由波源传递到该点的时间和该点振动的时间。

巧妙地结合物理信息并将信息图像化，再与物理理论结合就可以提升空间思维能力，提升解决问题、分析问题的方法和能力；巧妙地结合物理信息将信息图像化，可以提升物理素养，提升想象力和创造力，创造更美好幸福的未来世界。