基于三维温度场快速重建的传感器节点优化部署研究*

李 欣，庞成鑫*，李 康，张 军，黄墀志，王东亮

(1.上海电力大学电子与信息工程学院，上海200090；2.国电南瑞南京控制系统有限公司，江苏 南京210061)

3D 温度场重建在各领域都具有十分重要的意义。 在物联网背景下，工业场景中可通过在部分位置放置传感器节点实时检测、重建温度场，进而达到提高工业设备的工作效率、延长设备工作寿命、节约能源、找到最优控制策略以及降低事故发生率的目的。

3D 温度场是随着时间演变的空间分布轮廓[1]。在文献中，使用传感器节点重建3D 温度场的方法包括声学测温法[2]，插值法[3]等。 其中，基于Kriging 插值算法的三维温度场重建技术是物联网场景下温度场监测的重要研究方向。 Kriging 插值算法根据被测空间内部署的少量传感器节点温度信息进行高精度的温度场重建，具有重建时间短，重建精度高，重建成本低等优点。 理论上，所使用的传感器节点越多，越能详细重建三维温度场。 但考虑其部署方案的成本以及三维温度场重建误差，希望能在保证重建精度的前提下，对传感器节点进行优化部署，以得到最优的传感器节点数目并将其部署于最佳位置。

传感器的优化部署计算方法包括:非线性优化规划方法[4]、序列法[5]、随机类方法等。 非线性规划方法适用于形状规则的结构，若采取转化离散变量为连续变量求解的方法则易陷于局部最优化。 序列法也往往只能得到局部最优解。 李凡等[6]通过ANSYS 建立有限元模型，通过分析相关参数进行模拟退火算法，得到有效的传感器部署位置优化方案。田莉等[7]提出了一种自适应模拟退火遗传算法的混合算法进行某复合材料的传感器优化布置。 算例将目标函数、一定数目传感器节点优化特性结合遗传算法以及模拟退火算法，优化了传感器节点的数目。 模拟退火算法[8]作为一种适合求解大规模组合优化问题的随机搜索算法，能够以一定概率接受恶化解，从而使算法免于陷入局部最优值，达到较好的寻优结果。

由此，本文提出一种传感器节点部署优化方案:以Kriging 插值算法生成的三维温度场重建误差最小为目标函数，传感器节点数目为限制条件，采用模拟退火算法优化传感器节点的位置。 重建结果表明本文所使用传感器节点优化部署方法的有效性:温度场模型重建均方根误差有明显降低。

本文章节安排为:第一节将简要介绍传感器节点优化部署的原则；在第二节将建立使用模拟退火算法和克里金(Kriging)算法重建温度场的方案；第三节结合仿真结果进行数据分析；第四节总结本文研究内容。

1 传感器节点部署原理

1.1 数学模型

在有中心热源的三维空间内部署传感器节点以达到最优效果可以采用动态规划求解。 动态规划算法通常用于求解决策过程中具有某种最优性质的问题。 在这类问题中，可能会有许多可行解。 每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。其基本思想是拆解问题为各最优子结构，从而避免重复计算。 而本文更符合动态规划[9]的经典问题—背包问题。

将三维空间内部的传感器节点最优部署归结为背包0-1 规划问题[10]，其只有一个传感器节点数目的限制条件。 将整个三维空间划分得到n个候选点，假设传感器节点数目为m。 在部署矩阵(1×n)中，如果第i个位置为1，即将传感器节点布置在第i个候选点上；如果第i个位置为0，即该候选点处不布置传感器节点。 以传感器节点数目为限制条件，其数学模型可表示为下式，求解xi使得目标函数X最小化。

1.2 Kriging 插值算法

Kriging 是一种适用的插值方法[11-12]。 基于变量理论和结构分析，Kriging 对有限区域的区域化变量进行最佳的相关性加权估计[13]，具有误差小、方差小的显著特征。

对于任意空间变量x，其响应值y(x)可以表达为:

其协方差矩阵为

式中:σ2是Z(x)的方差，R(xi，xj，θ)是以θ为参数的相关函数，表示样本点xi与xj之间的空间关系。相关函数的选择对模拟结果精度影响较大。 相关函数采用高斯函数表示:

式中:θ=(θ1，θ2，…，θn)T为相关函数参数，n为变量的维数。

一般的插值步骤是:①网格化，根据选择的区域创建适合的网格。 ②计算坐标，计算每个网格点的水平坐标、垂直坐标。 ③拟合模型，Kriging 工具箱提供了具有0、1、2 阶多项式的回归模型，以及相关模型。

1.3 模拟退火算法

1982年，Kirkpatrick 等将退火思想引入组合优化领域，提出模拟退火算法。 其源于对固体退火过程的模拟，采用Metropolis 接受准则[14]，并用冷却进度表的参数控制算法进程，使算法在多项式时间里给出一个近似优化解。

其算法流程如图1 所示。

图1 模拟退火算法流程图

①编号所有测点，产生一组传感器节点初始布点方案s0，并按下式计算出T0，则T=T0。

②令T=Ti进行Metropolis 抽样。 计算转移概率PT，判断是否接受从当前解i到新解j的转移。

③按Ti＋1=αTi方式实现退火。

④看是否满足停止准则[6，15]，不满足执行②；满足则执行⑤。

⑤以si作为最优解输出。

2 传感器节点优化部署方案

2.1 方案描述

在工业场景中为实现某三维空间内部的实时温度监测，得到精确的温度场分布是十分重要的。 本文在Intel(R)Core(TM)i7-5500U CPU＠2.40 GHz、内存为8.0 GB、操作系统为Mircrosoft Windows 10 PC 机的同等条件下，通过所部署m个传感器节点得到对应节点位置S(x，y，z)以及对应的温度值T，使用Kriging插值算法进行整个三维空间的温度场重建。 对比Flotherm 建模仿真，采用Kriging 算法重建温度场仿真耗时缩短99%(图2)，极大提升了三维温度场重建速度，为后续通过少量关键传感器节点快速准确重建区域内的三维温度场研究奠定基础。

图2 CFD 与Kriging 算法仿真三维温度场所耗时间

同时为达到缩减部署方案成本与最佳三维温度场重建效果双赢的目的，我们希望能在保证重建精度的前提下，对传感器节点进行优化部署，以得到最优的传感器节点数目并将其部署于最佳位置。

为初步取得较优重建效果，在模拟空间内部均匀放置合适数目的传感器节点(26 个)。 利用Simcenter Flotherm 2019.2[16]软件在空间范围均匀建立26 个传感器节点数据采集点，如图3 所示。 三维空间为0.5 m×0.5 m×0.5 m 的正方体区域，单个热源模型位于空间正中心处，设定热源温度恒为45 ℃。 对该三维模型进行网格划分，各个方向网格均设置为25 个，设定空间的流体特性和边界条件，并选用多重网格求解器进行求解，最终得出三维温度场仿真数据。 仿真所得26 个传感器节点的温度数据(位置S(x，y，z)和温度值T)，并通过Kriging 插值算法进行三维温度场的快速重建，最终得到重建三维温度场均匀分布26个传感器节点的均方根误差。

图3 均匀布置26 个传感器节点的三维空间模型

其次，运行得到优化部署方案的三维温度场重建误差。 如图4 所示，构建0.5 m×0.5 m×0.5 m 的三维空间模型，其中心放置一个恒温45 ℃的热源；并在X底面，Y顶面的面中心各设置一个0.05 m×0.05 m 的打开空间。

图4 三维空间及热源示意图

将整个三维空间划分，得到25×25×25 的15625个候选点；采用模拟退火算法，设置限制条件为温度传感器节点个数26 个，得到1×15625 矩阵，提取元素为1 的对应坐标，根据目标函数最小即可得到三维空间内传感器节点的优化部署方案，算法流程如图5。

图5 基于模拟退火算法的三维温度场重建传感器节点优化部署方案流程

2.2 实验相关设定

①目标函数

最终的重建精度采用模拟温度场的各点温度与重建温度场对应点温度的均方根误差来衡量。 该衡量标准的目标是确定传感器节点较少个数与最优位置的最优部署方案，使得到的部分温度场数据经过Kriging 插值后可以快速重建高精度的三维温度场。

式中:¯T为模拟温度场的平均值，N为三维网格化总数，T(i，j，k)为模拟温度场网格化后每个网格的温度值，^T(i，j，k)为重建温度场网格化后每个网格的温度值。

②实验参数

模拟退火算法能够以概率收敛于全局最优解，其最大问题是需要选择适当的冷却进度表参数[17]，包括:初始温度T0、马尔可夫链长度¯L、温度衰减系数α、停止准则s。 算法的收敛程度主要取决于衰减函数和马尔可夫链及停止准则的选择。 衰减函数用于控制温度的退火速度；在衰减参数α的衰减函数已选定的前提下，¯L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡；各种不同的停止准则对算法的性能和解的质量有很大影响。 若冷却进度表全部参数选配得宜，则既不影响算法最终解的质量，又能明显缩短CPU 时间。

本文中，根据多项式函数组合优化的实质以及实验经验[18]取¯L=1000；经实验，本文中T0的大小对结果影响较小，取为97；考虑到α、¯L、T0的交互作用[19]，取α为0.95。 同时，对于插值算法Kriging[20]影响较大的因子θ[21-23]，取其为三维默认值[10，10，10]，预测模型选取为高斯模型、线性结构[24]。

3 模拟结果

3.1 传感器节点位置优化

在传感器节点部署方案的20 次实验中，三维温度场重建平均温度相差十分小；经计算，20 次实验的均方根误差平均值为1.71%，较Flotherm 仿真所得均方根误差平均降低4.42%。 整体SA-Kriging 算法模拟所得的三维温度场较Kriging 算法插值所得三维温度场在准确度上有较大提高。 从图6 中看出，除个别异常点(图中三角标注)外，其余实验的均方根误差均在平均值上下浮动，且所有数据均明显小于均匀布置26 个传感器节点重建三维温度场所得到的均方根误差平均值6.12%(图7)。

图7 采用均匀布置传感器节点位置的三维温度场重建均方根误差

其中图6 第4 次的三维温度场重建均方根误差最小，为1.5837%。 其具体部署方案三维空间图为图8。

图6 采用模拟退火算法优化传感器节点位置的三维温度场重建均方根误差

图8 实验中均方根误差最小的传感器节点部署方案三维空间图

对比仿真与模拟所得的三维温度场图(图9，图10)，左侧为Flotherm 仿真所得三维温度场图，右侧为传感器节点位置优化后的模拟三维温度场图。温度区域分布类似，热源点和开放空间定位准确，表明其所使用的模拟退火算法能够有效地优化传感器节点部署方案，而降低使用26 个传感器节点重建三维温度场的误差，得到更准确的三维温度场重建相关温度数据。

图9 温度场三维切片

图10 温度场X 轴切片

3.2 传感器节点个数优化

为了探究三维空间内部署的传感器节点个数对三维温度场重建精度的影响的一般规律，按照模拟退火算法的随机部署方案，本文对传感器节点总数为10 ～25 的不同部署方案的三维温度场重建误差进行分析。

图11 为所得20 次实验所得17 组数据的箱线图[25]。 每个箱盒图由五个数值点构成，由下到上依次为:最小观察值(下边缘)，25%分位数(下四分位数，样本数据中所有数值由小到大排列后第25%的数字)，中位数(箱体中间线)，75%分位数(上四分位数，样本数据中所有数值由小到大排列后第75%的数字。)，最大观察值(上边缘)。 除此外，超出最大或者最小观察值的离群点数据，即异常值，以十字形式进行表示。

图11 传感器节点布置个数对三维温度场重建均方根误差的影响

可直观得到如下结论:①异常值。 个别组数据出现过大或过小的异常值，出现过大异常值的次数更多。 与随机选取的传感器节点位置相关；②中位数，反应样本数据的平均水平。 三维温度场重建均方根误差在使用10 个传感器节点部署方案时处在平稳于0.018 的状态，随着传感器节点数增加，均方根误差先略有上升而后呈下降状态。 在25 个传感器节点处又趋于0.017 的平稳状态；③分布区间，即箱子的上下限，在一定程度上反映了数据的波动程度。 部署方案中所使用的传感器节点数目增多时，其数据波动程度也更大。 在超过20 个传感器节点时，数据波动开始减小，并在25 个传感器节点处取得数据波动较小且三维温度场重建均方根误差小的理想状态。

根据箱线图反馈结果，进行同等数目的传感器节点均匀部署与采用算法优化部署对比，如表1 所示。

表1 相同数量传感器节点统一部署重构的均方根误差与算法优化部署对比

将同等实验条件下采用GA 优化Kriging 参数Θ的三维温度场重建参数与采用Flotherm 仿真、Kriging 插值、SA 优化传感器数目及位置的三维温度场重建参数进行对比，如表2 所示。 各算法仿真所得重建温度场的平均温度、最高温度、最低温度的数据较Flotherm 模拟数据误差小，而最重要的重建指标均方根误差:GA-Kriging 优化后较Kriging 插值降低22.88%，SA-Kriging 优化后较Kriging 插值降低72.06%。

表2 重建三维温度场参数对比

4 总结

为得到较优的传感器节点部署方案，快速、高精度地重建三维温度场，本研究提出基于Kriging 算法与模拟退火算法的三维温度场快速重建算法。 通过相关模拟以及定量分析，得到以下结论:

(1)当三维空间内部的传感器节点数目为26时，均匀布置方案取得较优的重建效果，而采用模拟退火算法优化的传感器节点器节点部署方案，在相等传感器节点数目及条件下，能够有效降低拥有中心恒温热源的三维温度场重建误差。

(2)三维温度场的重建误差随传感器节点数目的增加呈先上升后下降的趋势，可在重建误差与成本中寻找合适的最优平衡点。

(3)模拟退火算法与Kriging 插值算法相结合，可对三维空间内的传感器节点数目与位置实现优化，得到精度与传感器节点数目均优化的三维温度场快速重建部署方案。

本次实验数组较少，对于传感器节点个数的优化效果不明显，可后续增加实验数组观察传感器节点个数优化结果。 由于实验模型构建较为理想化，在后续研究中将进一步完善模型。