高中数学概念教学中挖掘与渗透“隐性知识”案例设计

韦法余 （南京市天印高级中学，江苏 南京 211100）

一、高中数学教与学中挖掘与渗透“隐性知识”的必要性

教师方面，教学过程是在教师的指导下，学生主动构建自己认知结构的过程，在此过程中教师的重要性不言而喻，所以在高中数学课堂中挖掘与渗透“隐性知识”对教师来说，一方面，是其成为高水平教师的必要条件.经过对专家型与新手型教师的访谈可知，对于数学教师教学水平的测量标准最基础的是对数学知识的掌握程度，高水平的教师已经不依赖教材了，他们对知识点的把握游刃有余，不但可以讲清“为什么”，还能在教学过程中渗透数学思想方法.在此新手教师如果能精准掌握这些知识，勤于思，勤于钻研，将会快速成长为优秀的高水平教师.另一方面，“隐性知识”的渗透与挖掘是打造高效率课堂的助推剂.在高中，高效的数学课堂与教师的教学方法密切相关，教师的教学不但要有智慧，还要有科学性与艺术性.在高中数学教学中挖掘教材中的“隐性知识”，可以高效实现教学目标，快速突破难点.“隐性知识”是伴随数学知识发生的，是对学生数学学习发展的一个补充，能够完善数学的结构，实现教学的科学性.在教学过程中渗透的“隐性知识”往往是对教材的重构，不同于传统教学方式.因此教师要精心设计一节数学课堂，要在板书、语言与动作上都有所设计，把握好艺术形态，以此体现数学行为的艺术性.

学生方面，作为课堂的主体，从发展的角度分析，学生对数学知识结构的认知决定了教学过程的进程、层次，在此渗透“隐性知识”，实际上就是学生发现数学本质的过程，以此填补了学生的“求知欲”，帮助其构建完整的知识脉络，并随着“隐性知识”的深度挖掘，让学生从不会学到想要学.一方面，挖掘与渗透“隐性知识”能让学生学好数学，掌握数学的本质.对于数学意识、方法与素养等“隐性知识”的挖掘与运用，可以让学生更好地掌握数学概念的本质，构建完整的知识结构，且无论是在课堂中的“被动渗透”，还是通过自主探究的“主动发现”，都是学生对数学知识的补充，是学生学好数学的铺路石.另一方面，渗透与挖掘“隐性知识”是培养数学素养的好帮手.高中数学隐性知识的挖掘与渗透，可科学发展学生的数学核心素养，主要体现在情感、态度与价值观上.

二、高中数学中包含的“隐性知识”

高中数学课堂中的“隐性知识”只可意会不可言传，其不是知识，而是在实际数学活动中，对知识的升华.高中数学“隐性知识”包括：

1.数学思想方法.利用数学思想，加强学生对数学知识本质的认识，还有助于学生探索数学规律，提升理性认知.对于具体的知识点，学生还能在实际的学习中，升华数学观点，并将其运用到实际情境中，提升学生解决问题的能力.高中数学教学中常见的数学思想有等价转换、化归思想，还有函数思想、对应思想、极限思想与统计思想等.

2.数学应用意识.数学应用意识是“隐性知识”中的主要内容，是一种意向、一种精神状态，需要学生从数学的角度分析，并运用数学语言、数学方法描述，在理解的基础上解决数学问题，在面对实际生活问题时，尝试站在数学的角度解决问题.

3.数学素养.高中阶段学生必须具备数学素养，以适应社会发展为目标.数学素养包括数学思维与数学能力，如解答数学问题的自信心、严谨的科学态度、理性精神等，都可以通过数学具体体现.对于高中生数学核心素养的培养，关键在于引导学生从数学的角度发现问题，进而解决问题，以此提升学生的数学素养，使学生以数学的眼光与思维观察现实世界，提升学生的数学抽象能力、逻辑推理能力、数学运算能力与建模能力等

三、教学过程中“隐性知识”渗透与体会的方法

1.教师教学过程中渗透“隐性知识”.高中数学中的“隐性知识”是教师教学结构中的主要组成，对学生数学认知结构的形成有重要意义.教师在渗透“隐性知识”的时候，要注意：

首先，要立足于教材，深度剖析其中的“隐性知识”.高中数学教材中一直隐藏着“隐性知识”，因此教师在备课时，要注重从教材中挖掘“隐性知识”，在课中合理渗透，让学生体会“隐性知识”的合理性，激发学生学习的积极性.

其次，选择适合的载体渗透“隐性知识”，不同知识点的“隐性知识”隐藏形式不同，需要教师借助不同载体合理渗透.常见的数学载体有数学史等，借助载体让数学知识变得通顺简单，促使活跃课堂气氛.

最后，将“隐性知识”运用于知识发生时、问题解决时与知识总结时.“隐性知识”会随着知识点的隐藏方式与内容的变化而变化，单以“隐性知识”中的数学思想分析，一个数学知识中会有几种数学思想，而相同的数学思想又可渗透在不同的知识点中.基于此教师要注意“隐性知识”的渗透不能一蹴而就，需要反复实践优化，特别是在知识点的产生时、问题解决时与知识点总结时进行优化，通过让学生彻底理解“隐性知识”，将其内化到自身的数学认知结构中，掌握数学本质与精华.

2.学生学习过程中体会“隐性知识”.很多高中生在学习数学的时候还不能完全体会“隐性知识”，但是随着知识与技能的积累，学生对“隐性知识”的敏感度也会增加.基于此在学习过程中学生需注意：

一方面，勤梳理知识，组成知识网络.学习数学知识点中“隐性知识”的体会，不是一次性完成的，需要循序渐进，逐步体验感受.因此学生在学习过程中，要善于归纳总结，梳理知识，进而形成基础的知识框架，慢慢完善知识网络，进一步理解与掌握知识点.

另一方面，学生要多进行发散与集中性的训练，在解题过程中感受“隐性知识”.习题训练是学生体会数学思想的主要途径，学生在解题的时候若形成良好的解题习惯，不但会扎实基础知识点，还会发散思维，进一步思考题目背后的“隐性知识”，可以根据题目中隐藏的条件，推理出出题人的意图，这对学生数学素养的提升有很大的帮助.

四、概念教学中挖掘与渗透“隐性知识”案例设计

以苏教版高中数学必修二“椭圆”定义的教学为例.

1.问题的发现.苏教版教材中关于椭圆定义的引出，是根据其几何特征建立坐标系，然后构建椭圆方程，然后给出其标准方程.关于椭圆定义的推导，过于机械，忽略了从椭圆截线定义到椭圆第一定义的过渡，标准方程的推导也比较烦琐.对于椭圆离心率的解释也不够精细，此部分知识的缺失，导致学生对椭圆定义的理解不够深刻.此时需要教师利用椭圆的起源与发展补充教材，重构教材，进而更好地利用“隐性知识”进行教学，达成教学目标.基于此的教材重构如图1.

图1 “椭圆的定义”教材重构

2.问题的解决.本节课以让学生了解椭圆的定义为最终目标，结合“隐性知识”，设计的教学目标是让学生根据椭圆的截面定义，进一步掌握第一定义，并且在平面直角坐标系中能够自主推导出椭圆的方程.通过知识与技能的学习，掌握椭圆的发展历程，感受数学家为了探究椭圆做出的努力，树立锲而不舍的品质.在此将解决问题板块分为四部分：

（1）以情境引入定义.为学生展示几何学家阿波罗尼斯对圆锥曲线的定义，即一个圆锥用平面截开，得到的交线就是圆锥曲线，圆锥曲线也被阿波罗尼斯称为圆锥截线.然后区分被截的圆锥面的几种情况，如圆、双曲线、抛物线与椭圆等.让学生了解圆锥曲线的截面意义，并根据此情境引导学生进行椭圆的学习.

教师带领学生阅读教材，并跟随数学家蒙特与舒腾的脚步，一起画一画椭圆，在多媒体的引导下，学生用事先准备的工具画出了椭圆.师生一同观察椭圆，大家畅所欲言，在学生激烈的讨论下，教师深化讲解圆锥曲线的发现过程，利用此环节将教材中“断层”的部分补充完整，然后借助隐性知识，激发学生学习的积极性，让课堂变得更加活跃.

（2）疏通定义，加强学生认知.让学生阅读教材中关于椭圆的定义，并提问：“为什么椭圆上的点到两定点和的距离的和比大？”结合三角形的知识，学生轻松回答了此问题.之后教师讲解，洛必达制定的椭圆第一定义，是在几何之后产生的，而阿波罗尼斯对椭圆的定义则是在解析几何之前就产生了.两个概念产生的背景不同，并询问学生两种定义是否可以联系起来，此时学生陷入思考.在此教师加入另外一位数学家旦德林对圆锥内切球研究的内容，如图2.在圆锥中作椭面的焦点，然后证明截面椭圆上的点符合到两定点的距离之和为常数且大于两定点连线的距离.此结论是对古希腊圆锥曲线截面定义和椭圆第一定义之间的补充.依据此讲解，让学生自己研究旦德林球的内容，进一步体会数学家对此部分内容的探索.此环节主要是引导学生剖析定义，强化认知.在教师的引导下，学生积极进行思考，并能分析椭圆不同定义的关键点，进一步提升教学效果.在课堂探索交流后增加旦德林球知识点的探索，将本来的课后探究放在课中进行，增加学生学习的自主性，优化教学过程.

图2 数学家旦德林对圆锥内切球的研究图示

（3）另辟蹊径，构建椭圆方程.在数学家洛必达提出的椭圆第一定义的基础之上，继续带领学生探究椭圆方程.由学生自主找到椭圆的两条对称轴与对称中心，然后以对称轴分别为轴、轴，作平面直角坐标系，再设置未知数，结合椭圆定义构建方程，最后化简.整个过程思路简单，学生容易想到，但是化简过程比较烦琐，计算麻烦.在学生利用直角坐标系求出标准方程后，还可借助-＝的关系，利用数学家洛必达给出的条件再次验证.如图3，设＝2，＝2，焦距＝2，为椭圆上任意一点，+＝2，假设和分别是+和-，为待定系数，尝试用，与表示，.由学生自行列式化简，最后还是能得到椭圆的标准方程.此过程就像之前解答习题中的“一题多解”，让学生知道椭圆方程的推导有多种方式，并为其留作业，让学生在课下再探讨，交流不同的推导方法.教材中对于椭圆的推导，承接上一章知识点“圆锥曲线与方程”，然后根据限制条件，重新列关系式，然后化简求解.另外还可利用洛必达的待定系数法扩展学生视野，让学生在推理过程中增强逻辑思维能力，进一步提升数学核心素养.

图3

（4）课堂小结，提炼升华.课后教师带领学生重新回忆数学史中椭圆的发展历程，以此让学生感受数学家锲而不舍的探究精神.最后让学生自主探究课后的习题，思考是否有新的发现.

综上，通过实际案例分析高中数学教学中“隐性知识”的挖掘与渗透，即利用数学史揭开“隐性知识”的神秘面纱，激发学生的学习积极性，在以学生为主体的课堂中由学生主动探究，进而提升教学效率，完善师生之间的互动.