关于不定方程x3-1=193y2

李 恒,杨 海,高志鹏

(西安工程大学 理学院,陕西 西安 710048)

0 引言及结论

关于不定方程

x3-1=Dy2

(1)

(其中D>0且不含平方因子)的求解已得到了不少的研究。当D不含6k+1型素因子时,其整数解已由柯召和孙琦[1-2]及曹珍富[3]等人全部给出,但当D含6k+1型素因子时,此类方程的求解比较困难。 当D含6k+1型素因子且0100时,此类方程的求解只得到了一些零散的结果：牟全武等[7]证明了x3-1=103y2仅有整数解(x,y)=(1,0)；高丽等[8]证明了x3-1=559y2仅有整数解(x,y)=(1,0)；樊苗[9]证明了x3-1=181y2仅有整数解(x,y)=(1,0)；杨晓柳等[10]证明了x3-1=229y2仅有整数解(x,y)=(1,0)；朱小玲[11]证明了x3+1=559y2仅有整数解(x,y)=(-1,0)；瞿云云等[12]证明了x3-27=119y2仅有整数解(x,y)=(3,0)。本文探讨了D=193的情形, 运用同余式、Pell方程解的性质及递归数列等初等数论方法证明了:

定理1不定方程

x3-1=193y2

(2)

仅有整数解(x,y)=(1,0)。

1 若干引理

引理1[3]设p是一个奇素数,则丢番图方程

4x4-py2=1

除去p=3,x=y=1和p=7,x=2,y=3外,无其他的正整数解。

引理2[13]不定方程x2-Dy4=1(其中0

引理3[3]设M与D都是整数且D>0,D不是完全平方数,K是方程

x2-Dy2=M

2 定理1的证明

显然,不定方程x3-1=193y2有整数解(x,y)=(1,0),故只需证方程(2)无其他正整数解即可,本文中a,b均为正整数,且a,b互素。

由于gcd(x-1,x2+x+1)=gcd(x-1,3)

=1或3。

故方程(2)可分为以下4种情形：

情形I:x-1=193a2,x2+x+1=b2,

y=ab,gcd(a,b)=1

情形II:x-1=a2,x2+x+1=193b2,

y=ab,gcd(a,b)=1

情形III:x-1=579a2,x2+x+1=3b2,

y=3ab,gcd(a,b)=1

情形IV:x-1=3a2,x2+x+1=579b2,

y=3ab,gcd(a,b)=1

对情形I: 由x2+x+1=b2得(2x+1)2+3=(2b)2，所以有

(2b+2x+1)(2b-2x-1)=3

由x,b为正整数,得x=0或-1均不满足x-1=193a2,故该情形方程(2)无解。

对情形II: 将x-1=a2代入x2+x+1=193b2可得

a4+3a2+3≡a4-a2+3≡3(mod 4)

又因为193b2≡b2(mod 4),则b2≡3(mod 4)不可能成立,故该情形方程(2)无解。

对于情形III:将x-1=579a2代入x2+x+1=3b2可得

(1 158a2+3)2+3=3(2b)2

即 (2b)2-3(386a2+1)2=1

Un=4Un-1-Un-2(n≥2),U0=1,U1=2

Un+r=UnUr+3VnVr,Vn+r=UnVr+UrVn

Un+1=2Un+3Vn,Vn+1=Un+2Vn

(3)

(4)

(5)

由386a2+1=Vn,得Vn≡1(mod 386),则有n≡1(mod 24),n≡11(mod 24)。

当n≡1(mod 24)时,不妨设n=24p+1,由386a2+1=Vn可知p≥0,其中在p=0时,易得平凡解(x,y)=(1,0)。在p>0时,由式(3)、(4)、(5)得

386a2=Vn-1=V24p+1-1

=U24p+2V24p-1

=2U12p+1V12p

龙泉村依山傍水，背靠桐柏山脉，门前淮河绕村而过。村领导班子先后引进西游记漂流、抱朴谷、神农部落、道教文化园等四大景区项目。

所以U12p+1V12p=193a2。

又由(Un,Vn)=1及式(3),(5)得

(U12p+1,V12p)=(2U12p+3V12p,V12p)

=(2U12p,V12p)=2

且193|V12p,所以必存在正整数s,t使得

U12p+1=2s2,V12p=386t2,a=2st

当n≡11(mod 24),假设n=24q+11,其中q≥0且为整数,则类似以上情形有

386a2=Vn-1=V24q+11-1

=U24q+10+2V24q+10-1

=2V12q+5(3V12q+5+2U12q+5)

=2U12q+6V12q+5

则U12q+6V12q+5=193a2。

又由(Un,Vn)=1及式(3),(5)得

(U12q+6,V12q+5)=(2U12q+5+3V12q+5,V12q+5)

=(2U12q+5,V12q+5)=2

且193|V12q+5,故必存在正整数h,k使得

U12q+6=386h2,V12q+5=2k,a=2hk

对情形IV:将x-1=3a2代入x2+x+1=579b2可得

(6a2+3)2-579(2b)2=-3

则6a2+3=Un,2b=Vn

λ2-770λ+1=0

据此可知Un与Vn满足地推公式

Un+2=770Un+1-Un,U0=24,U1=18 504

Vn+2=770Vn+1-Vn,V0=1,V1=769

从上式可知,对任意自然数n,Vn均为奇数,这与Vn=2b矛盾,故该情形方程(2)无解。

综合以上4种情形可知,不定方程x3-1=193y2仅有整数解(x,y)=(1,0)。