分离参数法应用举例

刘春燕

(山东省济南市章丘区第五中学)

求解参数的取值范围问题是高考的热点和难点,重点考查学生对数学问题的分析和转化能力.这类题型综合性较强,对学生的解题技巧性和灵活性要求较高,很多学生求解时不知如何下手,本文就围绕这一主题介绍求解参数取值范围的一种常用方法——分离参数法.

分离参数法 在等式或不等式中若出现两个变量,其中一个变量的范围已知,要求另一个变量的范围,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,进而求出参数的取值范围,这种求解参数取值范围的方法就是分离参数法.

分离参数法可以免去对参数的分类讨论,尤其在求解不等式恒成立、方程有解、函数有零点、函数单调性等有关参数的取值范围问题时我们经常用到该方法.该方法的关键步骤在于通过分离参数构造函数,将原问题转化为新函数的最值或值域问题,在新函数中用函数的观点讨论主变量的变化情况来确定参数的变化范围.

1 分离参数法在不等式恒成立问题中的应用

例1 若函数y＝2x2－8x＋21的图像恒在直线y＝4x＋2a＋1的上方,求实数a的取值范围.

由题意可列出不等式,再把原不等式等价变形分离出参数a,即a＜x2－6x＋10,然后求函数y＝x2－6x＋10 的最值,进而可得a的取值范围.

由题意知2x2－8x＋21＞4x＋2a＋1在R 上恒成立,则a＜x2－6x＋10在R 上恒成立.

令f(x)＝x2－6x＋10,x∈R,则a＜f(x)在R上恒成立,等价于a＜fmin(x),x∈R.

又f(x)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1≥1,所以a＜1,即实数a的取值范围为(－∞,1).

不等式恒成立问题中求解参数取值范围的步骤通常如下:

1)分离参数,得出a≥f(x)恒成立(或a≤f(x)恒成立)；

2)求解fmax(x)(或fmin(x))；

3)得出a的范围.

2 分离参数法在函数单调性问题中的应用

例2 若函数f(x)＝ax2＋lnx－4x在定义域内是增函数,求实数a的取值范围.

3 分离参数法在含参数方程问题中的应用

4 分离参数法在解决函数零点问题中的应用

5 分离参数法、构造函数法与换元法在不等式中的综合应用

6 分离参数法与分类讨论思想在研究函数单调性中的综合应用