化二为一——通过构造函数解决函数双变量问题

王 欣 张 浩

(1.北京工业大学附属中学 2.北京市朝阳区教育科学研究院)

2022年高考数学北京卷第20题考查了与双变量有关的函数问题.双变量问题一直是函数与导数问题的难点,其原因在于当两个变量都在变化时,究竟是用一个变量来表示另一个变量实现消元,还是两个变量通过变形用第三个变量来整体替换,亦或是通过化简变形实现同构,再构造新函数借助单调性来解决,需要具备很强的数学运算素养与逻辑推理素养.本文通过整理双变量问题的常见解决方法,为今后处理类似问题提供思路.

函数是描述客观世界中变量关系和规律最为基本的数学语言和工具.高中阶段研究的函数通常为单变量函数,主要研究函数值随着自变量的变化情况,如在变化过程中是否具有确定性、规律性等.

1 利用双变量的关系化二为一,构造新函数

2 配凑双变量的运算整体换元,构造新函数

3 分离变量借助函数单调性,构造新函数

在人教版新教材中,函数单调性的定义为:一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果∀x1,x2∈D,当x1＜x2时,都有f(x1)＜f(x2)(或f(x1)＞f(x2)),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增(或递减).

事实上,初中通过对函数图像的直观描述也提出了函数单调性的概念,即y随x增大而增大(或减小).在高中阶段,对于函数单调性的定义,要实现从图形语言向符号语言的过渡,最大的难点就是把y随x增大而增大(或减小)这样的直观描述用严谨的数学符号语言来表述.增大与减小都需要比较,而表达比较就需要用两个变量来刻画,所以函数单调性的定义本身就涉及了双变量的问题.因此,我们可以考虑通过等价转化变形,构造出“相同构型”的数学式子,将问题化归为某个单变量函数的单调性问题.

分析 注意到在不等式右侧的式子中,分子只含x1,分母只含x2,如果将不等式左侧的x1与x2拆开,就有可能实现将两个变量分离在不等号的两侧,出现相同构型的代数式,进而化归为某个单变量函数的单调性问题进行解决.

4 指定函数的自变量和参变量,构造新函数

例5 (2022 年北京卷20)已知函数f(x)＝exln(1＋x).

(1)求曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)设g(x)＝f′(x),讨论函数g(x)在[0,＋∞)上的单调性；

(3)证明:对任意的s,t∈(0,＋∞),有

f(s＋t)＞f(s)＋f(t).

分析 本题第(3)问,f(s＋t)＝es＋tln(1＋s＋t),无法直接利用对数运算法则拆成与f(s)＝esln(1＋s)或f(t)＝etln(1＋t)相关的式子,因此不能如例4一般,在分离变量之后出现相同构型,进而转化为新函数的单调性进行求证.此外,由于s与t是任取的两个变量,因此彼此之间也没有像例1那样的等量制约关系,因此无法用一个变量来表示另一个变量实现消元.值得注意的是,s与t在所证明的式子中是对称的,彼此之间互不影响,可以考虑选择其中一个作为自变量,另外一个视为参变量,从而将双变量的函数问题看成单变量的函数问题,使得该问题变成熟悉的问题.

解 构造函数h(s)＝f(s＋t)－f(s)－f(t),s∈(0,＋∞),t为参数,t∈(0,＋∞),则h′(s)＝f′(s＋t)－f′(s).由(2)知,g(x)＝f′(x)在[0,＋∞)上单调递增,因为s＋t＞s,所以f′(s＋t)＞f′(s),即h′(s)＞0,所以h(s)在(0,＋∞)上单调递增,所以h(s)＞h(0)＝f(0＋t)－f(0)－f(t)＝－f(0)＝0,所以f(s＋t)＞f(s)＋f(t).

在双变量问题中,将其中一个变量视为主变量,另外一个视为参变量,将问题转化为该主变量的函数、方程或不等式问题,本质上是函数与方程思想的应用.尤其是当两个变量在等式或不等式中的地位相同时(即对称),可以考虑利用指定主变量的方法解决问题.

例6 对于任意实数a,b,若(a－b)2≥kab恒成立,求实数k的取值范围.

分析 这个问题如果从基本不等式或不等式的性质角度考虑会比较复杂,需要讨论多种情况.如果注意到实数a与b在这个不等式中是对称的,就可以考虑将其中一个视为变量,而将另一个视为参数.

解 将不等式转化为一个关于a的二次不等式恒成立问题:即f(a)＝a2－(kb＋2b)a＋b2≥0恒成立.由于a是任意实数,因此结合二次函数的图像性质,只需Δ＝(kb＋2b)2－4b2≤0 恒成立,即k2b2＋4kb2＋4b2－4b2≤0,k2＋4k≤0,k∈[－4,0].

此外,对于这种双变量的函数问题,即使问题中已经指定了某个变量是自变量,在解决问题的过程中,也可以突破常规,打破固有思维,重新选定变元,可能会收到意想不到的效果,快速解决问题.

例7 对于任意实数a∈(－1,1],f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立,求x的取值范围.

分析 这个问题,如果仅从不等式的角度看,是一个典型的双变量(a与x)的不等式恒成立问题.在函数f(x)中自变量为x,大多数学生自然会从二次函数的角度出发考虑这个问题.由于a是变化的,因此这个二次函数的对称轴以及一些特殊点的函数值都是随之变化的,所以从二次函数图像的角度反过来推测满足条件的自变量的取值很复杂.此外,即使题目中没有指定x为函数的自变量,很多学生也无法摆脱思维定势,会习惯性地假定x就是函数的自变量,a为参数.其实对于这个问题,如果调整一下思考的方向,将a视为自变量,即指定a为变元,将x看作参数,则可以构造一个关于a的新函数:

总之,无论是指定主变量还是改变主变量,都需要结合具体的问题,观察每个变量对方程、不等式、函数的影响,巧妙地将问题转化为单变量的函数、方程、不等式问题,这需要对函数与方程的思想有较为透彻的理解,同时也要具备较强的数学运算与逻辑推理素养.

5 涉及两个函数的双变量问题,直接转化为最值问题

例8 已知函数f(x)＝8x2＋16x－k,g(x)＝2x3＋5x2＋4x,k∈R.

(1)对∀x1,x2∈[－3,3],都有f(x1)≤g(x2)成立,求k的取值范围；

(2)若∃x1,x2∈[－3,3],有f(x1)≤g(x2)成立,求k的取值范围；

(3)对∀x1∈[－3,3],∃x2∈[－3,3],有f(x1)≤g(x2)成立,求k的取值范围；

(4)若∃x1∈[－3,3],∀x2∈[－3,3],有f(x1)≤g(x2)成立,求k的取值范围.

分析 这几个问题表面上看涉及了两个变量,但由于这几个问题中的不等号两侧涉及的是两个函数,因此对其中任意一个函数而言,还是单一变量的问题,无须采用任何措施进行消元.类似这种带有量词∀与∃的两个变量的问题,如果两个函数之间是等量关系,则问题可以转化为两个函数的值域之间的关系问题；如果两个函数之间是不等关系,则问题可以转化为两个函数各自最值之间的关系问题,上述四个问题可以概括如下.

∀x1∈[a,b],∃x2∈[a,b],使得f(x1)＞g(x2)成立⇔fmin(x)＞gmin(x)；

∃x1∈[a,b],∀x2∈[a,b],使得f(x1)＞g(x2)成立⇔fmax(x)＞gmax(x)；

∃x1∈[a,b],∃x2∈[a,b],使得f(x1)＞g(x2)成立⇔fmax(x)＞gmin(x)；

∀x1∈[a,b],∀x2∈[a,b],使得f(x1)＞g(x2)成立⇔fmin(x)＞gmax(x).

值得注意的是,上述问题与下面的问题要加以区分:在例6的条件下,若∀x∈[－3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围.

这个问题中,不等号左右两侧的变量是同一个,因此不能分别求两侧的最值进行比较,而应该移项构造新函数h(x)＝f(x)－g(x),转化为h(x)≤0的恒成立问题.当然,若函数满足对∀x1,x2∈[－3,3],都有f(x1)≤g(x2),即fmax(x)≤gmin(x)成立,则h(x)＝f(x)－g(x)≤0也是成立的,但反之不行.

函数中的双变量问题是近年来高考中经常涉及的一类问题,解决此类问题的方法通常都需要构造新函数.构造函数的本质是要确定自变量和对应关系,可以采用消元、换元、分离变量、选定主变元等方式来确定自变量,将双变量的问题转化为新构造的单变量函数问题.