追根溯源,多种思维,链接高数——2022年高考数学新高考Ⅰ卷第7题

戚昌厚

(中国人民大学附属中学分校)

函数值或参数的大小比较问题是新高考数学试卷中常考的一种基本题型,试题常常在知识的交会处加以巧妙创新设置,融合不同知识与思想方法的综合应用,具有一定的综合性与交会性,是高考的重点.本文通过一道高考真题的大小比较问题,合理追根溯源,展开思维剖析,展示方法技巧,探究拓展提升,凸显数学本质.

1 真题呈现

分析 该题与以往新高考中的一些真题有点类似,但又有创新,其基本考点就一改常态,以更加特殊的方式复合构建指数式、对数式、分式等具有相应关系的代数式,进而确定相互之间的大小关系.

通过分析代数式之间的结构特征,常规解题思路是联系以0.1为变元所构建的函数式之间的规律,通过作差比较法,合理构造复合函数,利用函数的单调性分析与处理.

2 多解探究

根据两两之间的作差或作商,合理构建对应的函数,通过求导,结合导函数在相应区间内的正负取值情况确定对应函数的单调性,进而确定以0.1为变元所对应的函数值的正负取值情况,最终得以确定大小关系.

根据两两之间的作商或作差,合理构建对应的函数,这是处理两个同号代数式大小关系时比较常用的一种方法.在构建函数处理代数式的大小关系时,要结合代数式的结构特征,合理选择作差比较法或作商比较法.

3 追根溯源

追根溯源,2022年新高考Ⅰ卷第7 题是在2021年高考数学乙卷理科第12题的基础上,进一步转化、深入、变形、拓展与提升.

4 变式拓展

5 小结

5.1 大小比较的类型总结,策略剖析

函数值或参数的大小比较问题,是近年新高考数学试卷中一类比较常见的热点题型,有时以单项选择题的形式出现,有时以多项选择题的形式出现,难度往往比较大,经常出现在压轴题的位置.此类问题以指数式、对数式、根式、分式等形式加以代数运算,渗透基本初等函数(以幂函数、指数函数、对数函数等为主),结合代数运算以及函数的图像与性质等基本内容,巧妙融入数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养.

5.2 链接初等数学与高等数学

通过高等数学中的某个数学概念的初等化定义、初等化应用等创新设置,实现高等数学知识初等化,在定义、应用等方面进行拓展和延伸,考查学生的阅读理解能力和推理论证能力等,也为后继进入高校学习做铺垫.