深度学习的数学教学实践初探——以互动白板在教学中的实践为例

刘 燕 郭海燕

(福建省福州华侨中学 350001)

深度学习是指在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实，并把它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系并迁移到新的情境中，作出决策和解决问题的学习.相对应的(也是传统课堂教学流行方式)浅层学习的认知水平停留在识记和理解两个层面上，学习者被动地接受学习内容，对书本知识和教师讲授的内容进行简单的记忆和复制，但是对其中内容却不求甚解，这种学习使学生在课后不久就忘记了所学知识.所以为了强调学生成绩的提高，势必加强训练，增加考试，家长还觉得不够，再校外参加课外培训……，所以才会呼唤减轻学生过重的作业负担和校外培训负担，所以“深度学习”理念与教学方式显得尤其必要.“深度学习”是教学中的学生学习，体现在教师引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与，体验成功、获得发展的有意义的学习过程.“深度学习”必须满足以下五大要点：(1)积极投入，(2)基于理解的学习过程，(3)学习活动和认知能力处于较高认知水平层次，(4)在整体性学习的背景下，逐渐建立自己的知识体系，(5)具有创造性和批判性思维，能够解决情境下问题.

常常碰到这样的一个问题，学生课上听的时候会了，课后做的时候又不会了，同仁也常抱怨，现在学生的能力太弱了，刚讲过的变个条件又不会了，问题出在哪儿呢？笔者经过长时间的调研和反思，发现教师普遍注重教学生怎么做而轻视教学生怎么想，所以，学生的“会”就停留在对解题步骤的理解，至于怎么想到这样做，却不了了之，所以效果自然就是听一题，会一题，甚至对原题也是一知半解的，更不能说迁移了.我们平日的教学当中，认真思考解决好这个问题，其实已经融入了深度学习的理念，下面笔者就一道综合应用型的习题，就互动白板技术的支持融合中解决情境下问题，深度学习的教学案例，与大家分享探讨.

例1 在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y=ax2-2ax+a-2(a>0)，分别过点M(t,0)和点N(t+2,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A和点B.记抛物线在A，B之间的部分图像为G(包括A，B两点).

(1)求抛物线的顶点坐标；

(2)记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m.

①当a=2时，若图形G为轴对称图形，求m的值；

②若存在实数t，使得m=2，直接写出a的取值范围.

1 明确解题目标

解题从学法角度入手、知识溯源来分析，应该分三步：①要明确解题目标是什么；②根据目标追溯与之相关的知识源，结合知识源的主要特征，选择适合的知识源求解；③解决情境下问题与建立自己的知识体系.

以上面的三个步骤作为操作模式，逐步引导学生学会“怎样想”，呈现思路的形成过程和必然性，引导学生掌握基本的分析方法，才能够让学生自悟并有效迁移.下面，笔者通过这个案例说明习题教学如何从教“怎样做”转向教“怎样想”.

2 追溯选择与问题相关的知识源求解

设计成下列驱动问题：

问题1：问题(1)求抛物线的顶点坐标，已学过的有关顶点坐标的知识源有哪些？

主要有二次函数解析式顶点式(知识源1)、顶点公式(知识源2).

问题2：此问应选哪个知识源求顶点坐标？

观察式子结构是字母系数(含参)解析式，然而发现配方成顶点式恰好计算量少于用顶点公式，所以选择知识源1.

问题3：二次函数图像如何确定？主干题中抛物线确定了吗？请用白板画图理解.

a值与顶点确定则二次函数图像确定，其中a值确定带来开口方向与开口宽窄确定.主干题中抛物线只确定顶点与开口向上，开口宽窄不确定，所以是如图1的抛物线系列.

图1

问题4：如何理解“图形G”？

二次函数动态问题的处理策略：数形结合，从直观图像开始认识性态结构，把结构研究作为一种思维的模式，最后超越直观.图形G是水平宽为2的平行垂线截抛物线得的一段，随着t变化，图形位置与大小变化(如图2).

图2

【设计说明】这两问目的在于由形感知，化难为易，培养学生掌握处理二次函数问题的策略.

问题5：主干题中“图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差m” 已学过的确定m值的有关知识源有哪些？

主要有平面直角坐标系中点坐标与线段长短转化(知识源1)、“最高点与最低点落差”与“最大值与最小值的差”的转化(知识源2)、结合二次函数图像形状与性质(数形结合求解)(知识源3)、构造待求量与某变量的函数关系，根据函数性质求最值(知识源4).

问题6：应选哪个知识源?

如图3，结合二次函数图像形状与性质(数形结合求解)(知识源2)与(知识源3).

问题7：问题(2)①当a=2时，若图形G为轴对称图形，求m的值.如何用轴对称图形解决？

a=2时，图像形状固定，问题仅仅与位置有关，结合图像(如图2)，抛物线对称轴仅有一条，发现只有一个位置，满足“部分图像”成轴对称，所以只能与抛物线共对称轴，借助端点对称性求解，点A与点B纵坐标相同为0，与最低点纵坐标-2的差均是2，所以m=2.

【设计说明】目的在于培养学生处理轴对称问题的调控能力.

问题8：问题(2)②若存在实数t，使得m=2，怎样求a的取值范围？

求变量的取值范围常有两种处理策略，一是把要求的变量用另一个变量表示成函数，利用代数计算求取值范围，二是配合图像与性质，数形结合确定取值范围.不论哪种策略都得分类讨论.本题若用代数计算，计算量很大(学生尝试过，计算超越现有的知识范畴)，所以选择用后者.

问题9：既然用图形的性质解决此问题，同时，双变量t与a都影响着m值，那么能否模仿二次函数性质探究方法，分别找出a固定或者t固定时m随另一变量的变化规律？

a固定时，回归课本(人教九上P29页)，从图像看离对称轴越远越陡峭，从函数值看也是越变越快，m取最小值位置在图形G与抛物线共对称轴时(如图2)；

t固定时，回归课本(人教九上P31页)，在a>0的前提下，从图像看a越大开口越窄，横向等宽时高低差越大，从函数值看横坐标等距函数值差距也越大，也就是说a增大m的最小值增大，可能使其超过2(如图3).也就是说由(2)①得a=2时，m≥2；若a>2，则m>2，即不存在m=2了，所以须得a≤2，才符合题意；综上问题得解0

图3

【设计说明】从知识溯源切入，教学生怎样想，目的在于培养学生深入溯源二次函数图像性质探究规律的思维品质，a定m随t的变化规律与t定m随a的变化规律双重规律夹逼下得到问题解决，拓宽思路，从直观图像开始最后超越直观，提升处理二次函数多参数问题的能力.

3 解决情境下问题建立自己的知识体系

教师应该引导学生怎样想，尤其是思路受阻时，借助知识溯源、回顾处理相关问题的知识源，往往能打开解决问题的思维通道，确定解题方向的切入点，也比较容易调动学生已有的知识，经验感受和兴趣，从而更加自主参与知识的获取、问题的解决过程，有利于学生从中获取更多的新知、感悟，理解与建构知识结构、促进内化与创新思维.

互动白板技术创造性应用为数学实验创设增加了可操作性，让学生自己动手画y=ax2-2ax+a-2(a>0)图像，操作得图2、图3效果，特别是图1、图2、图3给学生反复观察和共同研究探讨，从而为性质的归纳，结论的提炼，知识的构建，提供了直观到抽象、静态往动态的平台，为创造性和批判性思维的发展提供保障.

正如数学家德海纳特说，所有有活力的思想都有一个缓慢的发展过程，留足够的探索时间，引导学生，围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与，体验成功、获得发展.深度学习有着不可忽视的教育价值.