方阵可对角化的应用研究

白昊月

(吉林建筑科技学院，长春 130000)

1 反求矩阵

反求矩阵问题是矩阵相似对角化的一个延伸问题，教学过程中应适当渗透此方法。

例1：设三阶实对称矩阵A的特征值分别为λ1=-7,λ2=λ3=2,该矩阵属于λ1的特征向量为α1=(1,2，-2)T.求矩阵A。

于是令Q=(η1,η2,η3),Λ=diag(-7,2,2),则Q为正交矩阵，且Q-1AQ=QTAQ=Λ.则有

2 求解方阵的n次幂

在线性代数中，求解方阵的幂是一种特殊的矩阵乘法问题，利用矩阵可对角化的性质，以比较简单明了的方法解决了以下问题。

求得两个特征值对应的特征向量分别为

故

3 实对称阵的正交对角化

除了上述比较常见的两个例子之外，还有一些有意义的结论提出，对于一个实对称阵，在正交化的过程中存在的正交矩阵是不唯一的，那么是否能够找到与同一个实对称阵相似的不同对角阵之间的关系，或者用另一个矩阵建立起联系？这个矩阵该如何求解？通过下述例题来进行简单说明。

定理1[1]对于n阶实对称阵A，若存在正交矩阵P、Q，使得PTAP=Λ、QTAQ=Λ1均为对角阵，则存在正交阵X，使得XT(QTAQ)X=Λ，那么还存在一个正交阵设为R使其建立起联系，QX=PR。

R=P-1T=P-1QX=PTQX

4 求解数列通项公式

定理2[3]若n阶方阵有n个不同的特征值，则该方阵可对角化。

例4：已知数列{xn},{yn}满足xn=xn-1+3yn-1，yn=2xn-1+2yn-1，且y0=2x0=10，求x100,y100。

5 求解数列极限

求解数列极限可分为两种情况：具有线性递推关系的数列、可化为具有线性递推关系的数列。通过例题分别对两种情况加以说明。

解：将已知条件的递推关系组写为矩阵形式：

6 结 语

方阵的对角化在解决实际问题中具有广泛的应用，在高等数学中也具有重要价值和意义。