课堂教学应回归数学的本质

■福建省福清市瑞亭小学 李 衡

随着教育的改革不断深入，教师的教学理念日益更新，但是依然存在教师对学科知识的本质理解不透，教学方式依旧是教师灌输、学生接受的方式，出现很多“假思考”“假学习”的现象，导致学生的思维在浅层徘徊。要想改变这种现状，必须回归到数学学习的本质。数学本质从学科角度、学习角度、教育角度来看，是数学本身的学科知识，是学生学习数学过程中形成的数学思想，是数学教育的目标培养创新精神和理性精神。所以，课堂教学需要关注数学知识背后的原理，关注学生学习的方式、关注学生思维的发展，从而实现数学教学本质的回归。

一、善用教材，增强数学本质的理解

（一）创设情境，主动参与

情境教学打破了传统灌输式的教学方式，有利于营造愉快、轻松的教学氛围，有利于激发学生的学习兴趣，有利于学生思维的发展。教学情境的创设方式多样，教学中不同的情境带给学生的学习体验式也是不一样的。游戏情境可以激发学生的学习兴趣；矛盾情境可以引发认知冲突；直观情境可以丰富学生的表象。

1.游戏情境

小学生喜欢游戏，采用游戏情境能有效调动学生多种感官的参与，激发学生学习的积极性。如在教学“小数点位置移动引起小数大小的变化”一课时，教师创设了孙悟空金箍棒变化的游戏：孙悟空从耳朵里掏出一根0.009米的金箍棒，随着小数点不断地向前向后跳跃，学生兴奋地喊着金箍棒“变长”或者“变短”，枯燥乏味的小数点位置移动，引起小数大小变化，以金箍棒的形象留在了学生的脑海中，有效促进了接下来的规律探究学习。

2.矛盾情境

矛盾情境有利于学生打破平衡的状态，产生认识冲突，促使大脑兴奋活动，自觉地进入解决问题的状态中，实现良好的教学效果。如在教学“三角形三边关系”一课时，学生通过摆小棒，发现“两边之和大于第三边的三根小棒可以围成三角形”。当学生得出这个结论时，教师在黑板上贴出三根小棒，分别是“3厘米、9厘米、5厘米”。大部分学生认为：“可以围成三角形，因为3+9＞5。”教师让学生到黑板上摆一摆，可是无论怎么摆就是差那么一点围不成三角形，刚刚还非常自信的学生表情开始凝重，觉得有点不可思议：“怎么会围不成？”通过观察，很快他们发现问题在3+5＜9，从而进一步完善结论：需要“三组的两边之和大于第三边才能围成三角形”，也就是“任意两边之和大于第三边”，这样的矛盾冲突促进了学生解决问题的积极性。

3.直观情境

直观情境给予学生感性的、形象的、具体的知识，使知识从抽象变为形象，静态转化为动态，有助于学生更好地理解和运用。如在教学“圆的认识”一课时，学生眼里圆是一条曲线，如何让学生感受到这条曲线是由无数个点组成的呢？教师引导学生连接四个点围成正方形，接着是8个点、16个点、32个点，分别是八边形、十六边形、三十二边形，学生发现越来越像圆，继续64个点、128个点，学生开始感知“越来越圆了，但还不是圆”，随着点变小，学生发现点和点之间还有空隙，还可以增加很多点，点再变小，再增加点数，最后很自然地呼出“有无数个点”。通过这样的层层深入的直观展示，学生对于圆上有无数个点的极限认识更加深刻。

（二）拓展内容，深度学习

教材内容的拓展和变化，有利于学生对知识本质和规律的深入理解，实现从知识点到知识块的延伸。教材内容拓展的方式有教材内容的改编以及教材内容的延伸。

1.内容改编

教材编写的内容有部分存在着远离学生的生活实际，或者呈现方式缺乏探究性等问题。教师可以依托学生熟悉的生活情境来教学，问题的呈现方式体现挑战性和探究性，能拓展学生的思维空间，增强学习欲望。例如，在教学“数字编码”一课时，教材出示了邮政编码的数字信息，由于生活中人与人之间联系方式发生了很大的改变，有的学生从来都没寄过信件，对邮政编码很陌生。为此，教师做了改动，以生活中使用频率比较高的门牌号和身份证编码来教学。课前布置学生进行预习，用学生熟悉的门牌号作为课的引入，身份证编码的教学，以“猜一猜是谁的身份证”的活动进行，每次出现两张身份证号和两个学生的头像，第一组根据性别码来判断是谁的身份证，第二组根据出生日期码来判断，第三组根据行政区代码来判断，第四组是两个双胞胎根据顺序码来判断。活动形式的改变，从学知识变成用知识解决问题，增强了思考性，提升了学生学习的积极性。

2.内容延伸

教材内容体现的是知识的一个点，在此基础上，教师可以适当地把教材内容进行拓展，一种是拓展相关联的知识，一种是拓展到生活中的运用。例如，在教学“四边形的内角和”一课时，学生理解四边形可以分割成两个三角形计算出内角和是360°时，引导学生思考：“其他多边形的内角和是不是也可以分割成三角形来计算？”学生迁移四边形内角和的探究方法，进行自主画图分割计算，得出了五边形、六边形、七边形、八边形的内角和。教师继续启发学生思考：a.若是100 边形，它的内角和怎么计算？b.多边形内角和的计算有没有规律？通过不断地拓展，一步步地引导学生深入探究，体现数学思维的无止境。又如，在教学“长方形和正方形的面积”一课时，在学生学习了长方形和正方形的面积计算公式之后，教师可以设计“铺砖问题”的实践活动。提供一个建材商场的瓷砖规格和价格表，让学生以家里客厅为样本进行铺砖活动的设计，要求在规定的总价范围内选择合适的瓷砖进行铺设，并算出价格。此时，学生不单需要计算长方形和正方形瓷砖的面积，还要考虑耗材、价格优惠、美观度等各种课本中无法遇到的问题，需要进行综合的考虑，因此能促进学生思辨能力的综合提升。

（三）创新应用，完善建模

将数学建模渗透到教学中，可以更好地激发学生数学学习的兴趣，积累数学活动的经验。在小数数学教学中，教师可以把建模的思想融入教材内容中，还可以联系课内外的知识，把建模思想与综合实践活动结合起来。

1.建模思想融入教学中

小学阶段的模型与数学活动紧密地联系在一起，教师可以根据教材内容，设计有助于学生建模的数学活动，把问题数学化，帮助学生完成建模。例如，在教学“有余数的除法”一课时，首先教师引导学生用小棒摆三角形、正方形、五边形，从正好平均分中生长出了“有余数”的新知，并且用¨÷¨=¨，以及¨÷¨=¨……¨这两个除法算式来表示，初步建立了平均分正好分完以及有余数的两种模型。接着，通过不同数量的小棒摆正方形，并用算式¨÷4=¨……¨进行比较，初步感知余数比4小的道理。最后想象用小棒摆不同形状的图形，并通过算式¨÷5=¨……¨、¨÷6=¨……¨、¨÷7=¨……¨，发现余数要比除数小，完整建构有余数除法的数学模型。

2.联系生活内容的建模

通过构建或者引导学生到符合数学模型的生活情境中解决问题，一方面能深化学生对数学知识的理解，另一方面也强化了数学模型的建构。例如，在教学“多边形的面积”之后，教师引导学生计算校园整体绿化的面积：绿植面积是多少？花坛面积是多少？通过多边形面积计算模型来完成这个实践活动，增强了学生运用模型解决问题的能力，丰富了多边形面积的模型体验。

二、巧设活动，凸显数学本质的思考

（一）操作活动，建立概念表象

数学教育心理学研究发现，留存在学生脑海里的，不是概念的文字意义，而是非文字的表象，是视觉表象、直观图形、经验方法等。因此，数学学习关键是通过操作活动，动员学生多种感官参与，建立概念的表象。例如，在教学“长方体的认识”一课时，教师引导学生通过“摸、数、比、搭、拆”层层递进的操作活动，建立长方体的直观图形的表象。第一层次“摸”，每个学生摸一摸手中的长方体，分别找到长方体的顶点、棱长、面，初步感知长方体。第二层次“数”，有序地数出长方体顶点、棱长和面的数量，关键在于有序，经历了数的过程，长方体的直观图形表象初步在学生脑海中形成。第三层次“比”，分别比较12条棱长短和6个面大小，发现相对棱长度相等，相对面完全一样。在对比的过程中学生对棱长和面有了深入的认识。第四层次“搭”，学生在15根小棒当中选择合适的12根小棒搭成一个长方体，这个过程是对长方体棱长特征的运用，有助于学生数学化过程的建立。第五层次“拆”，长方体12条棱最少剩下几条棱能还原出原来的长方体，深刻认知长宽高决定了长方体的大小。通过这五个层次的操作活动，学生学会了动手、动脑、动眼、动口，多种感官不断地刺激大脑建立长方体的表象。

（二）观察活动，升华空间观念

空间观念是几何课程的一个核心概念，是对物体的方向、距离、大小和形状的知觉，是客观世界空间形式在人脑中的表象，空间观念的培养有助于学生的数学思维和空间想象力的发展。观察活动通过调动学生多种感官，帮助学生感知事物的特征，观和察要有机结合，不能只观不察，或者观非所察，要从行动上的“观”升华到思维上的“察”。例如，在教学二年级“观察物体”一课时，例题1 是观察生活中的实物，例题2 开始观察立体图形。对于生活中的实物观察，学生还可以借助颜色、花纹等观察对象的标志的帮助，立体图形的观察就相对比较抽象。例题2教学通过“看一看、摸一摸、找一找、照一照、猜一猜”等观察活动，提升学生数学经验。“看一看”，教师启发学生把自己的眼睛当作照相机，把桌面上的长方体从上面、前面、左面看到的形状“拍”下来，然后闭上眼睛，想象“拍”到的形状，促进表象形成。“摸一摸”，用手摸一摸从三个方向看到的形状边线，加深对看到图形直观形象的认知。“找一找”，从给出的图形中找到从三个方向看到的图形，学生还原出脑海中的图形，不仅要考虑形状，还要考虑位置。“照一照”，针对圆柱和球体是曲面图形，如何感知到看到的平面呢？运用纸盒暗箱让学生观察，当光照到背景板上，圆柱体侧面成了长方形，球体成了圆形，对于低年级学生，这种直观的感知是非常强烈的。“猜一猜”，这个环节需要发挥学生的空间想象力，根据看到的平面图形，想象它可能是什么样的立体图形，教师相应地用课件呈现出立体图形，这样的发散性观察，对于提升学生的数学思维有着积极的作用。通过五个层面的观察活动，学生的空间观念得到了锻炼，为后续的学习打下了坚实的基础。

（三）交流活动，发展数学思维

课堂教学通过师生和生生之间的互动对话，相互讨论和学习，促进了学生创新思维能力的发展。有效的对话交流以学生的独立思考为基础，形成独立观点为条件，让学生展开小组学习、大组交流等活动，生生之间不同观点的分享碰撞，不断促进学生进行观点的重构，推动着思维逐步深入。例如，在教学“万以内数的读写法”一课时，学生提出质疑“为什么数中间连续的两个零只读一个零呢？”他的意见得到好多同学的赞同：“只读一个零，在写数的时候就会错写成一个零，如果读出两个零就不会写错了。”班上一下子安静了下来，学生开始思考课本为什么这样规定。突然有个学生说：“我举一个例子，如果中间有三个零，如30004，我们是不是读成‘三万零零零四’呢？”此时班上的气氛顿时活跃了起来：“如果中间有7个零、8个零，把这些零都读出来，那可怎么读呀？”“我知道了，原来数中间连续的两个零只读一个零是为了读得方便。”通过师生和生生之间有效的对话，学生从疑惑到不惑，知其然并能知其所以然，有效地促进了思维的发展。

三、沟通关联，深化数学本质的建构

数学结构化思维是一种高级的思维方式，是指学生在解决问题的过程中能够多角度地深入分析问题，根据已有相关联的经验，寻找问题解决的办法和路径，从而正确高效地解决问题。因此，教师要深入解读教材，将相关的教学内容进行有机整合，引导学生对知识的结构进行梳理，建立结构化的知识网络；精心设计教学活动，使学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，把知识结构转化为思维结构，培养学生的结构化思维。

（一）思维导图—形成知识结构

思维导图是运用图文并重的方式，把相关联的知识用相互隶属和相关层级图表现出来，建立知识的记忆链接。它既简单，同时又能有效地表达知识之间的内在联系与区别，是培养学生结构化思维的有效手段。教学中，教师要善于运用思维导图引导学生对相关联的知识和方法进行梳理，小到单元知识的整理，大到一个板块知识的梳理，建构完整的知识网络，培养结构性思维。如在教学“认识四边形”一课时，学生对四边形进行分类整理并梳理出一份思维导图，学生根据思维导图分析它们之间的特征与关系（见图1）。四边形根据边的关系分成三大类，平行四边形、梯形和一般四边形。没有一组对边平行的是一般的四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形，梯形又分为两腰相等的等腰梯形、直角的直角梯形和一般梯形；平行四边形包含长方形和正方形，长方形有直角是特殊的平行四边形，正方形四条边相等又是特殊的长方形。用思维导图对四边形进行整理，帮助学生沟通了新旧知识之间的联系，加深了对概念的理解，形成了比较完整的知识结构。今后学习类似知识，学生就可以迁移这种运用思维导图分类整理的方法，培养结构化的思维。

图1

（二）类比迁移—完善方法结构

类比迁移是数学常用的思想方法，它是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、特征、关系、形式等）相同或者相类似之处，推理出它们在其他方面也可能有相同或相类似的一种推理方法。类比迁移是用已知的经验去解决新问题的一种策略，运用类比迁移探索计算的算理和算法，是培养学生结构化思维的有效举措。教学中，教师在教学新知时引导学生观察比较新旧知识之间的联系，使学生顺利实现方法的迁移，解决新知。在此基础上，还要引导学生对方法进行拓展，与后续的知识进行关联，形成较为完善的知识体系与方法结构。如在教学“两位数乘两位数”一课时，本节课是在两位数乘一位数和两位数乘整十数的基础上进行教学的，所以课的开始让学生尝试运用旧知来解决问题，学生把14×12 分解成14×10+14×2；14×6×2；14×4×3；12×10+12×4。这么多方法中与本节课竖式计算能实现方法迁移的是14×10+14×2，教师重点引导学生根据算式说清楚算理。接着引导学生思考怎样把这个过程用竖式表示出来，结合竖式再一次说明算理，与14×10+14×2 进行比较，实现方法的迁移。总结的时候，教师提出问题：“运用两位数乘两位数的计算方法，你还会计算什么样的乘法算式？”学生运用迁移推理出三位数乘两位数、四位数乘两位数、五位数乘两位数、三位数乘三位数等计算方法（见图2），对笔算乘法进行了巩固，让学生理解笔算乘法知识和方法的内在联系，完善知识结构，培养结构化思维。

图2

……

（三）数形结合—深化思维结构

数形结合是重要的数学思想方法之一，它是将抽象的数学语言通过几何图形、函数图像，更直观地展示位置关系和数量关系，使代数问题几何化，几何问题代数化，“以形助数”“以数解形”，为问题解决提供简单明了的途径。数形结合是解决数量关系隐蔽问题的有效工具，是培养学生结构化思维的有效途径。教师要引导学生把问题中隐藏着的比较复杂的信息直观地呈现出来，通过观察、分析和比较，找到数量之间关系的本质解决问题，培养学生结构性思维。如在教学“植树问题”一课时，借助直观图形进行分析，并从图形中归纳总结出一般的解题方法。即让学生在纸张上模拟植树，验证在这段20米路一边植树，每隔5 米栽一棵，两端要栽，可种几棵？学生先动手画一画，然后在小组内交流。学生画图的方法不尽相同，但是表示的意思却是一样的。

有的学生用“___”代表间隔，用“”代表一棵树，画一条“”就表示种了一棵树。

有的学生用“___”代表间隔，用“.”代表一棵树，画一个“.”就表示种了一棵树。

学生观察发现棵数比间隔数多1，借助图形直观，学生直观地感受到了在两端都种时，棵数和间隔数之间的数量关系为：棵数=间隔数+1，感悟数形结合思想的作用，培养结构化思维。

综上所述，数学的教学要实现本质的回归，必须立足于儿童的视角，关注学生数学学习的需求，深入理解教材，变教材为学生思维发展的“学材”，创设丰富的活动，在活动中融入数学的思辨，关注数学结构化教学，培养学生结构化思维，这样才能促进学生对数学本质的深入理解。