赏析几道概率问题

康风星

概率与我们日常的生产与生活联系非常紧密.近年的中考试题中，有关概率问题的考查也在逐步增多.下面以2021年的部分中考试题为例，作简单的分析.

1 事件的判定

例1 一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）

（A）至少有1个白球. （B）至少有2个白球.

（C）至少有1个黑球.（D）至少有2个黑球.

解 事先能够肯定一定会发生的事件稱为必然事件，事先能够肯定一定不会发生的事件称为不可能事件，必然是件和不可能事件都是确定事件;可能发生也可能不发生的事件称为不确定事件.四个选项中，只有（A）是必然事件;（B），（C），（D）都为不确定事件.

2 求简单事件发生的概率

表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率;概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小，用P来表示.

例2 在桌面上放有四张背面完全一样的卡片.卡片的正面分别标有数字-1，0，1，3.把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张.则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是.

分析 画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之积为负数的结果，再由概率公式即可求得答案.

解 画树状图如图1.

共有16个等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为负数的结果有4个，

所以两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率=416=14.

3 结合典故背景，通过列举法求概率

理解此类试题考查的是列举法求概率的技巧，另外画树状图法（或列表法）适合于两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

例3 “田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1>A2>B1>B2>C1>C2（注：A>B表示A马与B马比赛，A马获胜）.一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例.

假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：

（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率;

（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由;若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率.

分析 通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率;

通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率.

解 （1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜.

此时，比赛的所有可能对阵为：

（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1），

（C2A1，B2B1，A2C1），（C2A1，A2C1，B2B1），

共四种.

其中田忌获胜的对阵有

（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1）

共两种，

故此时田忌获胜的概率为P1=12.

（2）不是.

齐王的出马顺序为A1，B1，C1时，

田忌获胜的对阵是（C2A1，A2B1，B2C1）;

齐王的出马顺序为A1，C1，B1时，

田忌获胜的对阵是（C2A1，B2C1，A2B1）;

齐王的出马顺序为B1，A1，C1时，

田忌获胜的对阵是（A2B1，C2A1，B2C1）;

齐王的出马顺序为B1，C1，A1时，

田忌获胜的对阵是（A2B1，B2C1，C2A1）;

齐王的出马顺序为C1，A1，B1时，

田忌获胜的对阵是（B2C1，C2A1，A2B1）;

齐王的出马顺序为C1，B1，A1时，田忌获胜的对阵是（B2C1，A2B1，C2A1）.

综上所述，田忌获胜的所有对阵是

（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1），

（A1B1，C2A1，B2C1），（A2B1，B2C2，C2A1），

（B2C1，C2A1，A2B1），（B2C1，A2B1，C2A1）.

齐王的出马顺序为A1，B1，C1时，比赛的所有可能对阵是

（A2A1，B2B1，C2C1），（A2A1，C2B1，B2C1），

（B2A1，A2B1，C2C1），（B2A1，C2B1，A2C1），

（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2B1，A2C1），

共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，

所以，此时田忌获胜的概率

P2=636=16.

4 公平游戏的判断及规则的修改设计问题

例4 如图2是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字.小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：

同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域内的数字之和小于10，小颖获胜;指针所指区域内的数字之和等于10，为平局;指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜.如果指针恰好指在分割线上，那么重轉一次，直到指针指向一个数字为止.

（1）请你通过画树状图的方法求小颖获胜的概率.

（2）你认为该游戏规则是否公平？若游戏规则公平，请说明理由;若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则.

解 画树状图如图3.

可见，共有12种等可能的情况，其中和小于10的有6种.

所以小颖获胜的概率为612=12.

（2）游戏的规则是否公平关键是看获胜的概率，如果概率相等则公平，否则不公平.

由（1）可知，共有12种等可能的情况，其和大于10的情况有3种，

所以小亮获胜的概率为312=14，显然12≠14，故该游戏规则不公平.

游戏规则在修改后对于两方获胜的概率相等，故此可修改为：当两个转盘指针所指区域内的数字之和大于或等于10时，小亮获胜;当两个转盘指针所指区域内的数字之和小于10时，小颖获胜.当然修改游戏规则的方式很多，只要修改后的游戏规则符合题目要求即可，例如游戏规则也可修改为：当两个转盘指针所指区域内的数字之和为奇数时，小亮获胜;为偶数时，小颖获胜.

练习

1.已知粉笔盒内共有4支粉笔，其中有3支白色粉笔和1支红色粉笔，每支粉笔除颜色外，其余均相同，先从中任取一支粉笔是红色粉笔的概率是.

2.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是.

3.即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图4.

将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀.

（1）若从中任意抽取1张，抽得得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是.

（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率.（请用树状图或列表的方法求解）

答案

1.14. 2.12.

3.（1）13.（2）13.