巧用函数思想指导初中数学解题

费秀凤

【摘要】函数是数学当中的重要概念，也是贯穿整个数学学科体系的重要内容，在初中数学的教学当中，函数的内容是比较重要的.但与函数不同的是，函数思想是一种解题的思维方式，利用函数思想的内涵，可以快速、高效的解决许多数学难题，这也是函数思想能够受到重点关注的原因之一.本文针对函数思想在初中数学中的解题应用做了简要的分析，以供参考借鉴.

【关键词】函数思想;初中数学;数学解题

函数思想不是简单意义上的使用函数来解决函数问题，而是运用函数概念的内涵，将内涵转化为解题的思路，来解决任意难度的数学问题，包括函数问题及非函数问题的重要方法.可以说，掌握了函数思想，就能够很好地解决中学阶段的多种数学问题，甚至是解决一些数学难题.在数学的基础阶段，学生学习的都是比较简单的运算方法，而随着学习阶段的提升，数学的难度也在增加，简单的运算法则已经不足以解决越来越复杂的数学问题，因此，学生的数学思维也需要跟随着知识体系的深入而不断地提高.掌握更加全面的解题方法，是提升数学能力的必由之路.

1 研究的背景及意义

函数是常量数学和变量数学的分水岭，函数概念出现后，数学开始由常量进入变量，解题方式也从单一的公式运算，转变为数形结合，可以说，函数打开了中等数学的大门，将数学带入了一个新的高度.新课程改革的不断推进，使得数学学科的考察重点也由知识考察转变为了能力考察，数学的能力在于解题，而学生的数学思维就成为了解题的关键.函数思想作为一种重要的数学思维，为解题创造了更多的方式方法，能够显著提升学生的数学解题能力.在整个中学阶段，函数都是数学学习的重点，而在整个数学学科当中，函数也是重要的组成部分.从初中开始，函数进入了数学的教学体系，也是由函数开始，学生对数学的学习开始出现了明显的差距，换句话说，在义务教育的初级阶段，数学的功能在于满足日常的生活所需，而到了初中阶段，数学真正体现出了人才选拔的功能.函数所带来的变量数学，加深了数学学习的难度，但同时也创造了更多的解题方法，许多常量数学当中的难题，在变量数学中变得简单易解，这得益于函数内涵的灵活性、广泛性.可以说，掌握了函数思想，就掌握了多种解题方法，就能够将数学能力进行有效的提升，因此，将函数思想引进初中数学，是具有重要意义的.如何指导学生运用函数思想来进行解题，是值得每一位初中数学教师研究的课题.

2 函数思想解题的应用

函数思想解题的应用，就是将函数的概念转化为解题的方式，在初中阶段，对于函数思想解题的应用主要有三个方面，即分类思想、数形结合思想和转化的思想.

2.1 分类思想的解题应用

分类思想是函数思想的一个重要内容，其解决的问题，主要是一类研究对象没有定性的问题.研究对象的定性，就是ax+b=0（a≠0）这类问题，a≠0就是对a的定性，等式当中明确了a的取值范围，因此，学生很容易就能够求出x的值.而研究对象的不定性，就是对a的取值范围没有明确的规定，即ax+b=0，这时，要求出x的值，就需要对a的取值情况进行分类.通过分类思想，能够将复杂的问题变得简单化，先“拆整为零”，再“聚零为整”，将所有的可能性全覆盖.应用分类思想进行解题，可以有效地锻炼学生思维的全面性，有了思维的全面性，不仅是在数学解题的方面，在其他学科的学习方面，也有很大的帮助.

在对北师大版数学八年级上册第五章《二元一次方程组》的学习当中，教师在课本内容的讲解之上，可以使用分类思想的解题方法，引导学生进行解题能力的拓展.

例1 已知关于x的方程（a2+1）x2+2（a-1）x+1=0没有实数根，求a的取值范围.

这道题目就是一道典型的研究对象不定性的题目，因此，在求取a的取值范围时，就需要应用到分类思想.通过题目可以发现，关于x的方程是一次方程还是二次方程是没有明确指出的，因此，在求解时，首先就要分析x2的情况，即a2+1=0和a2+1≠0两种情况.若a2+1=0，则（a2+1）x2+2（a-1）x+1=0就是一道简单的一次方程，即2（a-1）x+1=0，只有一个解，这时，学生就可以很容易的求出a的取值范围.若a2+1≠0，则（a2+1）x2+2（a-1）x+1=0就是一道一元二次方程，这时，就需要使用一元二次方程的解法来求取a的值.将两种方法得出的值结合在一起，就是这道题目最终的结果.可以看出，这道题解题的关键，就是对x2的分类讨论.

2.2 数形结合思想的解题应用

数形结合的思想，是将抽象概念具象化的应用.数学当中的许多概念都是抽象的，这对于学生的解题存在着一定的难度，若能够使用图象的方式，将这些抽象的概念具体表现出来，数量关系就能够更加直观地进行展现，就会加深学生的理解，有助于学生解题.此外，数形结合思想的养成，还有利于培养学生的空间思维，空间思维是学习几何的关键，有了良好的空间思维，在学习几何的过程中就更加能够理解图形.因此，数形结合思想在数学解题当中的作用是多方位的.

拓展 北师大版初中数学七年级上册《一元一次方程》的学习，就可以有效的培养学生数形结合的解题思想，促进学生解题能力的提升.

例2 函数y=2x+3、y=-2x-2与y=2x、y=-2x之间有何联系？

一般情况下，要解出这两组函数的关系，首先就要对其进行求值，通过求出的值，才能够进一步的分析它们之间存在的联系.但若是使用数形结合的思想来进行解题，求出相应的值后，只需要画出函数图象，就能够轻易发现二者之间存在的联系（图1）所示.

可以看出，通过对两组函数图象的绘制，它们之间存在的联系也十分清晰、直观地呈现出来了，这就是应用数形结合思想解题的精妙所在.其实，这类型的题目还有很多，只需教师在日常的教学当中进行挖掘，就可以有效培养起学生的数形结合思想，迅速提升学生的数学解题能力.

2.3 转化思想的解题应用

在数学解题过程当中，转化思想的应用，主要是将复杂的、抽象的问题转化为简单的、具体的问题，特别是将一些陌生的问题，转化为已知的问题，利用题目当中所给出的信息，可以进行条件的转化、结论的转换或者是过程的转化，通过“化难为简”，提升解题的效率.

例3 在图2中，已知圆柱体的周长为36cm，高度BC为12cm，AB为直径.一只蚂蚁由A点沿着圆柱体的表面爬向C点，最短的距离为（）cm.

根据题目的要求，蚂蚁沿着圆柱体表面由A点爬向C点的路线，要是最短的，但圆柱体的表面是曲面，由A到C的距离有无数条，如何才能证明哪一条是距离最短的，对于学生来说无疑是困难的.但在之前的学习当中，两点之间直线距离最短是已知的知识，这时，采用转化的思维方式，将圆柱体的侧面“拆”开成为一个矩形，那么，由A到C的直线距离，就能明显的看出是矩形的对角线，因此，学生只需要利用题目当中所给的条件，使用所学过的勾股定理，求出矩形对角线的距离，就是蚂蚁由A点到C点的最短距离.

在解题的过程当中，转化思想的应用，将一道原本难以求解的问题迅速的变为了学生所熟知的知识，很快就能够找到解题的方法，这就是转化思想的妙用.

3 结语

从上述的例题分析中，可以看出函数思想在数学解题当中的重要作用，函数思想的每一项内涵，都能够解决不同类型的数学问题，因此，在初中阶段的数学教学当中，引导学生学会利用函数思想来解题，对于学生数学能力的提升有着巨大的作用.当然，函数思想解题的妙用还有许多，不局限于上述的几种方法，在新课改的要求下，教师要以提升学生的综合能力为出发点，挖掘出更多的有助于提高学生数学能力的解题方法，让数学不再成为困扰学生的“难题”.

参考文献：

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