三角函数的解题技巧

洪霞

【摘 要】 三角函数知识的抽象性较强，是高中数学中的教学难点之一.但掌握了相应的解题思路和解题技巧后，困难就会迎刃而解.基于此，文章结合过往教学经验，针对高中数学中三角函数解题的展开分析和探讨，从解题思路和解题技巧两方面入手，详细阐述具体的解题过程，以此为学生学习提供参考.

【关键词】 三角函数;解题技巧;解题思路

例1 某三角函数的区间求值选择题，给出了a∈（0，π2）、2cos2a=cos（π4-a）这两个条件，求解sin2a的值.

解题 根据题干可以得到2（cos2a-sin2a）=cosπ4cosa+sinπ4sina，通过最终的计算化简，得到了sin2a=78，进而就可以确定最終的选项.

在例题1解题过程中，主要利用三角函数的基础知识和概念理论，而在更多的三角函数选择题目中考察的是三角函数和其他知识之间的联系性.这就需要学生在思考的过程中，从多个角度入手构建逻辑桥梁，得出正解.

例2   某三角函数图像选择题中，给出了y=sinx-3cosx和y=sinx+3cosx这两个函数，问函数2至少需要向右平移多少个单位长度能得到函数1.

解题 在实际解题过程中，避免拘泥于基本知识，可以通过对两个函数进行化简，最终得到了y=sinx+ 3cosx=2sin（x+π3），

y=sinx- 3cosx=2sin（x-π3）=2sin[（x-π3）-2π3].

在完成化简转换后，就可以清晰地看出需要函数2至少需要向右平移2π3个单位长度才能得到函数1.

总的来说，在学习三角函数的过程中，基础知识体系的掌握非常重要，但在不断强化理论知识的同时，也要不断开拓思维模式，树立起良好的解题思路，把握具体的解题技巧.教师在实际教学过程中，要帮助引导学生总结解题技巧，通过大量练习强化解题思路，从而让学生更好地完成三角函数解题过程，构建形成数学逻辑体系，促进综合学习能力的提高，得到全面的发展.

2 解题技巧

很多涉及三角函数知识的题目相对较难，解题过程复杂，长此以往学生会对解题丧失信心.如果想要快速得到正确答案，就要建立起丰富的解题思路，加强对三角函数的认识，提高解题效率的同时，培养创新意识.学生在构建起三角函数思维后，还要掌握一些使用的解题技巧，能够简化解题过程，轻松完成解答.

2.1 使用弦切互化解题技巧

正余弦、正余切是高中三角函数中最为主要的内容，涉及这些内容的题目形式非常灵活，需要学生具备较高的思维能力，在不同的题目条件中找出其中的关键.解答正余弦、正余切或者正余弦角度问题时，题目中的角并不会较为特殊，可以利用题目中给出的条件，结合诱导条件完成弦切互化，从而利用特殊角的三角函数值求出正确答案.主要考察学生思维能力和举一反三能力，只要熟练掌握公式，就可以根据已知条件求出最佳的数值，切实提高解题效率.角的转化是三角函数解题过程中最为重要的一种方式，在多个题目中得到了广泛应用.实现角的转化后，就可以通过逆、顺用公式完成解题.

例3 求解sin20°cos10°-cos160°sin10°的值.

解题 首先，判断20°和160°之间的关系，其次，利用诱导公式完成角地转化，最后完成具体的计算.具体解题过程如下：sin20°cos10°-cos160°sin10°= sin20°cos10° + cos20°sin10° =sin30° =12.

2.2 使用数形结合解题技巧

在解决三角函数问题的过程中，部分问题会涉及到图形知识，单纯依靠想象很难得到正确答案，还会扰乱思路.因此，在实际解题过程中，可以使用数形结合的方式完成题目的快速解答.这一技巧方式的应用，也能够让学生养成良好的作图习惯，树立其几何逻辑思维，切实提高解题能力.

例4 已知△ABC中，A=3π4，AB=6，AC=32.在BC边上有一点D，AD=BD，求解AD长.

解题 在解答此题的过程中，单纯利用条件在脑海中构建图形，容易得到错误答案.引导学生根据已知条件进行画图，可以准确地找到题目中要求求解的线段，进而利用正余弦定理完成三角函数的求值计算.具体解题过程如下，利用已知条件和余弦定理，可知内角∠A对应的边长a=310，结合正弦定理可以进一步得到sinB=1010.从题干可知0<B<π4、cosB=31010，继而就可以得到的AD=10.

2.3 使用升幂降幂解题技巧

升幂降幂也是高中三角函数解题过程中常见的思路之一，主要是对题目中的函数进行化简，从而完成解题.对学生而言，不仅需要灵活地掌握公式，还要根据题目有选择进行应用，从而解决求值问题.在利用这一解题方法进行求值的过程中，保证化简过程的准确是最为重要的内容，任何一个环节出现问题，都有可能造成最终结果的错误.升幂降幂是转换题目形式，当题目中幂数统一时，将高次幂转化为低次幂，如果幂数不统一，先要利用公式转化题目中函数，然后考虑升幂降幂，完成加减运算.在解题过程中，升幂降幂是解题的关键，需要结合题目的实际情况，合理地完成转化，切实提高解题效率和质量[3].

例5 化简1-sin6x-cos6x1-sin4x-cos4x.

解题 根据三角函数公式中sin2x+cos2x=1，可以对题目进行进一步的简化，进而得到最终的结果.

1-sin6x-cos6x1-sin4x-cos4x=（sin2x+cos2x）3-sin6x-cos6x（sin2x+cos2x）3-sin4x-cos4x=2sin2xcos2x3sin2xcos2x（sin2x+cos2x）=23.

2.4 使用消参构造解题技巧

消参构造是两种方法，前者是根据题目中给出的参数联系，利用公式完成对现有参数的转换，简化计算过程，将消参法和换元法、公式定理法，结合应用效果最优.后者是在无法使用消参法的基础上，通过添加或者减少项的方式，实现等效变换，完成解题.

例6   已知tanα=3，求sina-3cosa2sina+cosa的值.

解题 根据有关公式定理可知tanα=sinα：cosα，且α≠kπ+π2，进一步可以推出cosα≠0.那么将其完全替换到原分式中，就会得到具体的结果.具体的解题过程如下：

sina-3cosa2sina|cosa=sinacosa-3·cosacosa2sinacosa+cosacosa=tgα-32tgα+1

=3-32×3+1=0.

2.5 使用平方方式解题技巧

相比较上述几个解题技巧来看，平方法在解析三角函数过程中最为常见，尤其是题干中涵盖了余弦、正弦的内容时，都可以使用平方方式解题.但需要注意的是，在使用平方方式进行解题前，必须要掌握最基本的方式，然后再采用技巧性的方法进行解题.

例7 方程x2-kx+k+1=0 得到sinθ、cosθ两个根，且θ∈（0，2π），要求求出k值.

解题 此题有两种解题方式，一种为利用韦达定理求出两个k值，然后利用值域，去除不符合的数值，得到正确答案.例题7中的两个k值分别为-1和3，最终舍去k=3这一个根.如果利用平方方式可以进一步简化计算过程，快速得到最终结果.

3 结语

综上所述，在高中数学学习阶段，强化三角函数的解题思想和解题技巧，可以在保证准确率的同时，让解题效率得到提高.因此，学生要正确认识三角函数知识重要性，在巩固基础知识公式的同时，掌握相应技巧，优化思维逻辑，从而更好完成学习目标.不仅是为了提高数学成绩，更是为未来的学习奠定基础.