高中数学解题教学中函数思想的应用

2022-07-23 09:33邵春燕
数理天地(高中版) 2022年6期
关键词:函数思想解题教学高中数学

邵春燕

【摘 要】 在高中数学解题教学中,教师需指导学生有效应用函数思想来解题,提升他们的解题能力.本文据此展开深入分析与探讨,并列举一些函数思想的应用实例.

【关键词】 高中数学;解题教学;函数思想

1 有效应用函数思想解答集合问题

集合是高中数学课程中最为基础的一部分,也是深入学习函数的前提,函数可以看作是两个实数集合之间的映射,即为自变量集合和函数值集合,但这两个集合之间的元素不是任意对应关系,而是每个自变量值只能对应到一个函数值.这表明集合问题的处理通常离不开函数思想的辅助,教师可指引学生恰当使用函数思想解答集合问题,提高他们的解题效率.

例1 已知集合A={x丨x2-4x+3<0},集合B={x丨x2-2x+m≤0,且x2-2nx+5≤0},如果AB,那么实数m,n的取值范围分别是什么?

图1

解析 由于题目中出现的有不等式,还涉及到集合关系,如果学生采用常规思路解题过程较为复杂,容易出现错误,教师可提示他们运用函数思想.具体解答过程如下:先把集合A化简,得到A={x丨1<x<3},设f(x)=x2-2x+m,g(x)=x2-2nx+5,B1={x丨x2-2x+m≤0},B2={x丨x2-2nx+5≤0},则B=B1∩B2,根据AB,得到AB1且AB2,即为区间(1,3)应该分别被集合B1,B2对应的区间所包含,据此画出函数f(x)与g(x)的图像,如图1所示,则有f(1)≤0,f(3)≤0,且g(1)≤0,g(3)≤0,将相应的值代入到题干所提供的式子中,通过解不等式组即可求出m与n的范围,由此降低解题的难度.

2 有效应用函数思想求解方程问题

函数和方程本身就有着一定的联系,虽然初中数学教材中涉及到的这方面内容较少,但是步入高中后,比较关注函数与方程之间的关系,甚至课本中专门设置有相关章节的内容,以“二次函数与一元二次方程”为代表.因此,高中数学教师在日常解题教学中,应引导学生有效应用函数思想来求解方程问题,让他们学会借助函数的图像与性质实现轻松解题.

例2 (1)求方程x6-6x4-x3+12x2-8=0实数根;(2)已知方程丨x丨=ax+1有一個负根,且没有正根,那么a的取值范围是什么?

解析 (1)中是高次方程,(2)中则是要一个含有绝对值的方程,这两个方程均比较特殊,尤其是高次方程,学生看到以后往往会不知所措,不知道该如何解答,不由自主地产生畏难情绪,他们也不知道如何下手,而含绝对值的方程要进行分类讨论,同样难度较大,不过,应用函数思想这些难题就能够迎刃而解.

解 (1)将原方程转化成x6-6x4+12x2-8=x3,即为(x2-2)3=x3,设f(x)=x3,则方程是f(x2-2)=f(x),由于f(x)在R上是单调递增函数,所以x2-2=x,即为x2-2-x=0,解之得x1=-1,得x2=2,即为原方程的实数根是-1与2;(2)将看作是函数中的一个变量,根据已知方程可得a=丨x丨-1x=1—1x(x〉0)—1—1x(x〈0),画出它的图像如图2所示,根据图像能够直接求出a≥1.

图2

3 有效应用函数思想解不等式问题

虽然函数和不等式是两个性质完全不一样的知识结构,但是在高中数学课程教学中,函数与不等式却有着十分密切的关系,其中不等式的性质是对函数单调性的反映.高中数学教师在解题教学中,可以引领学生有效运用函数思想的观点来分析不等式问题,主推他们掌握不等式的本质特征,使其结合函数思想顺利解决不等式的恒成立问题,以及最值问题.

例3 对任意x∈[-1,1],f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值大于0恒成立,那么a的取值范围是什么?

解析 教师要求学生直接基于函数思想来审题,发现本题目的本质能够概括成“在某一闭区间上有参数的二次函数大于0恒成立的问题”,然后让他们利用分类讨论思想把x∈[-1,1]根据对称轴x=4-a2展开分类,分成1<4-a2,-1≤4-a2≤1,4-a2<-1,三大段,讨论它在函数的递增、递减区间上f(x)值的情况,分别计算出a的取值范围,综合得出a的最终取值范围a<1.由此以来,通过函数思想的有效应用,学生在解题时不需要再讨论Δ<0的情况,不仅能够确保每种情况均不被遗漏掉,还能够提高他们解题的精确度.

4 有效应用函数思想处理数列问题

数列作为高中数学和高考中的一个核心内容,课本中主要涉及到等差数列与等比数列两类,从本质上来看,数列属于函数中的特殊产物,即当函数的定义域是正整数集时,函数就变成数列.在高中数学解题教学中,当处理部分数列问题时,特别是求数列的最值问题,教师可以提醒学生有效运用函数思想,辅助他们形成最佳解题思路,从而轻松处理试题.

例4 已知函数f(x)=3x2+bx+1是偶函数,g(x)=5x+c是奇函数,正向数列an=(23)n-1,n∈N*,如果bn=2f(an)-g(an+1),那么数列bn中项的最大值与最小值分别是什么?

解析 根据题目中提供的已知信息可以得知f(x)=3x2+1,g(x)=5x,则bn=6an2-5an+1,n∈N*,即为bn=6(an-518)2+8354,由于an=(23)n-1是减函数,所以当n=1,2,3,4时,an>518;当n≥5,n∈N时,an<518,当n=4时,bn=274243;当n=5时,bn≈1.576,这表明b4<b5.又因为an=(23)n-1∈(0,1],所以an=1,即为当n=1时,bn的最大值是b1=143.综上所述,数列bn中项的最小值是b4=274243,最大值是b1=143.反思:“数列是一类特殊的函数”在本道题目中体现的淋漓尽致,“特殊”是指自变量的取值范围是自然数,数列bn能够看成二次函数y=6(x-518)2+8354,所以数列bn的最大值和最小值能够参考二次函数求最值的方法来获得.

参考文献:

[1]汤琴.函数思想在高中数学解题中的应用[J].数学学习与研究,2021(01):148-149.

[2]王长彬.如何用函数思想指导高中数学解题[J].中学课程辅导(教师通讯),2020(22):124-125.

[3]王跃霞.运用函数思想,打造高中数学解题中的万能钥匙[J].高考,2020(25):14-15.

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