张 斌,虞旦盛
(杭州师范大学数学学院,浙江 杭州 311121)
1987年,Goodman等[1]引入了本征Bernstein-Durrmeyer型算子
Un(f,x)相较于一般Bernstein-Durrmeyer型算子的优点是其保持线性函数,而普通Bernstein-Durrmeyer型算子并不保持线性函数.许多学者对Un(f,x)的逼近性质做了研究[2-14].在文献[4]中,Gonska等给出了Un(f,x)对闭区间上连续函数逼近的正定理与逆定理,结论如下:
定理1设0≤λ≤1为固定常数,则对任何f∈C[0,1],存在一个仅依赖于λ的正常数C,使得
定理2设0≤λ≤1,则对任意f∈C[0,1],θ∈(0,2),以下条件等价:
定理3设0≤λ≤1为固定常数,则对任何f∈C[0,1],存在一个仅依赖于λ的正常数C,使得
我们还有下面的Voronovaskaja型估计:
定理4对任何f∈C2[0,1],存在一个仅依赖于λ的正常数C,使得
为了证明上述定理,首先给出几个引理.
引理1[5]下列等式成立:
引理2下列等式成立:
(1)
(2)
(3)
证明对k=1,2,…,有
(4)
因此,结合引理1及式(4),可立得(1)(2)及
证明由引理2及Cauchy不等式可得
证明由式(1)、(2)可得
pn,0(x)+pn,n(x)+1-pn,0(x)-pn,n(x)=1;
定理3的证明对任何f∈C[0,1],定义K-泛函
(5)
(6)
(7)
(8)
由Taylor展开式可得
因此利用引理4知
从而有
I1+I2+I3+I4+I5.
首先估计I1.结合引理2和引理6,有
(9)
再来估计I2.再次应用引理6,有
类似地,可以得到
(11)
由式(9)— (11),并结合式(6)、(7),可得
(12)
因此定理3得证.
定理4的证明对任何f∈C[0,1],定义K-泛函:
(13)
(14)
(15)
简单计算可得
因此,
M1+M2+M3+M4+M5.
先来估计M1.直接计算得
由式(1)-(3)及(13)得
(16)
类似地,可得到
(17)
对于M13,有
(18)
以下分两种情形对M13进行估计.
(19)
(20)
结合式(16)—(20),得
(21)
对于M2,有
(22)
对于M21,结合式(13)有
(23)
类似地可得到
(24)
对于M23,类似于对式(18)的讨论,得
(25)
因此,结合式(23)—(25),得
(26)
类似地,对于Mi,i=3,4,5,都有
(27)
结合式(21)、(22)、(26)和(27),定理4得证.