立足教材 培养学生数学学科核心素养——以“直线和圆的方程”为例

◎廖永凤 崔泽建（通讯作者） （西华师范大学，四川 南充 637000）

一、引 言

《普通高中数学课程标准（2017 年版）》中新增加学科核心素养，它的培养不仅对于数学学习有着深远影响，而且对于促进学生思维和能力的发展有着重要作用.如何把数学核心素养落实到课堂，值得大家深入探讨.数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源，是教学过程中一个至关重要的工具，是无数专家学者经过反复推敲之后编撰的.本文以新人教A 版《普通高中教科书·数学选择性必修第一册》第二章“直线与圆的方程”教学为例，谈一谈如何充分利用教材资源培养学生数学核心素养，在实践中体会数学核心素养.

二、培养数学核心素养

1.新授课培养学生直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析素养.

案例1 “斜率”概念的抽象

学生在教材中学习了倾斜角的概念，为了进一步研究刻画直线倾斜程度的方法，并根据两点确定一条直线，教材中以探究的形式给出：

在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为.

（1）已知直线经过（0，0），（ 3，1），与，的坐标有什么关系？ （如图1 左所示）

（2）类似地，如果直线经过（-1，1），（ 2，0），与，的坐标又有什么关系？ （如图1 右所示）

图1

（3）一般地，如果直线经过两点（，），（，）（其中≠），那么与，的坐标有怎样的关系？ （分情况讨论，总共4 种情况，如图2 和图3 所示）

图2

图3

教材的用意是从特殊到一般，从具体到抽象，让学生从一些事实和命题出发，依据规律推出其他命题，并通过几何直观感知事物的形态与特点，通过对数据的分析和理解找出特征，利用图形理解和解决数学问题，从而培养学生的数感、逻辑推理、数据分析和直观想象素养.在教学中，让学生理解直线的倾斜角与直线上任意两点坐标间的关系，需要教师引导学生在具体的情景中通过自主探究或合作探究的形式找到两者之间的关系.教材中的例子是经过编写专家的多次斟酌，从学生现有的认知结构、基础知识、方法技能出发的，具有典型性、示范性.对于斜率的学习，教材中的解题相关步骤如上，以特殊到一般、简单到复杂的形式呈现.

之后，教材中对于直线与圆的相关概念的呈现都是通过图像让学生直观感受图形的特性，利用平面直角坐标系将代数与几何相联系（坐标法），在学习过程中，使学生学会把握数学本质，以简驭繁，更进一步运用逻辑推理、直观想象的思维方式思考并解决问题.教材中“阅读与思考”中提出的笛卡尔与解析几何、坐标法与数学机械化有助于提高学生对数学的兴趣.

在教学过程中，教师需要注意：第一，要留足时间让学生“想”.在教学中，教师要让学生学到相关知识技能才能达到教学的目的，因此要让学生有足够的时间去思考、体会，明白课程中讲授的知识.也要在课堂中培养学生的自主探究能力，让学生能独立思考、灵活运用知识.第二，要让学生多“说”.有效的数学教学活动是教师“教”与学生“学”的统一，在课堂中要让学生参与进来，就需要有课堂活动的存在，其中数学问题是最常见的课堂活动.在教学过程中，最重要的是学生对问题的理解，当理解有偏差时，需要教师引导学生；第三，点评要到位.在教学过程中，教师主要起着引导作用，而学生的思路、想法等都是需要教师的点评的，例如，斜率的计算与倾斜角的正切值有关，但是对于一些特殊情况，在讲解的过程中就需要重点突出.

案例2 新授课中探究直线与圆的位置关系的例题

例1 已知直线：3＋-6 ＝0 和圆心为的圆＋-2-4＝0，判断直线与圆的位置关系.如果相交，求直线被圆所截得的弦长.

通过平面直角坐标系将代数与几何相联系，即将点的坐标与点联系起来，如图4 所示.在利用代数法判断直线与圆的位置关系时，书中用例题引入.在本节内容之前，教材安排学习了怎样利用代数法判断两条直线的位置关系及如何求直线交点.教材的用意是让学生通过对以往知识的回顾，并通过类比推理的形式，以代数的形式联立方程组，通过方程解的个数判断直线与圆的交点个数，进而判断直线与圆的位置关系.或者通过直观想象，利用图形对相关长度进行比较来判断直线与圆的位置关系，并在此后通过图像直观感受弦长的计算方法.

图4

在此过程中，主要是让学生直观感受直线与圆位置关系的图像特征，并通过逻辑推理（类比“通过代数形式判断直线与直线的位置关系”）、数学运算求得最终结论.圆的方程含有二次项，计算时较为复杂.运算能力是数学学习的基础，数学的猜想与验证过程都需要通过计算来完成，因此，在探究直线与圆的位置关系时，老师应该引导学生通过类比的思想考虑问题、解决问题，并在解决问题的过程中，注重对学生计算能力的培养，有的计算问题可以通过特殊的技巧使计算简单化.

例2 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km 的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40 km 处，港口位于小岛中心正北30 km 处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险

图5

对于实际问题的解决常常选择将数学抽象转化为数学问题，让学生舍弃事物的非本质属性，构造相应的数学模型，培养学生的数学建模素养和数学抽象素养.以生活实例引入，激发学生学习兴趣，让生活与数学联系在一起.但是对于实际问题的解决，首先需要学生根据具体情况，将实际问题转化为熟悉的数学问题进行求解，在这个过程中，对于学生的数学抽象能力要求较高，需要学生通过自主探究等形式理解、分析题目.

综上，教材对于教学中数学学科核心素养的培养提供了许多素材与方法.在教学过程中，教师要有意识地将相关素养的培养融入课堂中，应该结合探究式教学法让学生通过自主探究、合作探究等形式，以自身知识技能为基础，并在教师的引导下，通过直观感受、数学抽象、逻辑推理、 数学运算等方法解决问题.而对于常见题型和开放性试题，教师应引导学生根据目标和题中的条件，建立相应的数学模型并进行解决.在实际问题和数学问题的解决过程中，以一题多解和一题多变等形式培养学生的数学应用能力和创新精神.

2.习题课、单元复习课培养学生的逻辑推理、数学运算、数学抽象素养

新授课后的习题课是对新授课的消化与巩固，也是对一些问题的解决与拓展.例如，利用直线与圆的方程和相关性质解决问题、判定点的轨迹方程、求最值等，这个过程主要采取讲练结合的方式.

案例3 “直线和圆的方程”习题课中的例题

例3 （1）一条光线从点（6，4）射出，与轴相交于点（2，0），经轴反射，求入射光线和反射光线的方程.

（2）已知等腰三角形的一个顶点为（4，2），底边的一个端点为（3，5），求底边的另一个端点的轨迹方程，并说明它是什么图形.

（3）三条直线＋2＋8＝0，4＋3＝10 与2-＝10 相交与一点，求的值.

（4）求圆＋-4＝0 与圆＋-4＋4-12 ＝0 的公共弦的长.

评析 这一组例题主要考查的是直线与圆的概念及其方程的应用.解决这些问题，第一，要明晰算理，掌握求直线与圆交点的基本方法，通过数形结合，找出已知与所求之间的关系，结合所学的相关性质定理进行求解.第（1）（2）小题考查的是直线与圆的定义，第（3）（4）小题是求交点坐标.第二，无论使用什么方法解决问题，都需要经过相应的计算才能给出最终结果.因此，在运算过程中要注意利用好相应算理，细心求解，确保正确率.第三，解决问题之后要注重评价，检验教学是否达到教学目标.最后，要总结在解决问题的过程中使用的数学思想及方法，强调如果能运用好方程思想、明确目标和有整体意识，则能优化解题过程.

案例4 “直线和圆的方程”单元复习课的设计

在高中数学教学中，对于“直线和圆的方程”单元复习课的设计一般分为3 个课时.第1 课时，通过对基础概念和性质的回顾，使直线和圆的有关知识与相关技巧、方法加以整合、提炼，形成知识体系，积累常见问题中出现的数学模型等.第2 课时，重点是运用相应数学方法、技能解决直线、圆及其整合的综合性问题，在培养学生分析、解决问题能力的同时，培养学生的逻辑推理能力和数学运算素养.第3 课时，复习直线与圆的简单应用，侧重于转化思想.现抽取代表性较强的几个例题进行分析.

例4 已知圆：（-1）＋（-2）＝25，直线：（2＋1）＋（＋1）-7-4＝0.

（1）求证：直线恒过定点.

（2）直线被圆截得的弦何时最长、何时最短并求弦长最短时的值以及最短弦长.

先让学生思考，然后随机抽取几名同学，让他们分享一下各自的想法.

图6

图7

之后引导学生进行小结.在解决平面几何中直线与圆的相关问题时，一般都是通过直观想象、利用图形理解问题，根据相关定义和算理，经逻辑推理、数学运算等解决问题.注意在实际问题中所求解的答案是否满足现实情景.

评析 （1）在单元复习课中要引导学生反思小结，形成解决本单元相关问题的通性、通法，培养学生分析问题和解决问题的能力.（2） 在选编题目时，要有意识地设计一些含逻辑推理、兼顾数学运算与数学建模的问题，既兼顾知识的覆盖面，又注重一定的思维训练，在整合中出新.还要选择合理的运算路径和解决问题的方法，培养学生的数学运算素养.（3）对于具体问题的解决和分析，方法也是多种多样的，本章内容涉及的坐标法、向量法和综合法应用广泛，鼓励学生一题多解，发展其思维能力，积累解决问题的方法与技巧.

在几种常见课型中培养学生的直观想象、逻辑推理等核心素养，只是侧重，并非绝对.事实上，“在直线和圆的方程”新授课中，也常体现数学建模、数学抽象和数据分析素养，例如，在实际生活中判断是否人们会受到噪声影响，通过较多数据特征分析得出结论等.而在习题课和单元复习课中，欲解决一些实际问题，需要经历抽象、建模、演绎等过程，在问题解决的过程中可培养学生数学建模素养和数据分析素养，提高学生的数感，同时也要注重学生演绎推理和数学运算的能力.

结 语

在高中数学教学中，对于学生的数学学科核心素养的培养势在必行、刻不容缓，但是它的培养过程是长期的、缓慢的，需要在学习中不断积累.在教学中，主体是学生，对于学生相关素养的培养，主要是通过学生在数学学习中自主探究、不断钻研、主动积累、积极总结而逐步形成的.在“直线和圆的方程”这一章节为培养学生的核心素养提供了丰富的资源，为后续学习其他知识奠定了基础.教材中编写的内容对于培养学生的核心素养是较好的素材，而培养学生的核心素养需要教师在不同阶段进行引导.因此，无论是教师，还是学生，都应该认真领会核心素养的实质，提高灵活运用相关核心素养解决问题的能力.让我们和学生一起，在教学实践中一同探索、总结，以提升数学核心素养.