例谈运用代数法判断直线与双曲线位置关系的思路

姜艳

判断直线与双曲线位置关系的方法主要有代数法和几何法.运用几何法来判断直线与双曲线的位置关系较为便捷，且运算量较小，因而很多同学习惯于运用几何法，而忽略了代数法.下面着重研究一下如何用代数法判断直线与双曲线的位置关系.

一、直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系有三种：相交（如图1、2）、相切（如图3）、相离（如图4）.当直线与双曲线相交于一点时，直线与双曲线的渐近线是平行的.当直线与双曲线相切时，切点是唯一的公共点.

二、用代数法判断直线与双曲线位置关系的思路

1.当直线的斜率存在时，设直线l：y=kx+m，将直线的方程代入双曲线的方程中得（b-ak）x- 2akmx-a（m+b）=0（1）.

方程（1）是关于x的方程，且二次项的系数中含有参数，所以此方程可能是一元二次方程，也可能不是.

若b-ak≠0，方程（1）是一元二次方程，它的解有三种情况.当△>0时，方程有2个解，直线l与双曲线C相交于两点;当△=0时，方程有1个解，直线l与双曲线C相切于一点;当△<0时，方程无解，直线l与双曲线C相离.

2.当直线的斜率不存在时，设直线l：x=n，将直线的方程代入双曲线的方程中得bn-ay=ab（2），方程（2）是关于y的方程，且y的系数不等于零，所以方程（2）是关于y的一元二次方程，它的解有三种情况.当△>0时，方程有2个解，直线l与双曲线C相交于兩点;当△=0时，方程有1个解，直线l与双曲线C相切于一点;当△<0时，方程无解，直线l与双曲线C相离.

总之，不管直线的斜率存不存在，只要将直线的方程代入到双曲线的方程中，消去一个未知数，就可以得到一个关于x或y的方程，若该方程是一元一次方程，则直线与双曲线相交于一点;若该方程是一元二次方程，则需判断其判别式△与0之间的关系.若△>0，则直线与双曲线相交于两点;若△=0，则直线与双曲线相切于一点，若△<0，则直线与双曲线相离.

例题：已知直线l：kx-y+2=0，双曲线C：x-4y=4，当k为何值时，（1）l与C无公共点？（2）l与C有唯一的公共点？

分析：（1）l与C无公共点，即l与C相离，需将直线的方程代入到双曲线的方程中，得到一元二次方程，使其△<0，且保证二次项系数不等于0.（2）l与C有唯一的公共点可能是交点，也可能是切点，需分两种情况讨论.

解：（1）将y=kx+2代入x-4y=4中得（1-4k）x-16kx-20=0，

要使l与C无公共点，

可见，用代数法判断直线与双曲线的位置关系，需注意三点：（1）熟悉直线与双曲线的三种位置关系，及其与一元二次方程根的对应关系;（2）构造一元二次方程，讨论其二次项的系数和△;（3）明确直线与双曲线只有1个交点包含了两种情况.