一道“恒成立问题”模拟题的解法探析

◎周聪寅(云南师范大学数学学院，云南 昆明 650500)

1 问题呈现

(1)若x=1为函数f(x)的极值点，求a的值.

(2)若|f(x)|≤6e在x∈[0,2]上恒成立，求a的取值范围.

通过读题，第二小题中“|f(x)|≤6e在x∈[0,2]上恒成立”为恒成立问题中非常经典的表述，因此第二小题是一道非常经典的恒成立问题.本文将从四个不同的角度破解该恒成立问题.

2 思路分析

由于题中的不等式中含有绝对值，且含绝对值的问题较为棘手，一般首先考虑去绝对值.

解法一：最值分析法

∴g′(x)=(3ex-2a)(6xex+3ex-2a).

首先考虑同向性：

(1)当a≤0时，

由于x∈[0,2]，易知g′(x)=(3ex-2a)(6xex+3ex-2a)>0，

∴g(x)在[0,2]上单调递增,

gmax(x)=g(2)=2(3e2-2a)2，

∴2(3e2-2a)2≤36e2，

∵a≤0，∴此时a∈∅.

(2)当a>0时，

令h(x)=6xex+3ex-2a,易知h(x)在[0,2]上单调递增，

∴3-2a=h(0)≤h(x)≤h(2)=15e2-2a.

h(x)≥0,3ex-2a≥3-2a≥0，

此时gmax(x)=g(2)≤36e2,

h(x)≤0，3e2-2a<3e2-15e2=-12e2<0，

∴g′(x)≥0，此时gmax(x)=g(2)≤36e2，

∃x0∈[0,2]，使得h(x0)=6x0ex0+3ex0-2a=0，

则有3ex-2a≤0，∴g(x)在[0,x0)上单调递增，在(x0,2]上单调递减，

∴gmax(x)=g(x0)=x0(3ex0-2a)2=x0(-6x0ex0)2≤36e2(利用h(x0)=0替换)，

解得：0≤x0≤1.

∵3ex1-2a=0，6x0ex0+3ex0-2a=0，

两式相减得：3ex1-3ex0=6x0ex0>0，

点评：最值分析法是恒成立问题的常用解法之一，常需要构造差值函数，例如：对于含参不等式af(x)≤g(x)，需要构造F(x)=af(x)-g(x)，只要令Fmax(x)≤0即可求得a的取值范围，这种方法往往伴随着分类讨论出现，学生容易漏解.另外，从以上解题过程来看，该题利用该方法时运算量较大，对学生的逻辑推理能力水平要求较高.

解法二：分离参数法

根据解法一可以发现，如果用不等式两边平方来去绝对值，不容易将参数a分离，因此考虑利用解绝对值不等式的方法去绝对值.

∵|f(x)|≤6e,

若x=0，则不等式恒成立；若x≠0，则分离参数a可得：

易知g′(x)在(0,2]上单调递增，且g′(1)=0,

∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增,

易知h(x)在(0,2]上单调递增,

点评：显然，该题利用分离参数法更加简单，利用分离参数法解决恒成立问题流程单一，思路简单，学生较容易理解，但部分题目参数不容易分离，因此分离参数法对于这种题适用范围不大.

解法三：数形结合法

图1

点评：一般地，若f(x)≤g(x)恒成立，从图形上理解即为f(x)的图像恒在g(x)的下方，利用数形结合法解恒成立问题较之前的方法来说不再抽象，更加直观.但缺点也更加明显，其过于依赖图像的精确性，若图像不够精确便容易解出错误的答案.此外，数形结合适用于每个函数图像都容易画出的情形，所以要尽可能地将不等式的两边化为容易画出图像的函数.

解法四：特殊点效应，必要性探路

∵|f(x)|≤6e在x∈[0,2]上恒成立，

∴|f(1)|≤6e，|f(0)|≤6e，|f(2)|≤6e也成立，

∴|g(x)|≤6e恒成立，同理可得|h(x)|≤6e,

3 解后反思

以上就是解决恒成立问题的四种常用方法，在实际考试中，我们需要根据解题经验选取合适的解题方法.就本题而言，方法一显然过于烦琐，如果我们一开始就从解法二、三、四的角度思考该问题，便能感到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”.

恒成立问题作为高考中的常见题型，常常以不同的形式与载体出现，但万变不离其宗，抓住恒成立问题的本质，归纳常用方法，定能势如破竹地解决恒成立问题.

本文以恒成立问题为例，希望说明：解百题不如透解一题.在平时的教与学中，教师如果能够抓住典型例题，一题多解，多题归一，引导学生从不同的角度思考问题，往往能够发展学生的创造性思维，减轻学生的学习负担，提高学生的学习效率，培育学生的核心素养.