发现解三角形问题中的代数特征培养学生的数学思维能力

姚钟磊 胡波

摘要：本文通过一节示范课引导学生学会观察边角关系中的代数特征，并归纳其结构特点，培养学生的逻辑思维能力，落实逻辑推理和数学运算的数学素养.

关键词：正余弦定理;代数特征;核心素养

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0072-03

1 問题提出

在近期的一次解三角形测试中发现得分率不高，同学们在熟记正、余弦定理的基础上，对什么条件下使用掌握得还不太好.

数学教学不仅要关心学生的学习结果，还要关心学生的学习过程，有过程才能有结果.在数学的学习过程中掌握学习方法，促进数学思维方式的形成，学生在此过程中，从发现代数特征出发，亲自经历难点突破，归纳其代数结构特点，解决此类问题，并在此过程中，形成数学思维方式，培养学生逻辑推理和数学运算能力.

2 例题再现

例1在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cosAcosB=ba=2，则该三角形的形状是（）.

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形问题1请考虑用正弦定理还是余弦定理？

生1：因为题目里给出了cos A，所以用余弦定理，有

b2+c2-a22bca2+c2-b22ac=ba.

化简，得（a2-b2）c2=（a2-b2）（a2+b2）.

故a2-b2=0或c2=a2+b2.

而ba=2，所以△ABC是直角三角形.

师：回答正确，用余弦定理进行化简，对计算能力要求比较强高，那么用正弦定理行吗？

生2：可以，因为cosAcosB=ba=2，

由正弦定理，得

cosAcosB=sinBsinA.

所以sinAcosA=sinBcosB.

即sin2A=sin2B.

由ba=2，可知a≠b，所以A≠B.

又A，B∈（0，π），所以2A=π-2B.

即A+B=π2.

所以C=π2.

故△ABC是直角三角形.

问题2比较两个同学的处理方法，你选择哪种方法，要是把条件中等式左边的分母改为sin B，你会选择哪种方法，为什么？

生3：第二种方法简单，计算量小，我愿意用第二种方法，分母转化为边后有外接圆直径2R，不能计算.

评析本题用两个定理都能解决，用余弦定理是因为等式左边是和余弦相关的一次式，可以将角余弦值间的关系转化为边的关系进行化简，但是从过程来看，运算复杂了点.能用正弦定理把边的关系转换成角正弦值的关系，是由等式左边的代数特征决定的，其左边是和边相关的一次式之比，可以把外接圆直径2R都约掉，从运算过程看，变成了两项乘积，项数少了，未知数也少了，运算简捷了.

因此，本题虽然两种方法都能处理，但是遇到问题不能立刻去做，要观察其代数结构有什么特征，有无对称性，未知数的个数如何等.这个过程就是具体数学思维方式的形成过程.

例2在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c且b2+c2=a2+bc.若sinB·sinC=sin2A，则ΔABC的形状是（）.

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

问题1请同学们考虑题目中两个条件有什么样的代数特征，该如何处理呢？

生1：因为b2+c2=a2+bc是一个二次齐次式，用余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.

又在ΔABC中，因为A∈（0，π），所以A=π3.

因为sinB·sinC=sin2A也是二次齐次式，可用正弦定理，所以bc=a2.后面就不会了.

问题2第一个条件得到角A=π3，第二个条件把“角”转化成边，出现了三个未知数，该怎么办？

生2：由b2+c2=a2+bc，得（b-c）2=a2-bc=0，所以b=c，故△ABC的形状是等边三角形.故选C.

评析回答正确.在本题给出两个式子的代数结构中，其未知数个数都是三个，其实第二个式子未知数只有两个，因为三角形内角和是π，而且两个式子都是二次齐次式，第二个式子只能用正弦定理转化成边的关系，这样其未知数个数也是三个.通过消元的思想，我们知道三变量问题要转化为双变量问题，所以要和第一个式子联立求解.

例3在△ABC中，内角A，B，C所对的边a，b，c依次成等差数列，且B=π3，则△ABC的形状为（）.

A.等边三角形

B.直角边不相等的直角三角形

C.等腰直角三角形

D.钝角三角形

问题1本题条件a，b，c依次成等差数列有什么代数特征？

生1：因为a，b，c依次成等差数列，所以b=a+c2.

问题2用正弦定理还是余弦定理处理，为什么？

生2：因为B=π3，所以其余弦值可知.

由余弦定理，得cosB=a2+c2-b22ac=12.

将b=a+c2代入上式整理得（（a-c）2=0.

所以a=c.

又B=π3，所以ΔABC为等边三角形.故选A.

问题3有没有其它做法，正弦定理行吗？

生3：由2b=a+c，得sinA+sinC=2sinB=3，而C=2π3-A，可以得到sin（A+π6）=1，故A=π3.

评析2b=a+c是一次齐次式，正是由于有这样的代数结构，可以用正弦定理转化为角，也可以结合已知角B，用余弦定理转化为边的关系.那么对于此类化简问题主要从两个角度考虑：（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.（2）化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，无论使用哪种方法，都和条件中蕴涵的代数结构有关，如果条件中有与边相关的一次齐次式或者是与角正弦值相关的一次齐次式，可以考虑用正弦定理进行边和角的转化.如果条件具有边的二次齐次式或角的余弦值，就考虑用余弦定理，实现边和角的统一.

例4如图1，在平面四边形ABCD中，∠ACB与∠D互补，cos∠ACB=13，AC=BC=23，AB=4AD.图1

（1）求AB的长;

（2）求sin∠ACD.

问题1请同学们把已知条件在图中标出来，将线段AB放入哪个三角形，然后怎么处理？

生1：将线段AB放到ΔABC中，已知两边和夹角，所以直接用余弦定理，得

AB2=BC2+AC2-2AC·BCcos∠ACB.

即AB2=（23）2+（23）2-2×23×23×13=16，所以AB=4.

问题2sin∠ACD放入哪个三角形中呢，该用正弦定理还是余弦定理？

生2：将其放到△ADC中，因为AB=4且AB=4AD，所以AD=1.

又因为∠ACB与∠D互补，所以cos∠D=

cos∠ACB=-13.已知角和对边、邻边，所以由正弦定理得sin∠D=1-（-13）2=223.由正弦定理ACsin∠D=ADsin∠ACD，得sin∠ACD=69.

评析以平面几何为载体的问题，一般有以下几个方面：一要利用好平面几何图形的性质;二是出现多个三角形时，要从条件较多的三角形突破求解;三是四边形问题要分割成三角形问题求解;四要善于用三角形的不等关系，从而确定角或边的范围.

3 总结与反思

一般地，解决数学问题离不开转化思想，解三角形也不例外，从观察方程的代数特征出发，将三变量转化为双变量.对同一数学问题观察的角度不同，解决问题方法不同，若是关于边和角余弦的一次齐次式，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理;若是式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用正弦定理，关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法都适用，化简时还要考虑到“统一角的名称，统一函数名称，统一结构”.所以要用数学的思维方式去分析题目条件的结构特征，选择适当的运算过程，培养学生观察、分析问题的能力，形成数学的思维方式，落实逻辑推理和数学运算的核心素養.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[责任编辑：李璟]