基于数学直观的一道调考试题的分析与求解

福建省福清第三中学 (350315) 何 灯 何文昌

试题呈现(泉州市2022届高三监测(二))已知函数f(x)=ax-ex，∀x∈(1,+∞)，f(x)

A. (-∞,1) B. (-∞,1]

C. (-∞,e) D. (-∞,e]

试题主要考查全称命题的概念、运用导数研究不等式恒成立问题、 函数图象等基础知识；考查逻辑推理、运算求解等能力；考查转化与化归、数形结合、函数与方程、分类与整合等思想；体现应用性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注.

命题组给出试题的三种求解方法，分别是指对同构法、端点效应法、参数分离法.下面展示前两种求解方法(因参数分离法运算较为复杂，此处略去).

解法1：(指对同构法)因为alnx+a-ex=a(lnx+1)-elnx+1，所以∀x∈(1,+∞)，f(x)f(x)在(1,+∞)恒成立.求导可证当x∈(1,+∞)时有1

①当a≤e时，u′(x)>u′(1)=e-a≥0，所以u(x)在(1,+∞)单调递增，且u(1)=0，得u(x)>u(1)=0，所以φ(x)在(1,+∞)单调递增，φ(x)>φ(1)=0.

综上，a≤e，故选D.

评注：利用指对同构法求解本题，构思巧妙，给人以启迪，但是学生如果没有经过专项训练，势必难以想到利用同构求解本题，或难以实现从alnx+a-ex到a(lnx+1)-elnx+1的转化.端点效应法是求解本题的一种行之有效的方法，通过逐段筛选，确定出参数的最终取值范围，只是整个求解过程方向不是非常明确，学生容易在求解中误入歧途，导致无辜丢分.

是否存在更彰显试题本质的解法？

因为试题最终要解决的是函数φ(x)的符号判定问题，故可尝试从直观上加以分析，看能否从题设条件出发，预测出问题的求解思路.

基于上述直观分析，笔者得到较参考答案更加简洁的求解过程.

(2)当a>e时，由于φ″(1)=e-a<0，则存在x0>1，使得当x∈(1,x0)有φ″(x)<0，得此时φ′(x)在(1,x0)上单调递减，注意到φ′(1)=0，则当x∈(1,x0)有φ′(x)<0.又φ(1)=0，则当x∈(0,x0)有φ(x)<0，与条件不符.

综上，a≤e，故选D.

评注：上述求解过程与参考答案相比，更顺畅自然，一气呵成.这种顺畅自然、一气呵成来自于我们对题目意思所作的“直观理解”、解题方向的“直观判断”、最终结果的“直观预测”.