解构·结构·建构

倪灿东

摘 要：“空间与图形”教学是小学数学的重要领域，对于学生知识的习得、空间知觉的培养、空间观念和思维的养成均有重要意义。本文以“圆的认识”单元整体教学为例，探讨小学阶段如何进行有效的空间内容的教学。解构教材，丰厚表象，从经验中认识圆;结构体系，强化认知，在思索中前行;建构思想，渗透方法，于自然中得法，以达到由表及里、由浅入深、把知识、技能和思想教学相互融合，提升数学教学的含金量，使师生在这样的教学中共同获益。

关键词：解构;结构;建构;整体教学

“圆的认识”是小学阶段唯一的曲线平面图形单元，也是小学数学教材中非常传统的一个内容，它涉及的知识点包括认识圆的基本概念以及各部分名称，学会画圆，熟练掌握圆的周长、面积计算，会用圆的知识解释生活中的问题。可见，这个单元知识点密集、目标诸多。笔者在教学该单元后，针对学生在单元练习中的种种错误进行了错因分析（见表1）。

诸多现状值得深思，再次面对这个教学内容时，笔者试图从整体教学视角开始思量它的改进之法。

一、溯源思考——重新审视单元目标定位

整体教学侧重对单元教学目标的理解和把控。回到原点思考，“圆的认识”这一单元教学究竟是为了什么？“圆的認识”属于空间与图形的领域，与其他几何图形类似，其核心要求是学生对几何图形自身表征的认识及图形的测量等相关内容的掌握。通过本单元的学习让学生掌握圆的概念，知道圆的周长和面积的求法，并能解决相关的实际问题，同时发展学生的空间观念。

上述状况的出现，是教育的理想与现实之间的落差，也就是目标定位的问题。细究产生落差原因，对教师来说主要是缺乏主导的自信，被分数所牵，在教学中处于“被教”的状态;对学生来说主要是空间的表象支撑不够，为题目所累，缺少认知间的连结能力，思维产生定势。

如何适时适当适度地加以改进，既兼顾知识技能的获得，又实现空间能力的培养呢？笔者提出以下两点教学设想：

1.知识间的网络式的结构，不仅有助于知识的习得，更使学生在贯与联的学习方法中形成有效的知识链。尝试从单元整体教学入手，把对形的认识和度量用联系的观念适当整合。本单元以圆的教学为内容，既包容了图形的一维空间（形的认知）又兼容二维空间（形的度量）的认识，是小学阶段较为集中的空间观念的学习，具有一定的典型性。

2.六年级的学生已经积累了一定的学习空间图形的经验，可以让学生从特定的角度，采用一定的学习方式，利用先前学习的经验，充分发挥主观能动性进行学习。

二、实践策略——精心构建空间认知体系

1.活动经验——解构圆形的美

对学生来说，圆是一个并不陌生的图形，生活中处处可见，但它又与由直线构成的图形有所区别。因此在由线段构成的平面图形经验逐渐固化时，曲线围成的图形的出现必然会产生认知上的冲突。这些看似有利或不利的经验均可以作为教学的助推点。

（1）解构教材体系，明确教学目标

本单元的主要内容包括：圆的特征、圆的周长和面积计算。作为知识的基础便是平面图形的认知。知识技能是显性的要求，而从更为宽泛的要求看，学生的空间观念、空间思维能力等都要获得同等发展，两者又相互作用，不能顾此失彼。因此，教师无论在教学哪块知识时，都要与总体要求挂钩，与总目标加以联系，做到胸有成竹，既不失偏颇，又游刃有余。

学生对于圆的知识有一定的生活经验，并不陌生，所以“学习开始的地方不一定在课堂”，教师要充分利用和调动学生的生活经验，强化概念的建立。

比如，教学完“圆的认识”一课后，出示一组数据，让学生说说圆的直径或半径是多少，然后想一想，这样的圆会是生活中的什么物体。

学生知识储备的差异和个性的差异，往往会影响到他们参与学习活动的整个过程。这样的练习不是单纯地找直径与半径的关系，而是与生活中的现象联系起来，同时也为学习圆的周长或面积埋下了伏笔。

又如，车轮为什么都是圆形的？以这样一个与生活紧密相连的问题作为对圆的认识的总结，引发学生的思考，不单只为解决与此相关的一个问题，其实是引导学生整合自然、社会、历史等各个领域将“圆”的功能有效地挖掘，放大圆的文化特性和实用价值，在与生活对话中挖掘图形所散发的独特功能魅力。

（2）多重感官参与，丰富表象积累

对于一个概念的认识，尤其是几何图形表征的建立，更要充分调动学生的视觉、触觉、听觉等各种感官来共同参与，才能对空间与图形的特征准确清晰地把握。

在教学圆的认识时，笔者以“画”为载体，充分挖掘和调动学生的各方面能力，把对圆的认识由表及里，由模糊到清晰的过程展示出来。

试水“画”：布置课前作业，要求学生试着去画圆，想想你能用哪些方法画，能画出大小不一样的圆吗？

作业展示，互评。

生：因为圆是由一条曲线围成的，十分的光滑，不能徒手画，要有工具的。

师：那你们是怎么画的？

生1：我是用一个圆形盖子，绕一圈画成的。

生2：我是用圆规画的……

交流画法的过程，其实就是对圆的感性认识加理性识别的过程。

画圆是认识圆的一个基本要求，所以课堂上的练习必不可少。标注圆心，画上直径与半径等均可让学生在手指间的操作中完成，在交流画不同大小和位置的圆时，我们也可画得更生活化一些，如引出五环，重叠的圆环等。

圆心决定圆的位置        半径决定圆的大小

从画同样大小但不同位置的圆到画不同大小却同一圆心的圆，教师利用这样的画圆经历引导学生对圆的知识点有了新的认识，而且立足于不同的学生对于圆的初步印象，有的放矢地加以引导，达到对圆由表及里的认识。

提升“画”：在介绍圆的认识时，我们会以“一中同长也”这一句古话作为圆的本义的再次应用。如果让学生体验到“一画可识圆也”的异曲同工之妙，印象深刻，回味无穷。

让学生尝试画一画。在开始的试画中，教师已让学生明白“没有规矩无以成方圆”这句话中的“矩”就是圆规。事实上当第一节课出现用圆规画圆后，学生已鲜有机会再用圆规画圆。因此，让学生有足够的机会和时间用尺规画圆显得很有必要。于是，笔者重新梳理一些组合图形让学生画一画（主要内容均可从后续教材中求周长、面积中获得）。

对于图3这样的图形，学生由不会到会，由不规范到规范，有一个过程。在画中学生再次认识到圆的特征，明白了它与我们学过的图形的结合方式，为组合图形的学习奠定了基础。教师还可以出示如下的图形，让学生想象并说说它们是怎样画出来的。

在操作圆规的过程中，学生收获的不仅是我会画了，重要的是知道了图形间的关系是怎么组成，并润物无声地为后续学习圆的周长和面积做了准备。

2.思维历练——结构空间观念

学习过程中充分调动学生的主观能动性，让思维参与其中，才是真正意义上的学习。對于圆的教学要求，我们不单是让学生会算周长和面积，会解决一些简单的问题，重要的是在这样的练习和思考过程中形成一种思辩的数学思维。

（1）殊途同归促思考，再进一步现意境

在教学周长的内容时，一道让学生疑惑的题引起了笔者的重视。

如果只是单纯地解决这个问题并不是很困难，只需将两条路径计算出来对比即可。当学生对计算的结果将信将疑，满脸带着“为什么会这样”的神情时，老师问：“难道这是巧合吗？”

学生随即想出几种方案：（1）换一组数据再计算。（2）用字母代替计算。结果发现计算的结果都一样。而且从字母代表的数据中更能发现这个规律。设橙色小圆的直径为a。那么蚂蚁B所走的路径就是一个直径为a的圆的周长，就是？仔a。蚂蚁A所走的路径就是半径为a的半圆周，即2？仔a÷2=？仔a。

随之拓展：那如果下方的两个半圆不一样大呢？如果再多几个半圆呢？

接下来的思考变得更有趣了，学生在探索的过程中，渐渐明白其中的道理，更体会着数学学习的乐趣。一道看似简单的问题，由疑问开启一个不同寻常的意境。

（2）化圆为方找共通，体验转化显思维

联系和沟通是关系学中的重要一环，其实我们的学习又何尝不是呢？圆的面积这块内容，能充分体现一个图形与曾经学过的图形间的关系，而这种关系蕴含着诸多的因素。首先，圆是个曲边图形，与我们以前学习的平面图形有所不同。其次，圆面积公式的推导要比长方形、平行四边形、三角形等直边图形面积推导困难些。其模式可设定为“化归思想”助学生经历一个“直觉的极限过程”——在“观察有限分割”的基础上“想象无限分割”。

课堂教学要化难为易，抓住问题的核心来解决。

第一环节：

师出示学过的平面图形：同学们，这些平面图形的面积都会求吗？回忆一下它们的面积公式是怎么来的？简要概括都是通过转化变成长方形（或平行四边形）而来的。

师继续提问：今天我们要学习求圆的面积，你觉得刚才这些平面图形的面积求法对你有什么提示或帮助？因为有了教材的阅读和课外的部分经验，马上有学生说把圆分割成大小相等的扇形，再拼成长方形就可以了。一部分同学马上赞同。

师：可以平均分割成几份呢？

生1：四份、八份……

生2：越多越好，这样我可以把这些小扇形看作是小三角形，三角形面积是底乘高除以2，这些拼起来后就是圆的周长乘高（半径）除以2，求出圆的面积。

生3：还可用这些扇形拼成别的图形。

第二环节：

教师根据学生的提议操作，可能拼成什么呢？

看着这些“四不像”的图形，部分学生有些疑惑。

生1：如果分得多一点的话，会更像。

看似不经意的一句话，学生的思维实则跨出了一大步。

第三环节：

师补问：那你们想象一下，除了可以拼成长方形，还能拼成其他图形吗？

师：课后尝试把一个圆平均分，像今天上课这样拼成长方形，再拼成你所想到的图形。

第三环节会有一定难度，但事实证明学生是感兴趣的，而且表现出很大的探索欲望。这也是“让不同的人在数学上得到不同的发展”的一种体现。

3.循序渐进——建构数学素养

有人说，数学学习的真正目的就是为了培养学习者的数学素养。那么在几何与图形的学习过程中我们又可以培养学生的哪些数学素养呢？

（1）渗透思想沁本源，有的放矢慢积累

“化曲为直”、渗透“极限思想”、在变化中寻找变与不变的数量，既是空间知觉的锻炼，也是辩证关系的渗透。前面论述中圆的面积公式的推导中就蕴含着重要的数学思想。我们以前学过的平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的得出，都是运用转化的思想把图形转化成会求面积的图形。而本单元的圆的面积计算公式的推导，仍要运用到这一重要的数学思想。以等积变形的思想为例，在圆与其他图形的组合中，幻生出更多的变化，而这些变化却有万变不离其宗的规律。

比如，我们在教学中可以让学生通过举例归纳等方法，探究一个正方形中最大的内接圆与正方形的关系（见表2）。

通过讨论，学生发现此时正方形的面积与圆的面积之比是4∶？仔。

随即我们可以继续出示：诸如这样的图形，它们又是什么关系呢？

第一层：大小有变化，数量关系没变。

第二层：形状有变化，面积没变。

第三层：只要正方形的周长不变，所有阴影部分的面积总是相等的。

在不断的深入与变化中，等积守恒的思想在学生心中慢慢生成。可见，几何图形的具象性为化解抽象而隐性的思想提供了很好的图表说明。

（2）重视语言表思路，互为关联言行思

在几何概念的教学中，数学语言的培养也很重要。数学化的语言交流和符号表达是揭示事物共同属性的思维形式。小学生的年龄特征，决定了他们对图形的识别活动处于以表象为主的直观辨认水平逐步向以特征为主的初级概念判断水平发展的阶段，这种发展的中介就是用语言概括、描述形体的特征。我们要以学生发展的长远目标出发，在日常教学中重视这种素养的培养，让学生在同伴的引领、师生的纠错和自我的调整中，提高数学语言表述的精度和严谨。

（3）形成网络重结构，整体建构促发展

在圆的认识单元中，笔者设计了一节“玩转圆”的复习课。

师布置要求：每个人想象一个自己喜欢的圆，与同桌玩一玩。

在复习课上，受理性的学习迁移，我们通常会用图表或分层的形式把学习内容进行梳理，知识整理的条理性较强。但有时尝试着用感性的思维进行描述性的陈述，适当的归类，也可达到预期的效果。

三、实践再反思——形成空間观念养成机制

学生的空间观念培养，并非一蹴而就，它涉及到众多的要素，协同而成。综上只是以“圆的认识”单元整体契入为例，旨在通过“整体感知 → 部分感悟 → 整体回顾”的整体教学意识融入教学的过程，促成学生几何空间观念养成的一点实践探索。

1.解构教材，丰厚表象，从经验中认识。从整体的角度看问题，较之单一的视角，教师所呈现出来的教学视野肯定是不同的。最重要的是在处理教学环节、设计练习时会用迥然不同的角度和方法。基于对几何与图形领域的空间培养要求，对于单元教学的整体把握，固本培元，有了正确的方向与目标引领，我们才能打开自己的思路，立足学生的现实，为学生量身定制数学活动，获取活动经验，在多重经验与感观参与下有效建立几何概念。

2.结构体系，强化认知，从思索中前行。将知识纳入到学生的原有认知系统中，找到图形间的联系和主要区别，在联系和比较中进一步建立几何概念。在教学中，偏重于结果，忽略过程，造成的最大损失就是对学生思维能力训练的缺失。看似繁琐的过程，对每个学习者来说却意义非凡——我听过，可能忘记;我看过，我会记得;我做过，我就明白了。思维的历练需要每个学习者的用心参与。

3.建构思想，渗透方法，于自然中得法。知识的建构不只是一种掌握，更是各种数学思维品质的综合。在几何概念的教学中，作为教师要树立大数学观，通过各种形式的学习，建立宽泛的空间观念、应用概念，促进学生融会贯通，完善概念，建立稳固的几何模型思想。现在新课程所提倡的几何直观，是几何概念的跨越式应用，让思想的渗透不再显得生硬，让数学语言同样开出奇葩，用发展的意识指导实践，于自然中得法。

总之，在教师的反思与改进中，不断选择适合学生的学习方式，有效建立学生的空间观念、解构知识，以丰富的表象促成认知;结构知识，在联和促的过程中加深认识;建构整体，把知识、技能和思想相互融合，提升学生数学学习的思维含量，养成良好的品质，增强数学学科素养。

                                                                                                                                                                      见习编辑/张婷婷