具双时滞和媒体影响的新冠肺炎模型的稳定性

童姗姗，王国欣，窦霁虹

(1.南阳理工学院 数理学院，河南 南阳 473004；2.西北大学 数学学院，陕西 西安 710127)

2019年底爆发的新型冠状病毒肺炎，传染力强，传播速度快，潜伏期长，给全球人类的经济和生活带来了重大损失[1-2].抗击新型肺炎疫情是一场丝毫不能松懈的持久战，而利用动力学方法来研究传染病的防控是一种有效的方法[3]．

疫情传播时，媒体报道可以提醒人们注意感染风险，减少感染疾病的机会，对疫情防控有着举足轻重的作用．通过建立具有媒体影响的传染病时滞模型能够较大程度地刻画媒体报道对疾病传播的影响．近些年来，大量同时具有媒体影响和时滞的传染病模型得到研究[4-12]．

时间的延迟存在于过程的各个环节，因此对于时滞传染病模型，含有双时滞的传染病模型更加贴近实际情况[13-15].

在以上模型基础上，针对新冠肺炎传播规律及防控要点，考虑两类易感类：受媒体影响易感类、不受媒体影响易感类，并考虑到经过一段时间后，受媒体影响易感类会变为不受媒体影响易感类，这个变化的延迟性正是反映了媒体报道的影响力度，因此引入媒体影响退化时滞.另一方面考虑新冠肺炎有潜伏性，引入潜伏期时滞，综上建立下面一类SIR(susceptible, infective, removed)传染病模型，讨论模型平衡点的稳定性，并以时滞为参数进行Hopf分支分析.

(1)

其中：S1(t),S2(t),I(t),R(t)分别表示t时刻受媒体影响易感类、不受媒体影响易感类、感染类、恢复类的数目;α表示出生率;τ1,τ2≥0分别为媒体影响退化时滞、疾病潜伏时滞；1-e-d1τ1表示受媒体影响的概率；d1,d2分别表示受媒体影响易感类、不受媒体影响易感类的自然死亡率；k表示成年易感类的密度制约系数；β表示疾病的传染率；ε表示感染类的因病死亡率；γ表示感染类的恢复率．

定义(极限系统) 设有非自治系统

(2)

与自治系统

(3)

且设解的存在唯一性条件满足，解的存在区间为(a,+∞).若当t→+∞时，对于∀x∈D，f(t,x)一致趋向于g(x)，则称系统(3)是(2)的极限系统．

1 平衡点分析

(1)R0≤1时，系统(1)存在零平衡点E0(0,0,0,0)；

2 解的正性

定理1若系统(1)的初始函数满足初始条件(H)，则系统(1)的任意解皆是严格正的．

证明将第一个方程两边同时乘以ed1t，得到

即

(ed1tS1)'=αed1tS2-αe-d1(t-τ1)S2(t-τ1)，

得到

因此对任意的t>0，有解S1(t)>0．

设t0=inf{t>0,I(t0)S2(t0)=0}，先假设I(t0)=0，则有S2(t)≥0,t∈[0,t0]，若定义

再假设S2(t0)=0，则有I(t)≥0,t∈[0,t0]，定义

3 平衡点的稳定性和Hopf分支分析

定理2若R0<1，则零平衡点E0是全局渐近稳定的.

证明由于独立性，考虑子系统

(4)

令V(S2,I)=S2(t)+I(t)，则

由引理1，得

由定理1，得

定理3若R0>1且R1≤1，则无病平衡点E1全局渐近稳定．

证明由系统(1)可得

由系统(1)可知

由引理3，得

综上，无病平衡点E1全局渐近稳定．

(λ+d1)(λ+d2)[λ2+p1λ+p0+(q1(τ1)λ+q0(τ1))e-λτ1+

(r1(τ1)λ+r0(τ1))e-λτ2+s0(τ1)e-λ(τ1+τ2)]=0，

(5)

其中：p1=a+b，p0=ab，q1(τ1)=-c，q0(τ1)=-ac，r1(τ1)=d-a，q1(τ1)=-c，r0(τ1)=a(d-b)，s0(τ1)=ac.

令τ2=0，(5)可记为

(λ+d1)(λ+d2)[λ2+(p1+r1(τ1))λ+p0+r0(τ1)+(q1(τ1)λ+q0(τ1)+s0(τ1))e-λτ1]=0.

首先易得λ1=-d1,λ2=-d2，下面考虑

λ2+(p1+r1(τ1))λ+p0+r0(τ1)+(q1(τ1)λ+q0(τ1)+s0(τ1))e-λτ1.

(6)

当τ1=0时，方程(6)变为

λ2+C1λ+C2=0，

(7)

显然方程(7)的两根都具有负实部．下面考虑τ1>0时方程是否存在纯虚根λ=iω(ω>0)，代入方程(6)中，分离实部与虚部，得到

(8)

(9)

首先易得λ1=-d1,λ2=-d2，下面考虑

(10)

假设λ=±iω(τ1)(ω>0)是方程(10)的根，代入(10)，分离实部虚部得到

其中

再由cos2ωτ2+sin2ωτ2=1得到

(11)

如果方程(11)有根，不妨设它有N个正根，记为ωi(i=1,2,…,N)，由(11)可解得

证明方程(10)两边关于τ2求导，得

故

于是

其中

4 结束语