历经课堂探究，学会数学思考

刘玉娟

一、教材分析

“相似三角形性质（1）”是北师大版新课标教材九年级上册“4.7图形的相似的性质”第一课时的内容，相似图形是现实生活中广泛存在的现象（全等图形其实就是它的一个特例）。本课是“图形的相似”一章的重要内容之一，是在学生学完相似三角形的定义及判定的基础上，进一步研究相似三角形的特性以完成对相似三角形的全面研究，它是全等三角形性质的拓展，在圆中有着广泛应用，也是近几年中考的热门考点。探索相似图形一些重要性质的过程，不仅可以使学生更好地认识、描述物体的形状，体会图形相似在刻画现实世界中的重要作用，进一步发展空间观念、几何直观与推理能力，而且可以通过解决现实世界中的具体问题，提高学生的应用意识和合作交流能力。

二、学情分析

学生通过对相交线、平行几何线、三角形、四边形等图形性质与证明的学习，已经积累了较为丰富的数学活动经验，空间观念逐步增强，直观与推理能力都得到了一定的培养，为相似图形的学习打下了基础。在思维能力方面初步具备了思维的完备性、深刻性、批判性等思维品质，但尚待提高。九年级学生在以前的数学学习中已经经历了很多合作学习过程，能够主动参与，勤于动手，乐于探究，学生间相互评价、相互提问的积极性高。因此，参与本节课相似三角形有关性质的探索活动的热情应该是比较高的。

三、教学法分析

本节课教学采用探究式和启发式的教学法。通过实际情境的创设和解决，让学生经历把实际问题抽象为数学问题的过程;对性质定理的探究，經历观察、猜想、验证、归纳、拓展的认知过程，让学生在动手操作、主动探索、合作交流中培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学思维品质;通过例题的变式训练、拓展延伸，感悟并体验类比的数学思想、特殊到一般的数学思想、方程思想、数形结合思想等数学思想方法。

四、教学目标

1. 经历探索相似三角形性质的过程，进一步体验由特殊到一般的归纳思想和方法，积累数学活动经验。

2. 了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。

3. 在相似三角形性质的学习过程中，进一步发展勇于探究与合作交流的精神。

五、教学重难点

1. 重点：相似三角形的性质探究及证明

2. 难点：相似三角形性质拓展与简单应用

六、教学过程

1. 创设情境，导入新课

课件展示生活中一些建筑物的图片，请同学们欣赏观察。

提出问题：在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题。如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱，小王在图纸上量出CD的长，就可知道模型房梁的立柱C′D′的长。你能说出其中的道理吗？

【设计意图】 以现实的生活问题导入，经历生活问题数学化的过程，使学生体验数学来源于生活又运用于生活，激发学生学习兴趣，从而引出本节课的学习内容。

2. 探究：相似三角形的性质

问题1：

（1） 如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？

（2） 已知△ABC∽△A′B′C′，若相似比为k时，则 =__________

（3） 据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？

【设计意图】让学生通过观察、猜想、验证、归纳的过程，初次经历了从特殊到一般的过程，通过对问题串的解答，引发学生思维层层递进，从相似三角形的最基本性质展开研究，使学生明确相似比与对应高的比的关系。

问题2：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应角平分线的比是多少？对应中线的比是多少？请同学们根据题意画出图形并证明你的结论。

【设计意图】通过学生小组合作探究，同桌互讲，给每一位同学表现的机会，体验学习成功的喜悦。同时类比了上一问题的探究过程，引发学生产生主动探究意识，培养合作交流能力，发展学生类比的思维能力与归纳总结能力。

相似三角形性质定理：

相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。

问题3：（变式拓展）

如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k;点D，E在BC边上，点D′，E′在B′C′边上。

（1） 若∠BAD=∠BAC，∠B'A'D'=∠B'A'C'，则 =  ___________

（2） 若BE=BC，B'E'=B'C'，则 = __________

（3） 你还能提出哪些问题？与同伴交流。

生1：若∠BAD=∠BAC，∠B'A'D'=∠B'A'C'，则 = __________

生2：若∠BAD=∠BAC，∠B'A'D'=∠B'A'C'，则 = __________

生3：若∠BAD=∠BAC，∠B'A'D'=∠B'A'C'，则 = __________

生4：若BE=BC，B'E'=B'C'，则 =__________

生5：若BE=BC，B'E'=B'C'，则 = __________

生6：我发现只要是相似三角形的对应线段，它们的比都会等于相似比。

【设计意图】在前面探索的基础上，学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索，在探索过程中，再次让学生经历了从特殊到一般的过程，发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生问题创新性的思维品质。

3. 应用举例，巩固提高

例1. （填空）

已知：两个相似三角形一对对应中线长分别是2cm和5cm，

① 它们的相似比是__________;

② 对应高的比是__________;

③ 如果一对对应角平分线中，较短的为3cm，则较长的为 __________。

例2. 如图，AD是△ABC的高，AD=6，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD垂足为E。当SR=BC时，求DE的长。

变式1：AD=6变为AD=h，其余条件不变，求DE的长.

变式2：AD=6变为AD=h，SR=BC变为SR=BC，求DE的长.

师：通过对例题及其变式题的探究与解答，你有什么收获与感悟？与同学一起分享。

生1：我发现求DE的长，既可以直接求，也可间接求，有两种求法。

生2：若用直接求需要建立含DE的长的方程求解，也就要建立方程模型来解。

生3：我发现不论题目怎么变，都用到了“相似三角形对应高的比等于相似比”这一数学知识。

生4：通过对这题的解答给了我一个启示——如果相似三角形中有高这一基本图形就应该要联想到“相似三角形对应高的比等于相似比”这一性质。

师：同学们的回答真棒！可以看出通过对这一题的解答，大家的收获很大，所以在平时的学习中我们要养成题后反思的习惯，努力做到举一反三，触类旁通。

师：同学们，你还能提出哪些问题来考考大家？试一试！

生1：如图，AD是△ABC的高，DE=6，點R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD垂足为E。当SR=BC时，求AD的长。

生2：如图，AD是△ABC的高，AD=9，DE=6，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD垂足为E，求SR与BC的数量关系。

生3：题目的其余条件不变，AD=6变为AD=h，SR=BC变为SR=BC，求DE的长。

说明：还有很多同学跃跃欲试，因时间关系，老师让他们课后继续提问题。

【设计意图】通过这一组变式题的解答让学生能够运用前面所学知识解决问题，培养学生的发散思维能力，化归、迁移思维能力和思维灵活性，同时让学生深刻体悟从特殊到一般、类比等数学思想方法。

4. 课堂小结（初步升华所学内容）

通过本节课的学习，你有什么收获？与同伴交流。

【设计意图】在教师的引导下，学生自主进行归纳，能够使所学的知识及时归纳入学生的认知结构。

5. 布置作业

必做题：习题2、3、4。

选做题：（补充）如图所示，在△ABC中，边BC=60cm，高AD=40cm，正方形PQRS的一边PQ在BC上，另两个顶点S，R分别在AB、AC上，SR与AD相交于点E。

（1） △ASR与△ABC相似吗？为什么？

（2） 求正方形PQRS的边长。

【设计意图】通过作业的布置巩固本节所学知识，实现对知识的应用迁移。分层作业让不同层次的学生都能有所收获。

七、教学反思

本节课“相似三角形的性质（1）”教学中，让学生经历知识的发生、发展、应用与拓展过程中，培养学生的问题意识，体验感悟了数学思想方法。这样的学习过程，对培养学生探究问题的科学态度、促进创造性思维的发展和学生后继的数学学习以及数学能力的提高有着重要的意义。现具体反思如下：

1. 让反思在例题教学中充满活力

在本节课的例题教学中，笔者引导学生作了如下的探索：此题主要考查了哪些知识点？解题结论是否正确？推理是否合理？有无其他解法（一题多解）？完成此例题的各种变式题后是否发现了各解法共同点与不同点？如此种种。许多学生由于学习态度和心理状态的不同，或者缺少教师必要的指导和训练，导致缺少这一重要环节，未能形成良好的解题习惯。本节课学生通过对上面一系列问题的反思，从失误中吸取经验，在回顾中积累经验、提炼方法，于感悟中进一步体验数学思想，从而达到了“做一题，通一类，会一片”的教学效果，解题能力和思维品质在更深和更高的层次得到了有效提高和升华。

2. 把变式训练贯穿课堂始终

在本节课教学中，首先，在对相似三角形的性质探究过程中先对相似三角形的对应高的比进行探究，再变式为探究相似三角形的对应中线的比，对应角平分线的比，最后进一步变式拓展为相似三角形对应线段的比进行探究。通过对这一系列变式问题的探究，不仅激活了学生的思维，有效地培养学生思维的深刻性、广阔性、独创性和灵活性，而且能迅速提高学生分析问题、解决问题的能力。其次，在对例题的教学中，也对例题进行了一系列的变式，如条件与结论的互换、特殊向一般的变式、图形的变式（体现在补充的作业上）等。通过这组变式题，可以让学生根据不同的条件用类似的方法解决问题，不仅能使学生掌握基础知识和基本的解题方法，而且激发了学生的探索兴趣，从而深入数学本质，学会数学思考。

3. 注重学生课堂问题意识的培养

美国著名数学家哈尔莫斯曾说：问题是数学的心脏。学生自己发现问题和提出问题是创新的基础，敏锐的问题意识和善于提问对于一个人的创造和发展有着非常重要的作用。可见，培养学生的“问题意识”是我们每个教师要解决的首要问题。在本节课的教学中，笔者在课堂上努力营造了一个敢想敢问的学习氛围，创设了合适的提问题时机，所以在对相似三角形性质拓展的探究中学生自然而然提出了一串的问题，经历了对相似三角形性质探究从特殊到一般的过程，从而得出相似三角形性质的更为一般性结论——“相似三角形对应线段的比等于相似比”，提高了学生思维的深刻性。特别是在例题的教学环节中，在笔者精心的引导和鼓励下，学生热情高涨，积极参与，提问题的学生越来越多，提的问题也越来越有价值，将例题进行了深入的剖析，把课堂气氛推向了高潮，让课堂焕发出了生命的活力。