基于平面几何价值分析的教材编写研究

石义娜　丁红云　李艳琴

【摘 要】文章通过以问题背景、数学认知、问题开放性为维度的三因素多水平教材问题分析框架，分析我国20世纪80年代以来人教版初中数学教材中“相交线与平行线”章节的数学问题，探析近四十年来教材中平面几何板块的问题编写及其价值取向变化.分析发现价值取向变化主要表现为逐步从關注数学知识到更加注重数学与自然和谐的知识体验，即数学的实用性价值;从注重数学演题到更加强调思维训练的学习方式，即数学的理性价值;从注重数学知识巩固到更加关注开放性的思维方式，即数学的创造价值.

【关键词】初中数学;教材;问题编写;价值取向;平面几何

数学教材是实现数学课程目标、发展学生数学学科核心素养的重要教学资源[1]，而教科书中的问题也是确定教科书效果的重要标准[2]，数学问题作为教材中的重要组成成分，有着重要的价值和意义.章建跃教授曾指出，有数学含金量的问题能帮助学生实现“从知其然到知其所以然，再到何由以知其所以然”的跨越[3].一直以来，教材比较研究大多聚焦于横向比较，纵向研究较为匮乏，此外，在研究内容上更多关注于教材的内容、结构以及问题难易度等方面的比较[4-7]，对教材中问题编写及其价值取向变化的研究缺少更多的关注.平面几何知识产生的历史几乎与人类的文明史同步，对人类的生存与繁荣起着极其重要的作用[8]，而“相交线与平行线”章节是学生学习的第一个几何对象，在使学生了解研究一个几何对象的“基本套路”上具有奠基意义[9].基于此，文章运用文本内容分析法，以20世纪80年代以来的人教版数学教材“相交线与平行线”中的数学问题为研究对象，运用三因素多水平教材问题分析框架对数学问题进行分析和比较，进而考察近四十年来数学教材中平面几何板块的问题编写及其价值取向变化.1 研究设计与工具

1.1 样本的选取

文章选取人教版1982年、1992年、2004年、2020年的四套初一数学教材，重点考察教材相交线与平行线章节中的三类数学问题：①穿插在新知引入中的“观察”“思考”“探究”等栏目问题，包括旁注的“问号型问题”[10];②例题，即教材中含有“例”或者“例题”这类标记的数学题;③练习，即教材中有“练习”这类标记的数学题[11].

1.2 研究方法

采取文本内容分析方法，从数学问题背景、数学认知、开放性三个角度，对不同时期教材中“相交线与平行线”章节的数学问题进行分类、编码与统计分析，进而揭示教材中问题编写及其价值取向的变化.

1.3 分析框架

2001年Nohara在PISA水平中首次提出了总体难度（Overall difficulty）的概念，其中涉及四个难度因素：扩展性问题、实际背景、运算、多步推理[12].鲍建生教授指出总体难度虽然涉及了多个难度因素，但缺少对数学探究水平的刻画和反映数学知识综合程度的指标，此外在每个因素的水平划分上显得比较粗糙，如“运算”因素上，只包含“有”“无”两个水平.基于此，鲍建生教授做了进一步的调整和改进，构建了一个数学课程综合难度的多因素模型，包括“运算”“推理”“知识含量”“探究”“背景”五个因素.其中，前三个因素更多的代表了我国传统的“双基”，而后两个因素反映了数学课程改革的一种趋向[13-14]，课程改革本质上是教育教学思想的时代变化，也侧面体现了时代价值观的变化.因此，文章选择“探究”与“背景”因素作为考察教材编写及价值取向变化的主要因素.在后续发展中，王建磬与鲍建生根据青浦实验得出的数学认知水平框架对数学课程综合难度的多因素模型进行了修正，将“探究”因素修改为了“数学认知”因素.考虑到数学问题的开放性对发展学生数学能力的重要意义，本研究在借鉴鲍建生数学课程的综合难度模型基础上，将其原有“探究”因素中的开放性剥离出来，成为一个单独因素，构建一个三因素多水平教材问题分析框架（见表1），用以研究教材中数学问题编写及价值取向的变化.

其中di（i=1，2，3）依次分别表示“问题背景”“数学认知”“问题开放性”三个因素上的加权平均值;dj（j=1，2，3，4）依次分别表示四个水平上的取值;dij为第i个因素的第j个水平的权重（依水平分别取1，2，3，4，其中将封闭题归为水平1，开放题归为水平3），nij表示这组题目中属于第i因素的第j个水平的题目的个数，k表示选取的总样本量;Px则对应1982—2020年四本教材中对“相交线与平行线”章节的数学问题进行分层抽样所得的概率（分层抽样可以使求解的值免受教材中问题数差异的影响），分别为P1982=1，P1992=0.4375，P2004=0.7179，P2020=0.56.

样本数量统计情况如表2所示.

下面按照问题类型和各因素比较的特征，分别对四本教材中“相交线与平行线”章节中的数学问题进行定量分析和定性描述，再综合背景、数学认知和开放性因素进行整体分析.

2.1 背景比较

首先，数学问题的背景可分为数学背景、社会生活背景、公共常识性背景以及科学情境四类.在此基础上，对不同年代教材中的相关数学问题进行统计，具体见图1.

从图1不难发现四本教材中数学背景类问题居多，公共常识类和科学情境类问题占比均为0，且前两本教材中数学背景类问题远多于社会生活类问题，但自九十年代以来，社会生活类问题与数学背景类问题的差距缩小许多，2004年最为突出.尽管近四十年来教材中数学问题背景呈波动状态，但是在问题设置上开始关注数学与自然和社会生活的联系，注重数学的应用性和实用性.

2.2 数学认知比较

根据数学认知可将数学问题分为四类：①操作—运算类，即按照课本要求的程序或方法进行基本计算或对问题中的元素进行常规操作;②概念—认识类，即考察学生对课本概念、规则、表达形式记忆的问题;③领会—说明类，即能理解概念、原理、法则和数学结构的内涵;转化问题的不同形式，并比较、分析常规问题的不同变式;④分析—探究类，即能分析、创造性地解决非常规问题，也包括开放题，数学问题一般化或特殊化等[15].

图2呈现各年代教材中的数学问题在数学认知因素上的统计结果：

从图2中可以看出，在数学认知因素上，四本教材均是概念—认识类认知水平占比最高，1982年和1992年最为突出，远高于其他三类认知水平，这也符合80、90年代的特征，即知识本位，侧重普及和巩固.此外，操作—运算类认知水平占比有所下降，但占比从九十年代开始稳定，领会—说明和分析探究两类认知因素的变化趋势极为相似，后两本较前两本增加了不少.总的来说，近二十年来教材中数学问题的整体认知要求有了很大提高，且四类认知因素之间的差距明显缩小，开始呈现均衡发展的走向，在问题设置上更具引导性和探究性，也越来越重视高阶思维的培养，强调思维的训练.

2.3 开放性比较

数学开放题没有统一的定义，但普遍认为开放题是指答案不唯一，或在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题[16].图3呈现了不同版本教材中的数学问题在开放性上的统计情况.

观察图3发现，教材中封闭性问题的占比高于开放性问题的占比，但开放性问题数量逐渐上升，封闭性问题的数量逐渐下降，体现了近年来教材中数学问题的开放性得到了进一步强化.此外，从图中可以看出，开放性题和封闭性题的两条曲线从2004年开始趋于平缓，开始呈现相对稳定的发展趋向.

2.4 综合性分析

前面对问题背景、数学认知以及问题开放性三个因素分别进行了分析和描述，下面从因素和水平两个维度进行综合分析，对各指标赋权后求加权平均值后得到下面的雷达图（图4，图5）.

观察图4，后两本教材在三个因素的加权平均值上均高于前两本，并且后两本之间相差无几，前两本也是如此，究其原因主要是与2001年的课改有很大联系，此次课改是一个巨大转折点，对教材中问题编写有着不可忽视的影响.在课改前，教材中的数学问题绝大多数都是练习题;而课改后，在教材中增添了“观察”“思考”“探究”等栏目问题，包括旁注的“问号型问题”，这类过渡性问题的数量占较大比例，这体现了教材编写对知识获得过程的关注，重视对知识本质的探究和再发现，进一步体现了对过程学习中能力与素养培养的渗透.此外，四本教材中数学问题的数学认知因素的加权平均值相较其他两个因素而言要高出不少，这也说明了教材中平面几何部分的数学问题强调高阶性思维能力，即关注思维训练的数学教育价值取向.四本教材中数学问题各水平的比较情况可以从图5看出，随着时代的发展，水平1下降幅度较为明显，水平2波动较小，而水平3和水平4均有很大的提升，四个水平构成的四边形也越来越接近正方形，体现教材中数学问题的各水平占比差距缩小，有着稳定均衡的发展走向.

综上，可知近四十年以来，数学问题开始从注重数学知识本身到更为强调数学与自然的和谐发展，从关注数学演题到更为突出思维的训练和高阶思维的培养，从注重知识技能训练到更为关注思维开放性，这些都反映了教育理念和价值取向的时代转变.特别是近二十年来，随着基础教育数学课程改革的实施，教材中数学问题的设置更具探究性、逻辑性、引导性和开放性，更为强调数学的理性和实用性的动态平衡，以及创新精神、能力和素养的培养.3 教材中问题编写的价值分析

由前面对问题的背景、认知要求、开放性、以及综合比较分析，可以得出近四十年来数学教材平面几何板块中数学问题的编写变化，但仅从上述数据分析来衡量价值变化略显局限.因此，下面结合四本教材所对应的教学大纲或课程标准的要求进行交叉分析，从中折射出近四十年来平面几何价值的变化.

3.1 数学的实用性价值

从问题背景因素上看，社会生活类、公共常识类和科学情境类比数学背景类更为突出数学与自然和社会的联系，因此社会生活、公共常识和科学情境三者问题数之和与数学背景问题数的比值变化能直接体现数学实用性价值取向的变化.其中，四本教材的对应比值分别为0.12，0.21，0.86，0.56，总体呈上升趋势，而2020年比值较2004年低的主要原因是练习题的增加，侧重纯数学思维的训练，即理性思维的培养.总体上，后两本的比值高于前两本，说明数学问题背景设置愈发注重数学与自然和社会的联系，即关注数学的实用性价值.例如在垂线段最短部分的设置上，前两本教材均直接给出性质内容并没有设置问题引导过渡，知识点后设置了问题和练习，而后两本则是设置了一个现实生活问题情境进行引导，即在灌溉时，要把河中的水引到农田，如何挖渠能使渠道最短？再抽象出知识点，最后利用性质解决生活情境中的问题.显然，在问题设置上，前两本更关注的是数学知识本身的理解和运用，反观后两本不仅体现了数学源于生活、应用于生活，还体现了从关注数学知识本身到更为注重数学的实用性价值，渗透了数学与自然和社会生活的联系.

四本教材对应的教学大纲（课程标准）也存在诸多差异，1982年和1992年的两本大纲都注重双基和三大能力，前者认为做足够数量的练习，是使学生牢固掌握数学基础知识和基本技能的必要途径，后者提及利用所学解决简单实际问题.2004年和2020年的两本课标在教材编写建议中均强调密切联系学生生活，后者除生活现实外，还强调数学现实和其他学科现实的联系[17，18].综上可知，2001年的课改对教材编写有着巨大的影响，课改前后的教材问题编写存在着较大的差异，课改前明显更重视双基，课改后除四基、四能外，还开始关注数学与自然及人类社会的密切联系.无论是前面的数据分析，还是教学大纲（课程标准）的比对分析，都反映了数学教材在问题背景设置上从关注数学知识本身转为注重数学与自然和社会生活的联系，即明确指出了数学的实用性价值.整体上，最新版在问题背景设置上更加全面和均衡.

3.2 数学的理性价值

数学认知中操作—運算和概念—认识是对问题进行常规性的和形式记忆的考察，此类题的解答只需学生了解课本上的相关知识点，没有对知识进行深入理解和掌握;而领会—说明和分析—探究的题目就需学生理解数学知识和结构的内涵，并能理性思考，具有条理性与逻辑性，因此，后两类与前两类问题数的比值变化能展现学生学习方式的变化.其中，四本教材的对应比值分别为0.12，0.23，1.29，1.00，从比值可以看出前两本的数学问题大多数都是低层次的认知要求，而后两本认知问题的层次十分接近.随着时代的发展，教材中的数学问题认知要求有了明显地提升，高认知的问题数量明显增加，这充分说明了教材中几何部分的数学问题强调高阶思维能力的培养.

四本教材对应的教学大纲（课程标准）在思维方面的要求也有所不同，1982年对应的大纲指出具有一定的逻辑思维能力;1992年对应的大纲指出逻辑性与直观性相结合，指出发展思维能力是培养能力的核心;2004年对应的课标提出遵循学生心理规律与认知规律，建立初步的空间观念，发展形象思维，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力;2020年对应的课标在2004年的基础上增加了几何直观.总的来说，在问题的设置上均注意对思维的重要性，但后两本对思维的训练更加全面、具体，具有可操作性和实施性，对数学思考进行了具体阐述.随着时代的发展，开始从注重数学演题转为更加强调思维训练的学习方式，在几何板块中愈发强调数学理性价值的渗透.

3.3 数学的创造价值

数学开放题是一种探索性问题，它能够帮助学生获得信心和提供多角度思考的机会，不同能力的学生在解答开放题时能够产生自己的数学思考，培养高层次思维能力[19]，因此教材中开放式数学问题对学生思维和能力的培养有着毋庸置疑的作用，特别是创新思维和非智力因素的培养.四本教材中开放性与封闭性题数的比值分别为0.04，0.10，0.34，0.32，九十年代后较之前而言开放式问题有明显的提升.此外，后两本教材中问题的设置相较于前两本教材而言，不仅仅是开放性问题数量有所增加，还有形式上也更具多样化，除答案不唯一外，还新增了方法不唯一、设问方式多层次化的问题.例如，学习了平行性的判定定理，四本教材设置的练习中，1982年和1992年的均为封闭题，提问的方式有几种：“是不是？”“可以判定吗？”“根据什么？”“为什么？”;但2004年和2020年设置了一个非常规问题，即观察小明同学制作的英语抄写纸的一部分（如图6），其中的横格线互相平行吗？你有多少种判别方法？在设问方式上，后两本较前两本明显地更具启发性、思考性和开放性，打破常规、弱化思维定势，利于学生发散思维和创新能力的培养，从而让学生在看问题时更具变通性、流畅性和独特性.

四本教材对应的教学大纲（课程标准）中，1982年的大纲没有提到与创新相关的要求，其余三本均谈及培养创新意识或创新精神.其中，后两本课标在教材编写建议中明确提到教材和题材应具有多样化、丰富化，进而发散学生思维，促进想象力、创造力的培育，彰显数学的创造价值.从上面的数据和教学大纲（课程标准）可以看出，教材中问题编写的价值取向已从过去注重对知识技能的训练，发展到现今更为强调思维开放性与创新意识，强调为学生思考、探究、发现和创新提供最大的空间，具有较强的开放性、选择性.

总之，教材的编写越来越注重数学的实用性价值，重视学生思维的训练与理性的思考，即理性价值的渗透，以及强调创新精神的培养.不仅体现了知识体验、学习模式和思维方式的转变，还透露出各时代的鲜明特征和价值取向的变化，这与研究的四本教材所对应的教学大纲（课标）的要求和理念的变化有直接对应关系.此外，平面几何主要采用了公理化方法，强调用纯逻辑推理的法则，建立成一个演绎系统的方法，因此教材针对平面几何中的数学问题要平衡好数学的实用性和理性价值，只有把握好这个度，才能更好地培养学生的能力和素养，落实立德树人的根本任务.4 结论与思考

近四十年来，教材中的数学问题反映了价值取向从过去侧重于知识本身、追求演题以及看重封闭式的练习，转变为现在注重知识的获得过程、强调独立思考和自主探索的知识体验，以及高层次思维、非智力因素和能力素养的培养.通过对近四十年来教材中平面几何内容的编写变化，来反映不同时代背景下的价值转变和教材研究的育人发展，进而促进教材更好的改革和促进教材研究的可持续发展.

结合上述分析对教材编写提出以下几点建议.第一，适当增加公共常识和科学情境两类问题背景.根据前面的分析可以发现，公共常识类和科学情境类问题几乎为零，而这两类恰恰对开拓视野，增强跨学科联系，以及促进情感、态度与价值观等方面的发展有着不可替代的作用.因此，丰富问题背景，使教材中的数学问题背景从单一转向多元发展，更加凸显数学与自然科学的交叉渗透和融合.第二，增强练习的层次性.学生是具有差异的个体，根据学习个体在学习特征、已有基础及学习兴趣等层面的不同，设定不同层次的练习任务，可兼顾不同学生的发展需求，达到学生学习参与最大化的目的.第三，在数学实用性与理性价值上保持适度平衡.尽管课标强调数学与自然社会的联系，但平面几何拥有严密的逻辑体系和推理方法，相比代数而言，对培养学生理性思维有着不可忽视的作用.因此，教材编写不能倾向数学与现实的关联而忽视数学学科的本质特征，在关注数学实用性和直观性的同时，也不要忽视几何演绎体系中所蕴含的推理、论证、抽象的理性思维.

无疑，这给教学也提出了进一步的要求.首先，教师要了解学科发展，构建整体认知框架，形成知识网图，把握知识本质，渗透价值理念.其次，教师需要站在研究者和教育者双重视角去合理开发教材，规避教材的不足，适当调整教学、完善教学，达到用教材而又高于教材.例如，多给学生提供一些非常规题、情景题、开放题等，使学生能创造性的解决问题，提升能力、锻炼思维、培养素养以及增长见识.最后，教师要在知识掌握与知识体验、数学演题与自主探究和合作交流、知识巩固与思维开放中保持适度的平衡，唯有如此，教学才能更好地促进学生数学素养的发展.

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作者简介 石义娜（1996—），女，贵州遵义人，硕士研究生;主要从事数学教育研究.

丁红云（1997—），女，贵州盘县人，硕士研究生;主要从事数学教育研究.

李艳琴（1982—），贵州思南人，博士，教授，硕士生导师;主要从事数学教育研究.

基金项目 贵州师范学院与贵州师范大学联合培养硕士研究生专项科研基金（项目编号：2021YJS04）.