挖掘习题价值 拓展学生思维

【摘 要】本文从一道与三角形内心有关的课本习题出发，充分利用课本素材进行深入研究，挖掘问题本质，强化知识理解与应用，发挥习题最大功效，同一问题变换条件结论，得出新的有价值的问题，帮助学生巩固基础知识，拓展思维，促进数学素养在学习中养成.

【关键词】习题拓展;探究;逆命题;内心

布鲁诺指出：“思维永远从问题开始.”学习的意义是不仅掌握教材中的知识，更要帮助学生能用所学的内容去解决问题，去创新实践.教材习题是十分有价值的教学资源，通过典型问题的拓展与变式、方法的迁移应用促使学生贯通知识间的联系，进而找到解决问题的策略、掌握分析问题的方法，这些品质和素养需要在日常教学中加以实践和锻炼.作为一线教师深入挖掘教材中习题的教育价值是必备素养之一，也是促进专业成长重要途径.

1 原题呈现 已知，如图1，在△ABC中，点E是内心，延长AE交三角形外接圆于点D，连接BD，DC.

求证：DB=DC=DE[1].

本题是沪科版数学九年级下册第24章圆第45页习题第5题.在教材中的目的是为巩固学生对内心性质的理解与运用.通过内心的性质得到角相等以及圆中同弧所对圆周角相等进而证明.作为教师在教学中要依托课本习题，从不同的角度、不同的层面、不同的条件进行拓展研究，挖掘问题本质，强化知识理解与应用，发挥习题最大功效，从而帮助学生跳出“题海”.2 解法及研究

证明 由点E是内心，可知∠BAD=∠CAD，从而BD=CD.

如图1，连接BE，则∠DBC=∠DAC=∠BAD，∠EBC=∠EBA，由∠EBD=∠EBC+∠DBC，∠DEB=∠EBA+∠BAD，所以∠EBD=∠DEB，即DB=DE，从而DB=DC=DE.

分析 若只是解答后就结束了，则失去了这道经典习题应有的价值.注意到题目中条件与结论存在互逆现象，能否变换条件结论，猜想是否正确，引发深层次思考.还有题目中隐藏的∠BEC与∠BAC之间的特殊关系，通过有意识设问，留给学生充分思考，再师生共同探讨解决.通过教学中引导学生探究逆命题的真假，对培养学生的批判性思维、全局性思维大有裨益，进而引导学生在今后的学习中学会发现和提出问题.

研究1 若将条件“点E是内心”和结论“DB=DC=DE”互换，所得命题还能成立吗？

即：已知，如图1，点E为△ABC外接圆内一点，延长AE交三角形外接圆于点D，连接BD，DC，若DB=DC=DE.

求证：点E是△ABC的内心.

证明 由DB=DC，可知∠BAD=∠DAC，即点E在∠BAC的角平分线上.

如图1，连接BE，则∠DBC=∠DAC=∠BAD，

而∠EBD=∠EBC+∠DBC，∠DEB=∠EBA+∠BAD，由DB=DE，所以∠EBD=∠DEB，可得∠EBC=∠EBA，即点E在∠ABC的角平分线上.

同理点E在∠ACB的角平分线上.

即点E是△ABC的内心.

研究2 设∠BAC=θ，由点E是△ABC的内心，则可得∠BEC=90°+θ2.则有以下命题：

若如图2，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在线段AD上，连接BE，CE.设∠BAC=θ，若∠BEC=90°+θ2，求证：点E是△ABC的内心.

分析 点E在AD上从点A到点D运动，可知θ≤∠BEC≤180°，存在某一时刻，使得∠BEC=90°+θ2，而当点E为内心时∠BEC=90°+θ2，由同一法可知点E为△ABC的内心.

证法1 （中点型一线三等角相似）

如图3，过点E作AD的垂线分别交AB，AC于点M，N.

由AD平分∠BAC，可得△AME≌△ANE（ASA），从而EM=EN，利用三角形外角可知∠CNE=90°+θ2，∠EMB=90°+θ2，即∠CNE=∠CEB=∠EMB，根据一线三等角相似可得△CNE∽△EMB，所以ENBM=CEBE，即EMBM=CEBE，又因∠EMB=∠CEB，所以△CEB∽△EMB，即△CNE∽△EMB∽△CEB.

可得∠EBM=∠EBC，∠ECN=∠ECB，即点E是△ABC的内心.

证法2 （角平分线的全等结构）

如图4，以BE为边点，E为顶点作∠BEF=90°+θ2交边BA（或BA的延长线）于点F，延长EF交CA（或CA的延长线）于点G.

可知∠GEC=360°-∠BEF-∠BEC=180°-θ，所以∠GAF=∠GEC，从而可得△GAF∽△GEC，则∠GFA=∠GCE，即∠PFE=∠QCE，过点E分别向边AB，AC作垂线交于点P，Q，从而由AD平分∠BAC，得出EP=EQ，所以△EPF≌△EQC（AAS）.

可得EF=EC，于是△BEF≌△BEC（SAS），则∠FBE=∠CBE，所以BE平分∠ABC，即点E是△ABC的内心.

证法3 （外接圆）

如图5，作△ABC的外接圆，延长AD交外接圆于点F，延长BF至点G，使得FG=BF，连接CG.

由∠BAC=θ，可知∠BFC=180°-θ，因为AD平分∠BAC，从而∠BAF=∠CAF，由圆周角定理知FB=FC，从而∠FGC=12∠BFC=90°-θ2，根据∠BEC+∠FGC=180°可知E，B，G，C在以BG为直径的圆周上，于是FB=FE=FC，由研究1知：点E是△ABC的内心.3 考题应用

如图6，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点O为AD上一点，若∠BOC=2∠BAC=120°，OB=2OC，AO=23，求线段BC的长.

审题 根据题目信息可知∠BAC=60°，由∠BOC=120°，BO=2OC，联想到解三角形，作∠BOC的外角构造直角三角形.再由AD平分∠BAC，AO=23可得出点O到两边距离为2.又∠BOC=120°=90°+12∠BAC，由研究2可知点O为△ABC的内心.

解法1 如图7，过点O作AD垂线交AB，AC于点M，N，可知OM=ON=2，AM=AN=4，由∠CNO=∠COB=∠OMB=120°，可得△CNO∽△OMB，所以CNOM=ONBM=COOB=12，于是CN=1，BM=4，从而在△ABC中，AB=AM+BM=8，AC=AN+CN=5，∠BAC=60°，如图8，过点C作CH⊥AB，解三角形得BC=7.

解法2 如图9，过点B作CO的垂线，交CO的延长线于点E，由∠BOC=120°，BO=2OC，不妨设OC=m，则BO=2m，EO=m，BE=3m.

在Rt△BCE中，勾股定理可得BC=EC2+BE2=7m，过点O分别作边BC，AC的垂线交于点F，G，由点O为△ABC的内心可得OF=OG=3，由△OCF∽△BCE，可得OFBE=OCBC，即33m=m7m，解得m=7，即BC=7m=7.4 思考

雙减背景下，切实减轻学生负担要从教师“增压”开始，教材是教师教学和学生学习的“根”，教材中的习题是编写者精心设计的，值得教师深入研读、研究.我们注意到，很多中考命题都是课本经典习题的改编和重组，也就是从课本的“根”生长出来的.用好教材、挖掘教材是教师专业基本功的重要体现，依托课本素材进行深入研究、变化，通过问题不同角度思考及变式训练培育学生核心素养.因此，要注重典型例题和习题延拓与发散，发展学生的思维，落实核心素养，积累活动经验，从而提高教学效率！

参考文献

[1]新时代数学编写组.数学（九年级下册）[M].上海：上海科学技术出版社，2021.

作者简介 武前炜（1984—），男，中学高级教师;主持合肥市教育规划课题并结题，获2012年、2020年合肥市中学数学教师综合素质大赛一等奖;主要从事初等数学教育、中考考题研究.

基金项目 2020合肥市教育规划课题“基于核心素养的初中数学作业设计的实践研究”（课题编号HJG20128）.