关于几何图形确定性的变式研究与思考

【摘 要】以一道初三期末统考题为例，从图形的确定性角度挖掘试题资源，进行试题变式，尤其重点研究了非完全确定图形中的“任意中的确定”问题，凝练了相应的问题范式，具有一定的推广价值.

【关键词】几何图形;确定性;变式;试题研究

根据图形各元素位置与数量关系确定程度，几何图形可分为“完全确定图形”“非完全确定图形”和“完全非确定图形”三种类型.各元素位置与数量关系都确定的图形称为“完全确定图形”;部分元素位置与数量关系确定而存在不确定或动态元素的图形称为“非完全确定图形”;所有元素的位置与数量关系都不确定的图形称为“完全非确定图形”.初中几何试题通常为前两种类型：在“完全确定图形”中研究元素的位置关系、确定某些元素的大小，或在“不完全确定图形”中研究变化中的不变与任意中的确定.本文以一道初三期末统考题为例，谈谈笔者是如何在研究图形确定性的基础上对其作出变式，并探索得到某一类问题的变式策略，从而将试题资源利用最大化，赋予一道题新的生命力[1][2].

1 原题呈现

（2022泰州海陵期末）如图1，线段AB是⊙O的直径，过点B作一条射线BC与AB垂直，点P是射线BC上的一个动点，连接PO交⊙O于点F，连接AF并延长交线段BP于点E，设⊙O的半径为r，PB的长为t（t>0）.

（1）当r=3时，①若∠FAO=∠EPF，求弧BF的长;②若t=4，求PE的长;

（2）设PE=n2t，其中n为常数，且0<n<1，若t-r为定值，求n的值及∠EAB的度数.

2 关于试题中几何图形确定性的变式研究

2.1 完全确定图形中的求值问题

很多几何试题在题干中设定条件时为了让图形的可塑性更强往往是非完全确定的，当在后面小问中添加一些条件使图形完全确后定，再选取其中一些元素作为要求值的问题便完成了一道试题的命制.既然命题者可以通过对图形确定性的不断强化来完成命题，那么相应的，作为试题资源的使用者亦可以通过这样的方式进行变式，对题干中的非完全确定图形赋予新的条件，使其完全确定后再评估要求元素的难易程度即可.接下来便从添加“值”与添加“关系”两种方式对本题的第（1）问进行变式并各举两例说明[3].

2.1.1 用尝试法取特殊值

本题第（1）问在给出半径为3的情况下只需添加一个特殊角或除半径以外的特殊边就可以让图形完全确定，由于可选择的面较广，所以可以采用尝试法.任取图中一条边或一个角对其赋值，但要充分考虑图形本身的构造特点与其他已知数据之间的适配性，使赋的值合理、得体，且赋值后整道题的计算量不宜太大，运算过程也不宜太复杂，要以精简的理念进行设计.以下是分别通过对一个角与一条边赋值对题目进行变式的两个案例.

变式1 （角的特殊值）（1）当r=3时，若sin∠PFE=1/3，求PF的长.

选择对∠PFE赋值是因为它在图形中处于中心位置，很多角如∠FBE、∠FEB、∠AFO、∠FAO、∠FBO都与∠PFE有着相等或互余的关系.为何将∠PFE的正弦值设定为13呢？这是基于两方面的思考：一是1[]3[SX）]为常见的三角函数值;二是将这一数值代入题目中测算后发现符合学生的一般运算水平.因为EF∶EB=1∶3，在Rt△EBF中根据勾股定理可得EF∶FB=1∶22，再根据△PFE∽△PBF可设PE=x，PF=22x，PB=8x，可列方程32+（8x）2=（3+22x）2，解得x=3214，所以PF=67.

变式2 （边的特殊值）（1）当r=3时，若FE=6，求PE的长.

如果说在变式1中选择的赋值对象是易于与其他角建立直接联系的，那么在本题中选择对EF赋值而没有选择其他线段是因为想在变式1的基础上适当增加一些推理要求.EF与直径之间不存在直接相似关系，需要經过两次相似代换才能让关系显性化.然而这样列出的方程是一元四次方程，涉及到用换元法对其进行降次转化，如果该方程的解不是一个完全平方数，学生便无法在实数范围内求解.在经过多次尝试后发现6符合这一要求，于是设BF=x，由勾股定理可得BE=6+x2，再由△AFB∽△BFE可列方程66+x2=x6，化简得x4+6x2-216=0，令x2=u，则u2+6u-216=0，解得u1=12，u2=-18（舍），即x=23，所以EF∶FB=22，根据△PFE∽△PBF可设PE=y，PF=2y，PB=2y，列出方程32+（2y）2=（3+2y）2后解得y=32，所以PF=6.

2.1.2 用倒推法取特殊关系

赋予特定的值或关系，旨在让图形由非完全确定到完全确定.但从“关系”到“值”必经经过推理过程，这层推理既不能太浅显也不能太复杂.若是赋值，一般我们可以随意控制值的大小来调整试题的难度;若是赋予特殊关系，暂不考虑该关系是否成立，就算成立也无法预估解的复杂程度.考虑到变式后整道题推理的流畅性与可操作性，可采用倒推法，即先预设好某个元素的值，再看这个值与其他元素的值之间有怎样的关系，然后从中选择一个合适的关系作为新增条件并将其代入求解，经检验无误后即可.以下便是用该方法分别赋予图形一组角的关系和边的关系对问题作出的两个变式.

变式3 （角的特殊关系）（1）如图2，当r=3时，∠POB∶∠AEB=2∶5，求BF2的值.

本题事先预设好了∠FOB=30°，通过计算可知∠AEB=75°，此时发现两个角度比值的刚好为2∶5，于是将∠POB∶∠AEB=2∶5设定为要添加的一组角的特殊关系.只要设∠POB=2x，∠AEB=5x，就能得到∠FAO=∠AFO=∠PFE=x，且∠FPB=5x-x=4x，在Rt△OPB中，∠POB+∠FPB=2x+4x=6x=90°，从而求得∠FOB=30°，过点F作FH⊥OB于H，根据r=3可解得BF2=18-93.

变式4 （边的特殊关系）（1）当r=3时，若PE∶PB=1∶4，求PF的长.

在预设线段PB的长为4后，根据勾股定理和相似知识可以相继算出OP=5，PF=2，PE=1，发现PE与PB的比值刚好为1∶4，且这一组线段与本题的核心结构子母型相似有着密不可分的关系，便于学生利用相关结论寻求解决问题的思路，只要证明△PFE∽△PBF，就有PF2=PE·PB，设PE=x，PB=4x，有PF=2x，可列方程：32+（4x）2=（3+2x）2，解得x=1，即可算出PF=2.

2.2 非完全确定图形中的确定性研究

在非完全确定图形中很多元素是变化的，但也存在着很多不变的量或关系，以此展开的确定性研究一般可以分为“变化中的不变”和“任意中的确定”两类[4]，本题第（2）问属于“任意中的确定”研究.“任意中的确定”是指在命题中构建一种M×m+n模型，其中M是变量，m是可赋值的含参代数式，n为常数或只包含待定字母的代数式，只要令m为0问题就与变量M无关，从而求出定值.比如在这道题中r与t的值都是变化的（模型中的M），但只要n取特定的值使含n的代数式（模型中的m）值为0，r-t就不会随着r与t的变化而变化.从命题层面看，本题到底是从任意出发通过探索找到有研究价值的确定，还是早已预设好了确定再将其推广至任意呢？命题人究竟是从什么角度来设计问题的？这对于把握这类题型的核心结构有重要意义，这里就从“在任意中寻找有价值的确定”与“由预设好的确定推广至任意”两个方面研究[3].

2.2.1 在任意中寻找有价值的确定

2.2.1.1 将图形参数化的初步尝试

既然是从任意开始探索，那么就要将图形中不确定的线段参数化，笔者共尝试了三种参数设法以尽可能地还原命题者的真实想法.第一次是将凡是涉及问题的边全部设为参数，即设PB=t，OB=r，PE=a，PF=b，在此基础上可以列出两个等量关系：b2=at和r2+t2=（r+b）2，但由于参数过多，很难构造M×m+n模型，进而无法聚焦图形中边的数量关系，最后以失败告终.为了让参数尽可能少一些，第二次利用了图中相似与勾股定理的几何关系设参数：PB=t，PE=a，则PF=at，OB=t2-at2at，但此时无法将a与t完整地提取出来以构造M×m+n模型，除非先令PB=OB，t2-at2at=t，即t-2at-a=0，等式两边同除以t可得1-2at-（at）2=0，再运用整体思想将该方程转化为一元二次方程，可解得at=2-1，at正是题目中的n，但该结论在于脱离了PB=OB的引导性暗示，学生很难自主发现，结果还是放弃了.

2.2.1.2 任意中不任意的参数设定

前两次的失败都源于参数的设定过于复杂导致蕴含于其中的确定性关系被繁琐的代数运算遮蔽了，最后秉持着简约的理念来设置参数.抓住本题中核心相似的比例中项PE·PB=PF2，利用相似比构造避免开方的倍数关系，具体可以将PF设为nt，PE则为n2t，再运用勾股定理列出OB2+PB2=OP2后可得OB=t-n2t2n，此时OB与PB，PE，PF均可提取公因式t，后面剩下的部分也均为关于n的代数式，符合M×m+n模型的結构特征.在具体搭配时发现OB-PE会出现关于n的三次方程，问题不可解，而OB-PB相较于OB-PF有更强的几何确定性，即∠POB为45°，最终确定将OB-PB作为研究确定性关系的对象，至此还原了试题的命制过程.由此可见，参数的设定是否合理对于命题与结论的发现起到了决定性作用，需要在探索的过程中反复实验，以寻求最好的设法，让暗藏于图形中的确定性逐渐显性化.

2.2.2 由预设好的确定推广至任意

2.2.2.1 结构置换构造任意中的确定

在以上分析后，笔者又在思考：命题者是否有可能事先预设好了∠POB=45°，即OB=PB，然后通过几何软件发现无论图形PB取何值，点E都是线段PB上的定比例点呢？若设PB为t，则OB=OF=t，PF=（2-1）t，由相似可得PFPB=PEPF=2-1，从而PEPB=（2-1）2=3-22，该比值正是原题中的n2.显然，PEPB为定值是PB-OB为定值的充分必要条件，因此，将条件与结论互换问题依旧成立，但这种设计方式就应该是“当PB-OB=0时，求PEPB的值”.事实上题目中并未明确给出PB-OB的值，只是交代其为定值而已.此时相比于互换前看似缺失了部分条件，但由于其符合M×m+n模型，故依旧可解.这样命题更能把握题目的整体结构与逻辑关系，也更显条理性.在有了这样的命题思路后会发现PB与OB除了相等还可以赋予更丰富的数量关系，对应的n也就有不同的取值.例如将∠POB的度数设置为60°，那么PB∶OB=3∶1，只要将原题中的PB-OB改为33PB-OB便可有如下变式.

变式5 （2）设PE=n2PB，其中n为常数，且0<n<1，若33PB-OB为定值，求n的值及∠EAB的度数.

因为PF2=PE·PB=n2t2，所以PF=nt，在△POB中利用勾股定理，得OB2+PB2=OP2，于是r2+t2=（r+nt）2，解得r=t-n2t2n.所以33PB-OB=3t3-t-n2t2n=（33-1-n22n）t，因为33PB-OB为定值，所以33-1-n22n=0，解得n=33（负值舍去），此时33PB-OB为定值0，∠EAB=30°，这依然是借助于M×m+n模型求出n的值，而算出的∠EAB的度数确实也与事先预设好的吻合.

2.2.2.2 建立问题的设计范式

继续深入研究该图形后发现，除了控制n的值可以使t-r的值随之确定外，图形中一对线段的比值确定后，其它每对线段的比值也随之确定.如此一来，将其中一组定值视为“确定”，另一组定值视为“任意”，就可以对问题进行全新的变式.这类问题可以作更具普遍性的推广：若一个几何图形中存在一些变量，将其记为M（M可以包含很多个子变量），同时还存在可以变形为A=a，B=b形式的两个数量关系，其中A，B是由图形中变量构成的代数式，a，b为确定的值，并且上述两个等式不会随着M的变化而变化，那么就可以进行如下问题设置：“当A为何值时，无论M取何值，B均为定值”，或者“当B为何值时，无论M取何值，A均为定值”.简单来说，就是只要确保图形在添加一组确定的数量关系后，能得到另一组不会随变量变化而变化的数量关系，即可设计同类型的问题.由此又得到了以下两种变式.

选择AF∶FE、PF∶FO的值作为模型中a和b，令a=4∶1，可以求得b=2∶3，再将4∶1设定为要求的“确定”，将2∶3设定为要研究的“任意”，便有了变式6.

变式6 （2）已知AF=n2EF，其中n为常数，n>1，若OF-32PF为定值，求n的值.

根据△AFB∽△BFE，AF=n2EF可得AFBF=BFEF=n，根据△PFE∽△PBF可得PF=tn，PE=tn2，在Rt△POB中运用勾股定理有r2+t2=（r+tn）2解得：r=n2t-t2n.OF-32PF=n2t-t2n-3t2n=（n2-12n-32n）t，因为OF-32PF为定值，所以n2-12n-32n=0，解得：n=2（负值舍去），此时OF-32PF为定值0.事实上，若反过来设计问题也依然成立：已知OF=nPF，其中n为常数，n大于1，若AF-4EF为定值，求n的值，具体解法不多赘述.

利用这一变式一般性的方法，可以对原题作根本性变化.如将∠PBA的度数由90°改为120°，视OB-PB为a，视PE∶PB为b，当然，改变角度后少了一组相似，故无法用初中阶段的几何知识表示要研究的边长，所以再作一条线段FG让消失的相似再现，并将b改为PG∶PB的值，问题便迎刃而解，也就得到了以下变式. 图3

变式7 如图3，线段AB是⊙O的直径，过点B作一条射线BC使得∠ABP=120°，点P是射线BC上的一个动点，连接PO交⊙O于点F，连接AF并延长交线段BP于点E，点G为线段BE上一点且∠EFG=30°，PB的长为t（t>0）.设PG=n2PB，其中n为常数，且0<n<1，若PB-OB为定值，求n的值及∠EAB的度数.

连接FB，过点P作PH⊥AB交于点H，易证△PFG∽△PBF，同上可得PF=nt，在Rt△PBH中利用三角函数可得BH=t2，PH=3t2，于是（r+t2）2+（3t2）2=（r+nt）2，解得r=n2t-t1-2n.所以PB-OB=t-n2t-t1-2n=（1-n2-11-2n）t，因为PB-OB为定值，所以1-n2-11-2n=0，解得n=3-1（負值舍去），此时PB-OB为定值0，∠EAB=15°.由此看来，此类变式在套用模型的同时还要关注过程的可行性、图形结构的特殊性等方面，否则会造成可解但不好解的状况发生.3 写在最后

本文将有关图形确定性的命题分为了两大类，一类是完全确定图形下的求值问题，一类是非完全确定图形下任意中的确定问题.对于第二类，笔者只是大胆地揣测了两种可能的命题思路，但疑惑并没有解开.为此笔者联系到了命题人，在将两种设想与命题人短暂地交流过后，命题人坚定地认为自己采用了第一种方式，甚至也出现了上文中提到的两次失败经历，至于为什么恰好构造了45°，命题人形容它为一个来之不易的“美丽巧合”.话虽如此，命题人对笔者提出的第二种命题方式以及各种变式敬佩之情溢于言表，认为在逆向设计的新视角下让此类问题的命题范畴更加宽广了，条件与结论的设定也更为灵活了.而笔者提炼出的一种新的命题范式给出了图形确定性命题探索的新策略.其实每一道原创题诞生的背后都有着命题人的巧妙构思与精心设计，当我们通过题文去揣摩命题人的初心并产生各种设想时，其衍生出来的价值早已超出了题目本身.

参考文献

[1]史可富，钱德春.加强数学命题研究，提升教师命题能力[J].中学数学教学参考（中旬），2021（09）：60-62.

[2]史可富，钱德春.加强数学命题研究，提升教师命题能力（续）[J].中学数学教学参考（中旬），2021（10）：70-72.

[3]陈纪韦华，陈秀娟.一题两翼，“形”“理”兼得[J].中学数学杂志，2020（04）：39-41.

[4]钱德春.变化中的不变任意中的确定[J].中学数学杂志，2019（08）：32-35.

作者简介 周炼（1992—），男，江苏泰州人，中学一级教师;曾获江苏省青年教师初中数学教学基本功大赛一等奖，泰州市“五一劳动奖章”“五一创新能手”，泰州市卓越教师培养对象，泰州市教坛新秀.

基金项目 2021年泰州市中小学教学研究第十三期重点立项课题“双减背景下指向深度学习的初中数学例习题设计研究”（课题编号：tjyzd2021-009）.