由2022年八省联考第8题引发的研究

李昌成

(新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

1 题目呈现

题目(2022年八省联考第8题) 设a，b都是正数，e为自然对数的底数，若aea+1+b

A.ab>eB.b>ea+1C.ab

学生普遍反映本题无从下手，很难建立题设与问题间的关系.根据2021年全国高考乙卷第12题的结构、命题点位、解题方法，考生有大概的思路：构造，再利用单调性作答，但是很难具体实施解题思路.

2 试题解答

解析由aea+1+b

aea+1

①

提取公因式,得aea+1

②

③

④

⑤

⑥

⑦

因为a，b都是正数，

⑧

⑨

3 解答说明

本题还有其他构造方法，只是构造更加巧妙，对学生要求能力更高，尤其是等价转化的能力，抽象概括的能力！

另解1 设φ(x)=xlnx-x，则

φ′(x)=lnx+1-1=lnx.

由前文知b>e，所以φ′(x)>0.

所以φ(x)=xlnx-x在(e,+∞)上单调递增.

又φ(ea+1)=ea+1lnea+1-ea+1=(a+1)ea+1-ea+1=aea+1,由aea+1+b

所以φ(ea+1)<φ(b).所以b>ea+1.

另解2 设λ(x)=lnx+x(x>0)，

则λ(x)在(0,+∞)上单调递增.

由aea+1+b0,得

0

取自然对数,得

lnaea+1

化简,得lna+a+1

移项,得lna+a

所以λ(a)<λ(lnb-1).

因此a

解得b>ea+1.

4 追根溯源

关于构造思想，教材在不同章节均有一些思想渗透，我们要深入领悟.对导数而言，在人教A版选修2-2的第32页安排了以下经典证明习题：

(1)ex>1+x(x≠0).

(2)lnx

这两个习题给我们提供了学习构造法的平台，从代数的角度可以分别构造函数f(x)=ex-x-1(x≠0)，h(x)=lnx-x(x>0)，g(x)=x-ex(x>0)，再利用这些函数的单调性证明不等式.

也可以依托函数y=ex，y=1+x，y=x，y=lnx，在同一直角坐标系中，通过图象直观感知不等式的正确性.事实上，基于这两个不等式结构和条件，我们可以构造大量的不等式，例如：

(3)ex≥1+x((1)式扩大定义域).

(4)ex-1>x(将(1)中x换成x-1).

(6)2lnn

5 常见构造模式

(1)已知f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，构造函数h(x)=f(x)g(x).

(7)已知f′(x)+f(x)>0，构造函数h(x)=exf(x).

(8)已知xf′(x)+f(x)>0，构造函数h(x)=xf(x).

(9)已知xf′(x)+nf(x)>0，构造函数h(x)=xnf(x).

显然，以上条件不等式中不等号变为小于号，不影响函数构造.

6 高考链接

A.a

C.b

于是f(0)=0，g(0)=0，h(0)=0，f(0.01)=a，g(0.01)=b，h(0.01)=c.

分别求导，得

所以g′(x)

结合导数的几何意义,得b

故选B.

例2 (2015年全国高考Ⅱ卷理科第12题)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf′(x)-f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ).

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1，+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0，1)∪(1，+∞)

因为当x>0时，xf′(x)-f(x)<0,故当x>0时，g′(x)<0.

所以g(x)在(0,+∞)单调递减.

又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，

故函数g(x)是偶函数.

所以g(x)在(-∞,0)上单调递减.

又g(-1)=g(1)=0,

当00,则f(x)>0;

当x<-1时，g(x)<0,则f(x)>0.

综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).

故选A．