解题教学中培养初中学生发散性思维能力的措施

陈艳阳

[摘  要] 解题能力与发散性思维的培养有着密不可分的联系. 文章以一道题的教学为例，探讨如何在解题教学中有目的、有计划、有意识地扩大学生的解题思路，鼓励学生在解题中充分发挥想象力，多角度看待问题，从而突破学生的思维定式，体验数学的魅力，培养发散性思维.

[关键词] 发散思维;解题;观察;

随着新课改的推进，发展学生的发散性思维成了教育的热点话题. 波利亚认为：“学习数学的关键是学会解题. ”究竟怎样发挥每道数学题的价值，让学生从一道道试题中感知数学独有的魅力，培养发散性思维呢？为此，笔者以一道题的教学为例，展示如何鼓励学生从不同视角观察问题，让学生通过不同视角，逐步揭开问题的神秘面纱，大胆表达自己的思维过程，从而培养学生的发散思维.

试题  m为大于1的正整数，它的三次幂能分裂成多个连续奇数的和（如23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19等）. 若m3经分裂后，若奇数为103或1003，求m的值.

分析  本题属于一道能力题，于考试而言具有区分度的作用. 初步预估，此题的难度系数在0.2-0.3之间. 为了培养学生的发散性思維，笔者以此题的教学为例，引导学生充分展示自己的思维过程，让学生从同伴的思维中拓展视野，获得新的解题思想，提高解题能力.

从统计学生自主解题的结果来看，本题的正确率较高，但解题方法各不相同. 由此可见，数学的解题方法并没有绝对性，从不同视角出发，会有不一样的解题思路. 为了拓宽学生的思维广度，笔者将学生从不同维度思考的解题方法罗列出来，并加以分析，为培养学生的发散思维与核心素养奠定一定的基础.

生1：根据题意，若从13=1出发进行思考，则有：

13=1，

23=3+5，

33=7+9+11，

43=13+15+17+19，

…

从该组数据来看，这是从1开始的一组有规律的关于正整数的等式. 该等式的左边都是一个立方数，最右边是一个宝塔型的有规律的奇数，从上往下整体观察是从1开始的连续奇数，且与左边的底数有关（底数是几，就是连续几个奇数的和）. 书写成宝塔形后，依次观察数据：1，5，11，19，29，…，其规律为m（m+1）-1.

13=                   1

23=                 3+5

33=              7+9+11

43=         13+15+17+19

53=      21+23+25+27+29

m=9，m（m+1）-1=89;m=10，m（m+1）-1=109. 因为109>103>89，所以m=10.

依照此规律，我们可以确定1003所对应的m为32. 这与学生在小学里遇到过的杨辉三角模型高度类似，教师也可趁机带领学生区分这两个模型的异同点，培养学生的类比思想.

生2：根据已知条件可知，所有等式的左侧都是立方，右侧是几个连续奇数的和（数量与数值与左侧底数有关），底数是几就是几个连续的奇数相加，同时下一个立方中出现的第一个奇数与上一组式子的最后一个奇数互为相邻的关系. 如：

13=1，

23=3+5，

33=7+9+11，

43=13+15+17+19，

…

103=91+93+95+97+99+101+103+105+107+109

由此可知103存在于103所对应的式子中，所以m=10.

分析  该方法虽然简单、直接，但仅限于对数值较小的等式，于数值较大的问题（如1003）而言，这个方法过于麻烦，在书写过程中也容易出现错误. 故此方法虽简便，但不推荐.

生3：根据生1所书写的宝塔图来看，我们可从该模型的中间参数作为思维的起点. 观察发现，底数为奇数的时候，分布于中间的数分别是1，9，25，49…，观察这组数据，不难发现这组数据每一个都是它们所在等式对应的底数的平方. 根据这个规律可知：当m=9时，该等式右侧中间的数为81，与81相邻且位于其右侧的奇数分别有83，85，87，89四个数，与103相当接近.

当m=11时，等式右侧中间的数为11，即121，与121相邻且位于左侧的五个奇数有111，113，115，117，119. 由此可得，103在m=10的行.

该生将目光锁定奇数行，通过奇数行中“中位数”的特殊规律，获得解题方法的思维让大家眼前一亮. 这种方法拓宽了学生的视野，发散了学生的思维，让学生获得从不同视角看待问题的能力.

沿着该解题思路，求1003的m值时，首先要找到符合条件的“中位数”，当m为31时，写出与它邻近的后15个奇数;当m=33时，写出与它邻近的前16个奇数，由此可确定1003所对应的m值为32.

学生的思维在同伴解题方法的影响下，明显得到拓展，此时有学生又提出新的解题方法.

生4：观察每个等式右侧的第一个数，依次为1，3，7，13，21，31，…，仔细分析这些数具有一定的规律性，为：m（m-1）+1，当m=10，m（m-1）+1=10（10-1）+1=91;当m=11，m（m-1）+1=11（11-1）+1=111. 91<103<111，所以m的值为10. 同样，用这个规律也能较快找到1003所对应的m值为32.

生5：在偶数的行，分别插进一列数字：4，16，36…，这些新插进的数恰好是底数的平方，由于这些数都是偶数，因此这些插入的数不会出现在每一行中. 若以该平方数作为中心的数，写出与它邻近且成对的奇数，这些数的平均数就是这个平方数. 观察新组成的数据，发现在各行，中间的那个数都是完全平方数，且与等式左边的底数相同. m=9时，中间的那个数为92=81;m=10时，中间的那个数为102=100（插入的偶数）. 以成对出现的规律来看，此行的十个数依次为：91，93，95，97，99，101，103，105，107，109. 由此可见m为10.

而当m为32时，中间的数为322=1024，1024就是插进去的那个偶数，此时以1024为中心，逐对写出这些奇数，这些奇数中有一对为1003与1045，由此可确定1003在第32行.

觀察每一行数据的特征与规律，发现当m为奇数时，m3=[m2-（m-1）]+…+（m2-2）+m2+（2+m2）+…+[m2+（m-1）];当m为偶数时，m3=[m2-（m-1）]+…+（m2-1）+（1+m2）+…+[m2+（m-1）].

教学思考：

从不同视角观察与分析问题，会有不同的发现. 本题大部分学生都能获得正确答案，但解题的思路与方法却有着千差万别，有的方法简单快捷，有的方法烦琐复杂，也有的方法标新立异，让人眼前一亮. 但不管用什么方法，最终指向的结果一致.

细细琢磨学生的解题过程，发现只要弄清试题数据之间存在的规律，即可找到解题的方法. 因此，数学解题时，只需要掌握问题的内涵，从广泛的角度去思考，即可获得举一反三的能力. 为此，笔者根据实际情况，总结了几点在解题中培养学生发散思维的方法.

1. 充分发挥想象力

发散思维的形成离不开想象力的支撑，而想象力的培养离不开对试题条件的利用. 因此，教师应引导学生善于从试题中捕捉各种已知条件或隐含条件，以此为想象的着力点，进行合理想象，对条件进行再加工与创造.

如生5，在偶数的行分别插进一列数字：4，16，36，…，再以这些数为中心点，成对添加相邻的奇数，即可解决问题. 想象力的作用得到淋漓尽致的展现，学生就会突破常规解题思维，以数字的插入，让解题变得得心应手.

2. 多角度看待问题

数学学习需灵活，不能揪着教材不放，亦不可人云亦云. 学生应敢于从不同的角度去观察、分析与总结问题，勇于与同伴或老师争辩，大胆地表达自己的想法. 如此，才能体现出高质量的多向思维. 因此，教师应鼓励学生在解题时，给自己多设几个“假如”之类的问题，不断地废旧革新，逐渐超越自己，突破自己.

如生4的解题方法，真可谓是横看成岭侧成峰，观察宝塔图等号右侧每一行的第一个数字依次为1，3，7，13，21，31，…，通过分析发现这些数存在的规律为m（m-1）+1，以此规律进行解题，有种柳暗花明又一村的豁然开朗之感.

3. 突破思维定式

法国的贝尔纳说：“学习最大的障碍绝非是未知的东西，而是我们已有的认知. ”解题时，学生首先会以自己的生活与学习经验为思维的起点，人们往往更善于处理自己所熟悉的问题. 一旦遇到新事物时，受思维定式的影响，难免会对新思维与方法的构建形成阻碍. 发散性思维的培养需弱化学生的思维定式，充分发挥想象，实现思维的创新.

如生2的解题方法属于常规性的方式，虽然能获得答案，但过程烦琐. 为了寻求到更好的解题方法，部分学生选择弱化思维定式的影响，换个角度从生1所写的宝塔图着手，发现底数为奇数的时候，分布于中间的数分别是1，9，25，49…，根据底数与这组数据存在的特殊关系而解出问题的答案. 此过程有效地提升了学生的发散性思维，为数学能力与素养的提升奠定了基础.

总之，在解题中培养学生的发散性思维是新课改的必然趋势，也是提升数学核心素养的有效路径. 作为教师，在解题教学中应有目的、有计划、有意识地扩大学生的解题思路，鼓励学生从多个维度观察与思考问题，在保证完成教学任务的前提下，有效地培养学生的发散性思维能力.