求函数值域的三种路径

王仕娜

求函数的值域问题通常会要求根据已知的函数式和定义域，求函数值的取值范围.解答此类问题的关键是根據函数式的结构特征，选择合适的方法进行求解.本文主要介绍三种求函数值域的思路.

一、利用函数与反函数的关系

我们知道，函数与其反函数的图象关于直线y=x对称，函数的定义域即为其反函数的值域，函数的值域即为其反函数的定义域.在求函数的值域受阻时，可利用函数与其反函数的关系，通过求其反函数的定义域来求得原函数的值域.

利用函数与其反函数的关系求函数的值域，需明确函数的值域与其反函数的定义域之间的等价性.根据原函数的解析式求得其反函数的解析式，便可快速求得其定义域.

二、利用函数的单调性

函数的单调性是求最值的重要T具.一般地，若（x）在定义域[a，b]上是增函数，则f（x）的最小值为（a），最大值为f（b）;若f （x）在定义域[a，b]上是减函数，则f（x）的最大值为f（a），最小值为（b）.利用函数的单调性求函数的值域，需先根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，然后根据函数的定义域求函数的最值.

利用函数的单调性求复合函数的值域时，不仅要遵循“同增异减”的法则，还要关注白变量的取值范围，

三、根据函数的有界性

函数的有界性是确定函数值域的关键.若存在两个常数m、M使得函数y=f（x），x∈D满足m≤f（x）≤M，则称函数y=f（x）在D上有界，其中m、M分别是它的下界和上界.根据函数的有界性求函数的值域，通常需根据函数的单调性和图象确定函数的上界或下界，那么下届即为函数的最小值，上界即为函数的最大值.

相比较而言，第一种思路较为简单，但适用范围较窄;第二、三种思路的适用范围较广泛，且第二种思路比较常用.在求函数的值域时，同学们要仔细研究函数式的特征，将其进行适当的变形，再充分利用函数的单调性、有界性、与其反函数的关系来解题.