用“点差法”解题．切记严谨

甘志国

“点差法”是平面解析几何中的一种重要解题方法，特别是在求圆锥曲线的中点弦所在直线的斜率时很简洁且程序化，备受青睐，但本文欲阐述的观点是：用“点差法”解题，切记严谨！

對此“解”的分析 由“线段AB的垂直平分线与x轴相交”可得直线AB的斜率存在，所以②在这里成立（但在解题过程中应交代清楚）.

当且仅当直线AB的斜率不为0即x1+x2≠0时③成立，从④推得⑤还要说明y1+y2≠0.当然这可由⑤推理得结论成立（但在解题过程中应有所交代），此时以上解答正确.

当直线AB的斜率为0即x1+x2=0时，由椭圆的对称性及“线段AB的垂直平分线过点P（ x0，0）”可得x0=0，此时欲证结论也成立.

综上所述，可得欲证结论成立，平分线l即y轴，它经过抛物线的焦点.

综上所述，可得当且仅当x1 +x2 =0时，直线l经过抛物线的焦点.

总之，用“点差法”解题，切记严谨：

（1）把等积式变成比例式时（比如把①变成②，⑥变成⑦，⑧变成⑨，⑩变成（11）），要注意分母不为0（若分母的值为0，则中点弦所在直线的斜率不存在，须另行研究，比如例4）;

（2）除非题设中有“中点弦所在的直线与圆锥曲线交于不同的两点”（比如例2，例4与例5）.否则要检验中点弦所在的直线与圆锥曲线确实交于不同的两点（比如例1与例3）;

（3）遇到中点弦的垂线问题时，中点弦所在直线的斜率为0的情形要单独讨论，因为此时中点弦的垂线的斜率不存在（比如例2与例5）.

下面的例6-8均是用点差法来求解的，且均是严谨的.5B0AD55F-5C46-41EA-AA26-BB19484B50A0