随机分析经典教材的对比分析

郑言 刘永枚

【摘要】本文甄选国外经典的五本随机分析教材，简要介绍它们各自的内容、特点和适用对象，重点知识模块分别在选材、内容和编排上做出对比分析，旨在梳理出随机分析的核心知识框架，提炼出核心知识要素，以便教师和学生在选取教材时做出合理的选择，提高教学效能，推进随机分析课程建设.

【关键词】随机分析;随机微分方程;经典教材;对比分析;随机积分

【基金项目】[1]本文系湖南省学位与研究生教育改革研究项目.（项目编号：2020JGYB004）;

[2]本文系国防科技大学研究生教育教学改革研究课题.（项目编号：yjsy2020024）

随机分析是概率論的一个重要分支，它类比微积分建立了随机微分、随机积分等重要概念以及随机版本的牛顿-莱布尼兹公式（伊藤公式），进而通过随机微分方程等工具分析噪声因素对现实世界的影响.从花粉粒子在液体中的运动到金融数学中的Black-Scholes模型，从工程领域的滤波理论到生物化学的酶动力学模型，等等，无不彰显其重要的数理分析作用.

随机分析自20世纪40年代诞生时起就得到了飞速而蓬勃的发展.1987年其创始人伊藤清获得沃尔夫数学奖，2006年、2014年Wendelin Werner和Martin Hairer也因在随机分析领域的突出成就获得菲尔兹奖.2020年国家基金委将“随机分析方法及其应用”列为“十三五”期间的“优先发展领域及其主要研究方向”，将“动力学中的随机方法”作为重大项目予以资助，表明随机分析对于国家重大需求具有一定的战略意义.

然而，我国的一些高校虽然于20世纪90年代就开始设立随机分析课程，并先后撰写和引进了一些教材.让人遗憾的是，这门课程的整体建设进度并没有与时俱进，甚至在一些高校还存在倒退甚至取消的窘境.问题的原因是多方面的，其中的一个重要原因是尽管市面上的随机分析教材和讲义已经比较丰富，但内容差异化过大，难度参差不齐，让读者无所适从.由于随机分析的前沿性，一些教师也不能很好地选择和利用教材，这更导致随机分析的教学效能低下.为此本文仔细甄选了五本经典的国外教材[1]-[5]，重点在选材和内容上做出比较，梳理出随机分析的核心知识框架，提炼出其核心知识要素.

一、教材的选择和主要特点

随机分析的教材大致上可以分为三类：面向数学专业（细分下去是概率专业）所撰写的教材、面向金融专业所撰写的教材以及面向一般理工生所撰写的教材.三者的共性是面向对象都为高年级本科生、研究生或科研工作者，不过在选材、编排、难度上存在很大差异.第一类教材难度最大，对数学基础薄弱的学生可读性最差，其特点是不关心在数学学科之外的具体应用，而要求将随机积分理论尽可能地建立得比较完备，以求囊括最广泛的积分和被积函数;第二类教材在数学上深度最低，不过需要读者最好具备一定的金融学知识，其特点是对数学理论浅尝辄止，作为数学工具够用就行，证明也不是十分必要，而核心中的核心是结合金融数学中的实例演示随机分析的实际应用;第三类教材的难度介于第一类与第二类之间，很多时候也是更重视结果而非过程，不过为了引入更多的应用实例，需要将随机积分理论适当加深和补充，所以在内容上也会有第一类教材所未涉及的.总之，在我们的调研中深感随机分析的学习只依托一本教材是不够的，因为读者的需求未必与作者的撰写思路完全契合，而且不同教材都有其可取之处，如果能够交互补充和参考其实才是最可取的学习策略.慎之又慎下，我们将以下五本教材作为比较和研究的对象：

1.《金融随机分析》[1]，作者是美国卡内基梅隆大学数学科学学院的Steven E.Shreve教授（下文简称此书为斯书）.全书共分两卷.第一卷主要包括概率论和随机过程的基础性知识以及离散时间模型，利用较简单的离散时间二叉树模型给出了风险中性定价、无套利期权定价方法等，虽只用到简单的数学，但涉及了鞅、马氏过程、测度变换等基本概念的简单应用.第二卷以简化且通俗的随机分析理论为基础，介绍连续时间模型及其在金融学中的应用，其中包含了许多操作性强、面向实际应用的定量经济学内容.虽然第一卷并不包含随机分析的真正内容，但非常适合作为第二卷的预备读本，因为读者可以通过离散时间模型理解随机分析在分析连续模型时的重要思想.全书各章均有评注和习题，阅读基础只需要掌握微积分即可.

2.《随机微分方程导论与应用（第6版）》[2]是《Universitext》丛书之一，作者是挪威顶尖学府奥斯陆大学（其计量经济学和数学的研究成果享誉世界）的Bernt Oksendal教授（下文简称此书为奥书）.这是一部广泛使用的研究生教材，主要内容包括伊藤积分、鞅表示定理、随机微分方程、滤波问题、扩散理论的基本性质和相关论题、在边值问题中的应用、在最优停时中的应用、随机控制中的应用及数理金融中的应用.虽然在随机分析的教材中奥书以易读易用著称，不过这也只是针对数学专业而言，其包含的大量证明并不适合数学基础薄弱的学生阅读.因此数学系高年级本科生及研究生可以较易上手，而一般的理工科和金融管理类的高年级本科生及研究生需要深化相关的数学基础，特别是要坚持做书后习题（书后附有部分习题解答和提示），不然会影响对本书的理解和掌握.

3.《随机分析及其应用》[3]，作者是世界百强名校，澳大利亚蒙纳士大学（Monash University）的知名教授Fima C.Klebaner （F.C.克莱巴纳）（下文简称此书为克书）.本书是随机分析炙手可热的教材之一，选题兼顾理论和应用两个维度，内容广泛丰富.书中阐述了其在各领域的典型应用，包括数理金融中金融衍生品（如期权）的定价和对冲、工程中的滤波和控制理论、物理学中随机激励对各种物理现象的影响、生物学中种群的繁衍和环境变化对种群的影响.该书在论述上追求简洁易懂，注重数学启发和数学直觉，为此牺牲了一定的数学严密性.本书适合只具备一般高等数学和概率论基础的高年级本科生、研究生和研究人员阅读.书内示例和习题十分丰富，并附有解答.

4.《随机积分和微分方程（第2版）》[4]，作者是美国康奈尔大学运筹学与工程学院的Philip，E.Protter教授（下文简称此书为普书）.这是一本十分有特色的教材，它用函数解析法研究半鞅的随机积分，不过并不遵循一般的先介绍鞅论的一般理论再定义随机积分，而是以一种十分契合随机积分定义的方式先定义半鞅，再讨论半鞅的性质.除此之外，该书也讨论了随机微分方程和滤子的扩张理论，选材不落俗套，如停时的分类、Bichteler-Dellacherie定理、鞅表示的Jacod-Yor定理、鞅表示的例子以及Sigma鞅等都有涉及.普书很好地选择性吸收了很多文献的最新研究成果，力求证明的启发性和叙述的简洁性，不过在可读性上并不适合非数学专业，此外，它还要求读者先了解随机过程的基础知识.本书的示例偏理论，习题难度跨度较大，没有解答.

5.《钟开莱随机积分导论 第2版》[5]是二十世纪后半叶“概率学界学术教父”钟开莱先生的经典名著（下文简称此书为钟书）.钟书由钟开莱教授在斯坦福大学和加州大学圣迭戈分校授课的讲义改写而成，内容改动不大，主要加强了完备性和严谨性，基本呈现了二十世纪九十年代随机积分理论的发展状况.它超越了伊藤清创建的经典理论，但并未涉及不连续分支理论.概括而言，连续样本轨道的局部鞅的随机积分是的主书的主要议题，也引入一些只要求轨道右连续性的结论以拓展应用.书中关于鞅的hermite多项式、Cameron-Martin-Girsanov 公式、Feynman-Kac-Schrdinger展开式和反射布朗运动的内容有一定特色.钟书保持着钟先生著作的一贯特点，严谨性高于简洁性，即十分注重数学逻辑的严密性，为此不惜笔墨，读来有娓娓道来之感.总之，此书作为二十世纪世界名校的教材确实值得一读，既可得到显著的数学训练，也可借此了解随机分析的发展历程.

二、教材内容比较

在微积分的准备知识方面，钟书和普书只用二到三节的篇幅快速介绍了重要概念和定理，不过是用测度论的语言严格叙述，入门门槛并不低，钟书介绍了可测性、Lp空间、单调类定理、有界变差函数和Stieltjes积分，普书与钟书类似，编排顺序不同，重点介绍了Stieltjes积分的变量替换;克书介绍了连续可导函数、右连左极函数、有界变差、黎曼积分、Stieltjes积分、Lebesgue积分、微分和积分、泰勒公式，之所以克书在这部分内容比较丰富，是因为它的定位是面向基础最薄弱的学生群体;斯书和奥书介绍了二次变差，其他内容略去，这种处理是因为这两本教材在数学上采取了比较简单的处理方式，而且也假设读者具备一定的高等数学基础.

在概率论的准备知识方面，斯书用了接近两章的内容，是最易读的，包括随机变量和分布、期望、积分的收敛、独立性、条件期望、随机过程、鞅和Markov性，特点是测度的变换（后面章节考虑了停时）;奥书篇幅最为短小，但是以测度论为基础，有Doob-Dynkin引理、Kolmogorov扩张定理、鞅的知识推到了随机积分的性质那一节，而Markov性则放在了扩散那一章;克书特点是将离散概率模型作为引例，引入停时的概念，关于σ代数的一些概念（如濾子）描述得更加精细，鞅和Markov性则放在下一节与布朗运动结合在一起引入;普书和钟书都介绍了停时、鞅收敛定理、向后收敛定理、Doobs Optional sampling定理、局部鞅，普书特别地介绍了cadlag过程，钟书特别介绍了Optional Times.

奥书只用了一节内容介绍布朗运动的定义和最基本性质;斯书用了一章的篇幅，先讨论随机漫步，然后讨论布朗运动的滤子、鞅性、二次变差、Markov性、首次通道时间分布（指数鞅）、反射原理（后面又引入了布朗运动的最值研究）;克书增加研究了逃逸时间和击中时间，最大最小函数，布朗运动的零点，布朗运动的增量（随时间增大的速度），高维布朗运动和Poisson过程;钟书有一节专门讨论two canonical processes;普书简要介绍了Poisson过程和布朗运动.

奥书仅对布朗运动定义了随机积分（被积函数是广义适应和平方可积的）;斯书和克书先是对布朗运动定义随机积分，然后在后面定义了关于带跳过程的随机积分（克书实际上是简要介绍了关于半鞅的随机积分的定义，然后将带跳过程的随机积分作为特列，为此用了三章的篇幅，而斯书只用了一章）;钟书是关于连续轨道的局部鞅（个别处也推广到了右连续轨道）定义了随机积分（总共用了三章）;普书定义了关于半鞅的随机积分，用一章定义了黎曼型随机积分（被积函数是右连左极的适应过程），再用两章的篇幅定义了Lebesgue型随机积分，为此用了一章篇幅建立了鞅分解的Bichteler-Dellacherie定理（Doob-Meyer分解和Meyer-Girsanov定理是其中间结果）.

奥书在定义随机积分后得到了1维和多维的伊藤公式以及鞅表示定理;斯书也建立了多维伊藤公式，研究了布朗桥（为后面的蒙特卡洛模拟做准备），而将鞅表示定理推迟到下一章风险中性定价理论中引入（Girsanov定理也是如此）;克书建立了多维的伊藤公式，研究了高维的伊藤过程;普书建立了伊藤公式（第2章）、Girsanov定理、拟鞅、补偿子、局部鞅的基本定理（第3章）、鞅表示定理、半鞅局部时间和Tanaka公式、鞅对偶和Jacod-Yor定理、Azema鞅（作为一种反例）、Sigma鞅（一类特殊的半鞅）（第4章）;钟书建立了伊藤公式及其推广（包括布朗局部时间和Tanaka公式），关于时间和测度的变换公式（cameron-martin-giranov变换），应用方面讨论了鞅表示、存储理论中的近似、反射布朗运动和Feynamn-Kac公式（薛定谔方程）.

斯书只是在给出SDE的定义和Markov性后就迅速转向应用;奥书只给了SDE强解的存在性和唯一性，也是针对后面的应用给出了相对简单的情形，基本上对应着ODE里面最简单的情形，后面证明了Markov性和强Markov性;克书证明SDE强解的存在性和唯一性和奥书条件类似，但是还给出了弱解的存在性和唯一性证明，不过Markov性和强Markov性述而不证;普书引入了多种Lipschitz条件： random Lipschitz，process Lipschitz以及functional Lipschitz，证明了强解的存在唯一性，没有涉及弱解.研究了SDE的稳定性，证明了强Markov性;钟书的SDE只用一章处理，内容比较精炼，得到了强解的存在唯一性，引入了弱解的定义，证明了强Markov性.只有普书和克书研究了Stratonovich微分方程.

斯书重点引入了Feynamn-Kac公式，而将Kolmogorov向前向后方程作为练习;奥书讨论了扩散过程的生成元、特征算子、Dynkin公式、Kolmogorov向后方程（先前作为练习）、Feymann-Kac公式、Girsanov定理（其实这个可以在建立了伊藤公式后引入）;克书讨论了Kolmogorov向前向后方程、Dynkin公式、Feymann-Kac公式、逃逸时间、解的爆破（也考虑了Markov带跳过程）、不变测度、回复性等、Girsanov定理（包含点过程，然后把似然率估计作为应用，后面期权定价也会用到）;普书介绍了解流理论，提供了一些有用的解的矩估计;钟书在这部分缺乏内容.

其他内容方面，作为应用斯书介绍了各种金融模型，最后一章考虑了带跳过程的随机积分（带跳过程主要是Poisson过程和复合Poisson过程），考虑了测度变换;克书考虑了数学金融、生物学、工程学（滤波）、物理（二维方程的随机扰动）上的应用;奥书在数学上的专题是滤波和扩散的深入研究（鞅问题、随机时间变换，伊藤过程在什么条件下是扩散过程），应用涉及边值问题、最优停止、随机控制、金融数学;钟书只是提供了一些经典的例子，如O-U过程，Bessel过程，Black-Scholes公式等;普书用一章的篇幅介绍了滤子的扩张理论.

三、随机分析的核心知识要素

随机分析的预备知识包含两方面：一部分是微积分中关于积分理论的知识（主要是Stieltjes积分和有界变差等），一部分是概率论中关于概率空间、随机变量、期望、随机变量的收敛、条件期望、随机过程的基本知识.虽然总体知识容量不大，但如果没有先修过微积分和概率论课程，想直接通过阅读预备知识而上手确实有一定难度.此外，虽然不是所有的教材都以测度论为基础讲述概率论，但如果能够进修过测度论或者实变函数这两部分内容确实可以事半功倍，因为测度论不仅为后续的内容提供了严格的数学基础，而且测度论的核心就是积分理论，其对于学习和理解随机积分理论是十分有意义的.

在正式学习随机积分理论之前，需要学习布朗运动的定义和基本性质.布朗运动的定义比较简单，但是它的构造理论一般有三种，无论哪一种都不是简单的知识，初学者应该在熟知布朗运动定义的基础上，初步了解其中一种构造理论.而布朗运动的轨道性质即便在今天也是一个有生命力的研究领域，内容十分丰富.考虑到与后续内容的关联性，最重要的是布朗运动的鞅性、Markov性、无处可导和无界变差等.值得一提的是，关于鞅的知识其实可以作为预备知识结合高等概率论的教材深入了解，而Markov性既可以提前了解，也可以在扩散理论部分再介绍，这里有一定的弹性.

随机积分理论最核心的内容是随机积分的定义、随机积分的性質和伊藤公式，贯穿其中的一个很重要的技巧是局部化.Stratonovich 积分和Tanaka 公式作为伊藤公式的延展内容有一定了解的必要.在掌握了上述内容后，已经可以初步涉入随机分析的应用领域，而Gisanov定理和鞅表示定理就是随机积分理论最重要的应用，前者几乎可以处理与随机分析相关的一切测度变换问题（当然Gisanov定理有很多个版本），而后者在某种程度上特别适合处理一些反问题，二者的重要性在金融数学和工程中得到充分彰显.

随机微分方程理论主要包含强解、弱解的存在唯一性和解的性质.如果只做泛泛了解，可以只学习强解的存在唯一性和解的（强）Markov性.不过，随机微分方程理论可以作为随机分析的应用组件，它的应用性主要与解的性质相关.因此，如果能够进一步地学习扩散理论，特别是了解Dynkin公式、Kolmogorov方程、Feymann-Kac公式等内容是大有裨益的.

将以上随机分析的核心知识要素稍做整理，最简单的学习主线是经由预备知识——布朗运动——随机积分——伊藤公式，可以借此大致了解随机分析最经典最核心的内容.进一步的学习有几种选择：一是可以学习现代的随机积分理论，即将积分子扩展到局部鞅甚至半鞅，这样带来的直接好处是可以考虑带跳过程的积分;一是学习随机微分方程、扩散理论、滤波理论、随机控制理论、最优停止理论，这样一旦结合金融数学、生物学、工程学、物理中的应用实例就可以迅速走上应用的前沿;一是在数学理论上进一步提升，研究随机微分方程理论、扩散理论、边值问题、滤子的扩张理论、多重Wiener-It积分理论等，这样可以进入到其他与随机分析关联的数学领域，如研究热核估计、大偏差原理、奇异摄动非线性滤波等.

四、结束语

近几十年来，随机分析已发展成现代数学的核心领域之一，与偏微分方程、调和分析、几何、拓扑、量子场论、统计力学等领域相互渗透、相互促动，在现代数学的研究和发展中书写了绚烂多彩的篇章.本文简要地介绍了五本经典教材，仔细地分析了它们的特点和适用对象，通过详细的对比分析试图总结出随机分析的核心知识框架和知识要素，希望可以帮助有志之士快速进入这一激动人心的领域，进而在数学、金融、网络、监测、生物、医学和图像处理等方面可以运用随机微分方程及其延展数学分支的理论和方法去分析和解决科学研究和工程技术中所遇到的实际问题.

【参考文献】

[1]史蒂文·E·施里夫.金融随机分析[M].上海：上海财经大学出版社，2008.

[2]厄克森达尔.随机微分方程导论与应用（第6版）[M].北京：科学出版社，2012.

[3]克莱巴纳.随机分析及应用[M].北京：人民邮电出版社，2008.

[4]Philip E.Protter.随机积分和微分方程：第2版[M].北京：世界图书出版公司，2008.

[5]钟开莱.随机积分导论（第2版，影印版）[M].北京：世界图书出版公司，2014.