关注数学教学过程 促进解题能力提升

袁源

[摘  要] 数学教学要以全面发展学生为目标，重视学生的兴趣和“双基”的培养，通过有效设问激发学生的探究热情，让学生在问题的指引下完成知识的系统化建构，进而培养思维的深度和广度，让学生真懂真会，促进解题能力全面提升.

[关键词] 兴趣;探究热情;解题能力

对于初入高中的学生来讲，学生的思维模式、学习模式受初中训练模式的影响还停留在机械模仿和机械记忆阶段，尤其对概念的学习更趋向于记忆. 与高中相比，初中数学知识较为简单，学生可以通过机械记忆和强化训练顺利完成学习任务;然进入高中后，单凭记忆而不关注知识的形成过程，就很难理清问题的来龙去脉，也就很难应对千变万化的高考题目. 因此，教学中教师要侧重加强理解性记忆，借助于情境引导、过程探究、有效设问培养思维的深刻性，促进解题效率提升.

趣味引入，激发热情

若数学教学中还延续“师讲生听”的教学模式，那么数学课堂必然是枯燥乏味、缺乏生机的，这样很难启发和培养学生的学习兴趣，久而久之，学生容易产生厌学情绪，不利于学生发展. 为了让学生感觉数学学习是一件有趣的、有意义的事情，教师在教学中可设计一些与生活紧密相连的趣味性问题来提升学生的参与性，激发学生的探究欲.

案例1 函数模型及其应用.

师：2014年，据齐鲁网报道，在山东梁山泊一带发现了千年莲子，这些莲子不仅已经发芽，而且部分已经生根. 关于千年莲子的传言也应运而生. 因大家对“梁山好汉”的印象深刻，联想到这些千年莲子应该就是梁山时期的产物，更有人说这些莲子就出土于宋江墓. 你认为这个可信吗？

生1：传言不可信，应该利用数学方法进行推理和运算.

师：确实，单凭想象而不通过推理的说法很难具有说服力.

师：为了估算出这些莲子的大概年份，考古学家采用放射性碳法，借助于碳14残余量（y）与时间（x）的函数关系式y=0.999879x进行推算. 由现存莲子的碳14残余量为87.9%，得0.879=0.999879x.

师：你们认为该如何计算？（学生积极运算很快有了答案）

师：很好，问题是否解决了呢？

生3：还没有，要验证是否与“梁山好汉”时期相符.

师：回顾一下历史，“梁山好汉”时期指哪个时期呢？

生齐声答：公元1119—1126年.

师：非常好，我们的学生各个知识渊博，现在验证一下是否相符呢？

生4：不相符，因为2014-1066=948？埸（1119，1126），所以莲子应是“梁上好汉”时期前的产物.

在教学过程中，教师巧妙地应用考古案例激发学生探究的欲望，引导学生利用数学模型这一有力的武器去验证真理，进而培养学生良好的思维习惯和科学意识，有利于数学素质的提升.

仔细推敲，夯实基础

为了让学生能够深化理解，在概念、公式等基础知识教学中，要重视知识内涵和外延的拓展，让学生从理解的层面去掌握新知，进而提高应用的灵活性和准确性.

案例2 函数的单调性.

学习函数的单调性前学生已经掌握了一次函数、二次函数等简单函数模型，在此基础上引入函数的单调性顺理成章. 由于学生在之前的学习中习惯从“形”的角度去理解和塑造函数模型，因此在单调性引入时教师也常常从“形”的角度出发，借助于“形”的直观让学生体会函数的单调性，从而抽象出函数单调性的概念. 这样的教学尊重学生的学习习惯，符合学生的认知，让学生学起来显得更加轻松. 然在学生应用概念解决问题时却发现，学生常常会忽视概念中的“任意”，因为缺乏对“任意性”的探究，影响了知识的迁移. 因此，教师在“形”上讲解后，也应重视“数”的回归，通过两者有机结合深化对概念的理解.

为了引导学生从“数”上理解函数单调性的定义，教师设计了如下题目让学生进行辨析，深化理解.

问题1：定义在R上的函数f（x）满足f（1）<f（2），则f（x）是R上的增函数.

问题2：定义在R上的函数f（x）满足f（1）<f（2），则f（x）在R上不是减函数.

问题3：定义在R上的函数f（x）在（-∞，0]上是增函数，在[0，+∞）上也是增函数，则f（x）在R上单调递增.

问题4：定义在R上的函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，在[0，+∞）上也是增函数，则f（x）在R上单调递增.

对于问题1，如f（x）=x，满足f（1）<f（2），但f（x）在（-∞，0]上遞减，在[0，+∞）上递增;对于问题2，假设f（x）在R上是减函数，则f（2）<f（1），这与已知相矛盾，因此问题2的命题成立;对于问题3和问题4，可以借助于函数图像去理解真假. 这样，借助于一些真假命题，引导学生借助于“形”深入地理解“数”，进而实现“数”的突破，准确地把握概念.

巧妙设问，深化理解

学生利用课堂所学内容解决课后习题时显得得心应手，然在面对后面较为复杂的综合题目时却找不到解题的突破口，究其原因，主要是缺乏学习深度和广度，没有真正理解内容，解题时常常照搬照抄原来的解题思路，当面对综合题目时，该方法往往失效，故解题效率难以提升. 为了增加学习深度、拓展学习广度，教学中可设计一些有效的问题，使学生的思维在问题的指引下走向更深处. 如何设问才更有效呢？笔者认为，设问需要找到一些关键点，如新知生成，新方法探究，题目难度分解，等等，通过设问降低问题的难度，拓展思维的宽度，促进学生提升能力.

1. 在知识的形成中设问

在日常概念、定理的教学中，部分教师感觉这些抽象出来的真理是可以直接采用的，对知识的生成过程常常视而不见. 学生因缺乏对过程的理解，使得他们在应用时显得过于僵硬，缺乏解题的灵活性，影响了解题效率的提升. 因此，教学中要让学生经历一些知识产生和发展的过程，从而培养思维的灵活性.

案例3 正弦定理.

问题1：如图1所示，在直角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，它们之间有什么关系呢？

问题2：如图2所示，锐角三角形ABC是否也有类似的关系呢？

问题3：若△ABC为钝角三角形呢？

按照问题2的探究思路，若△ABC为钝角三角形同样可以得出此结论. 这样，从特殊的三角形入手，通过对不同三角形的逐一探究引导学生推导出了正弦定理.

2. 在新方法探究中设问

对于同一个问题往往有不同的解决方法，为了寻找最优的解决方法往往需要接受一些新方法. 教学中不能简单地将解决方法灌输给学生，而应该让学生知道为什么这个方法是最优的，知晓应用该方法的优势及适用范围，切勿只记其果而未探其因使学生对新方法的理解和应用过于局限，影响学生的长远发展.

案例4 利用线性规划求值域.

问题1：函数值P能取到0吗？如果可以，此时的x，y分别是多少？是否唯一？

问题2：函数值P能取到1吗？如果可以，此时的x，y分别是多少？是否唯一？

问题4：结合上面的问题，你得到了什么？

在本题的讲解中，教师并未直接指导学生如何画可行域，而是通过多个问题引导学生自己发现、自己总结，从而使方法的得出显得更加理所当然，知识迁移自然流畅. 在问题的铺垫下，学生知晓函数值P可能对应着无数个x，y，而点（x，y）在直线y=-x+P上.

3. 在难点处设问

当学生遇到一些题设较抽象、较复杂的问题时，可以通过设问来分解难度，让思维由浅入深、螺旋上升.

为了降低题目的难度，消除学生的畏难情绪，教师在讲解前补充了如下几个问题：

问题1：常数c≥x对于1≤x≤5恒成立，求c的最小值.

问题2：常数c≥x+y对于1≤x≤5，1≤y≤5恒成立，求c的最小值.

问题3：常数c≥x+y对于圆x2+y2=1上任意一点恒成立，求c的最值.

总之，教师要发挥好设问的价值，带领学生理清问题的来龙去脉，进而有效避免简单的生搬硬套，帮助学生拓展和关联知识，使认知结构更加全面、系统，进而做到“真懂真会”，提高解题效率.