借助数学实验 促进思维发展

[摘  要] 文章以波利亚“实验教学”理论为背景，以几何绘图软件GeoGebra为教学工具，以绘制圆锥曲线为载体，开展实验教学，实现“玩中思”“思中做”“做中学”，培养“四能”能力，发展数学核心素养，促进可持续发展.

[关键词] 实验教学;GeoGebra;圆锥曲线

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《数学课程标准》）提出要将数学学科核心素养的培养贯穿教学活动的全过程. 在教学实践中，要不断探索和创新教学方式，鼓励并引导学生体验学习、合作学习，不仅重视如何教，更要重视如何学，引导学生学会数学学习，养成良好的学习习惯;要努力激发学生学习数学的兴趣，促使更多的学生热爱数学.

在“互联网+”时代，信息技术的广泛应用正在对数学教学产生深刻影响. 因此，在教学中，应重视信息技术与数学教学的深度融合，改进课堂教学，转变教学与学习方式，实现传统教学方式难以达到的效果.

问题提出

实验作为一门基础学科科学研究的基本方法之一，数学也需要实验. 著名数学家和数学教育家波利亚曾指出：数学有两个侧面，一方面，它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面来看，数学像是一门系统的演绎科学;另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学. 数学实验教学能够激发学生学习数学的兴趣，提高学生的思考能力，并在实验的过程中促进学生“自主探索和合作交流”的能力，提升学生的数学素质.

从教学过程的角度来看，数学实验不只为了让学生去“做”，还为了让学生去“思考”. 学生处在一种“数学研究”的位置上，通过观察、探究、操作，把感知、理解、体验融合为一体. 在已有经验的基础上，完成更复杂的思维加工过程，从而对数学学习内容进行深度加工，促进学生对数学概念、数学规律的深度理解.

在数学教学中开展数学实验活动，信息技术是学生学习和教师教学的重要辅助手段，几何绘图软件GeoGebra可以完成大量的初高中数学的绘图工作. 因此，在教学中，可以将软件GeoGebra与数学课程深度融合，开展数学实验活动，实现传统教学手段难以达到的效果.

圆锥曲线是高中解析几何课程的重要内容，也是高考考查的重点内容. 但是学生在这部分内容的得分并不高，很多学生见到这类问题就硬套韦达定理，重复大量的计算，不能将图形中的几何特征用代数方程表达出来. 而我们在讲授圆锥曲线时，都投入了大量的时间和精力，结果却是学生听得懂想不到、看着会做不对. 究其原因，主要是学生学习圆锥曲线时更多的是被动观察和机械操作，缺少思维的参与过程.

2020年11月，笔者参加了北京市第六届示范性高中同课异构活动，利用软件GeoGebra进行了实验教学，讲授的是“用交轨法绘制椭圆、双曲线、抛物线”一节课.通过备课、上课、评课及研讨，基于核心素养的培养，对本节教学内容进行了一些修改，较好地实现了学生经历知识的形成和发展过程.

前测试题

授课对象是北京市通州区一所普通中学的学生，这些学生的数学基础一般，数学运算能力比较薄弱，对圆锥曲线的定义以及圆锥曲线中代数与图形关系的转化的理解不到位. 学生初中时学习过一些简单的轨迹问题，具备一定的作图能力，高中在讲授椭圆、双曲线、抛物线时利用绳、拉链、三角板等工具通过机械作图方式绘制过它们的图形;另外，教材中有关于椭圆和双曲线作图的探究活动，已经提前布置给学生进行探究. 学生对使用软件GeoGebra进行学习有很高的兴趣和积极性，而且已经初步了解了软件GeoGebra，能根据需要进行简单操作.

为了进一步了解学生对基本尺规作图和椭圆、双曲线、抛物线定义的掌握情况，笔者设计了以下两个问题：

（1）圆锥曲线的定义：①椭圆的定义;②双曲线的定义;③抛物线的定义.

（2）基本尺规作圖：

①平面内，到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么？并作出图形.

②平面内，到一条定直线的距离等于定长的点的轨迹是什么？并作出图形.

③平面内，到两个定点的距离相等的点的轨迹是什么？如何作出线段AB的垂直平分线？并作出图形.

④平面内，到一个角的两边的距离相等的点的轨迹是什么？如何作出∠AOB的平分线？并作出图形.

尺规作图是手与脑的融合，是深层次的“做中学”，是学习几何的有效途径. 通过作图，学生实现把零散的概念和几何事实融会贯通，从而更加深刻地领会几何图形的特征及性质.

教学片段

1. 绘制抛物线

活动1：利用软件Geogebra通过尺规作图方法绘制抛物线，并说明作图的理由.

讲授新课时，利用直尺、细绳等工具通过机械作图绘制抛物线，学生很容易想到机械作图时利用线段的中垂线绘制抛物线的方法.

师：（如图1所示）你能说出这样作图的理由吗？

生：作到定直线l的距离与到定点F的距离相等的点P，首先作出直线l的垂线，垂足为A，连接AF;要满足PA=PF，即点P到两定点A，F的距离相等，则点P在线段AF的垂直平分线上.

师：点P的轨迹为什么是抛物线？

生：因为不论点A在定直线l上的任何位置，线段AF的垂直平分线上的点P到线段AF两端点的距离都相等，即始终满足PA=PF.

师：非常好，也就是把“到定点与到定直线的距离相等”转化成了“到定直线的距离”和“到定点的距离”两个步骤来完成.

师：到定点的距离还会让你想到什么图形？

生：圆.

师：很好，那么能否利用圆的性质作出抛物线呢？

生：（如图2所示）作出到定直线l的距离为定长AB的直线m，再以定点F为圆心，作出半径为AB的圆，圆与直线m的交点P的轨迹即为抛物线.

师：太好了！同学们，我们还知道角平分线上的点到角两边的距离相等，能否利用角平分线的性质作出抛物线呢？要先作出什么图形呢？（如图3所示）

生：需要一个角.

师：角的两边分别在哪儿？

生：定直线l就是一条边.

师：那另一条边没有怎么办？

生：过定点F作一条直线m和直线l相交就得到了一个角.

师：非常好，那么这个角的角平分线n就可以作出来了，如何再继续作出到定直线l的距离与到定点F的距离相等的点呢？

学生经过尝试得知：过定点F作直线m的垂线，与角平分线n的交点P即满足PF=d（d为点P到定直线l的距离），从而得到抛物线.

师：同学们太棒了！我们作出了到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹，你还有什么大胆的猜想和尝试吗？

生：到定点的距离与到定直线的距离不相等的点的轨迹又是什么图形呢？

2. 圆锥曲线定义的统一性

活动2：利用软件GeoGebra通过尺规作图绘制“到定点F的距离和到定直线l的距离之比不等于1”的图形，并说明作图理由.

师：由同学们作出的“到定点F的距离与到定直线l的距离之比为不同的值k”的图形，你可以发现什么结论？

生：当k>1时，轨迹为双曲线;当k=1时，轨迹为抛物线;0<k<1时，轨迹为椭圆.

师：这个结论是否正确呢？我们具体来操作一下.

利用软件GeoGebra动态演示“到定点F的距离与到定直线l的距离之比为k（k>0）的点的轨迹”. （如图6所示）

学生经历了从特殊到一般，再从一般到特殊的研究过程，使得圆锥曲线定义的统一性水到渠成. 学生经历了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，在这个过程中，思维得到了很好的锻炼与发展.

師：回忆刚才我们作图的过程，你能总结一下作图的方法吗？

生：在作图过程中，先作出到定直线的距离等于定长的点的轨迹，再作出到定点的距离等于定长的点的轨迹，这两个轨迹的交点的轨迹即为所要的图形.

实验效应

1. 数学实验使学生主动学习

《数学课程标准》提出“要转变教与学的方式”. 在数学实验活动中，教师的角色得到了改变，教师为学生设置实验题目，引导学生开展实验.学生通过实验操作，亲自体验数学、理解数学，使学生由接受性学习转变为探索性学习. 实践表明，实验教学能够创设良好的教学情境，使学生亲自体会到知识的形成过程，大大提高了学生学习的积极性.

2. 数学实验使学习更加直观

互联网、多媒体技术具有“思维可视化”的特点，能够给学生提供动态的演示，使得抽象的数学直观化，让学生将“看”和“学”更好地结合起来. 本节课打破了传统教学中由教师演示的模式，通过实验教学，让学生亲自利用GeoGebra软件绘制图形，亲自感受椭圆、双曲线、抛物线的形成过程，很好地突破了圆锥曲线定义这一难点，也实现了数和形的完美结合.

3. 数学实验使思维能力提高

在高中数学教学中，数学实验有利于学生从“被动”走向“主动”，从“结果”走向“过程”. 本节课在作图过程中对数学知识进行了深度加工，促进学生深度理解数学概念、数学规律，通过实验将“做”与“思”联系起来，让学生“玩中思”“思中做”“做中学”，用实验燃爆数学课堂，用实验培育数学核心素养.？摇

基金项目：北京市教育科学“十三五”规划2019年度一般课题《在问题情境教学中培养学生数学核心素养的实践研究》（立项编号：CDDB19281）.主持人：田雪.

作者简介：田雪（1982—），本科学历，中学高级教师，主要从事高中数学教学工作，曾获北京市通州区骨干教师、北京市通州区“运河计划”领军人才等荣誉.