数学教学智慧：文化传统、概念理解与现实意义

摘要：中国传统数学教学智慧是中国文化在数学教学中的投射，主要体现在注重启发、变式教学、精讲多练、强调趣味等方面。基于中国传统数学教学智慧、数学学科育人宗旨和PCK理论的考量，将数学教学智慧界定为教师遵循学生数学学习规律，对所教数学知识进行适当地加工，促进学生数学素养发展的能力。落实学科育人宗旨、促进学生数学的适合发展、让教师获得职业幸福是其主要的现实意义。

关键词：数学教学;教学智慧;教学文化;学科育人

中图分类号：G424 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2022）05A-0003-06

中国有三千多年的数学教育史，培养出许多杰出的数学家，创造了辉煌灿烂的数学文化，逐步形成了闪烁着智慧光芒的数学教学思想和方法。数学教学智慧是中国智慧文化在数学教学上的体现，深入探讨其文化传统，对其概念进行理解与界定，对于当前发展学生数学核心素养、实现学科育人的宗旨，具有积极而现实的意义。

一、数学教学智慧的文化传统

（一）中国深厚的教学智慧文化

中国是一个尊师重教、“教”文化深厚的国家，有教无类、教无定法、因材施教、无言之教、身教胜于言教等关于“教”的方法我们耳熟能详。从教师地位的重要性到教学对象的广泛性，再到教学方式方法的丰富性，凸显的都是“教”。可以说，教是中国传统教育话语中使用最多的词语之一。陶行知先生对此曾如是说：“现在的人叫在学校里做先生的为教员，叫他所做的事体为教书，叫他所用的法子为教授法，好像先生是专门教学生些书本知识的人。他似乎除了教以外，便没有别的本领，除书之外，便没有别的事教，而在这种学校里的学生除了受教之外，也没有别的功课。”[1]

中华民族是一个崇尚智慧的民族。智慧若水，逢方则方，遇圆则圆，随形而变，因势而动。润泽万物而始终处下，虽至柔而无坚不摧。当这种智慧体现于教学活动就形成了独具东方韵味的教学智慧。既然有教无类，那教学方式就须不同。学生的禀赋各异，就要采用适合他们的方法施教。面对教学对象、内容和目标的不同，教师既要使用言语之教，也要有不言而喻的无言之教，而身教胜于言教则表明了榜样力量的巨大。真所谓教学有法，但无定法，贵在得法。无法之法，乃为至法，运用之妙存乎一心。

（二）中国古代数学教学智慧

中国传统数学教学智慧是中国传统教学智慧在数学教学上的反映与应用，其中注重启发、变式教学、精讲多练、强调趣味是较为突出的方面。

首先，注重启发式教学。《周髀算经》记载了一个教学案例：

荣方问于陈子：“今者窃闻夫子之道，知日之高大，光之所照，……子之道皆能知之，其信有之乎？”陈子曰：“然。”

荣方曰：“方虽不省，愿夫子幸而说之。今若方者，可教此道邪？”陈子曰：“然。此皆算术之所及，子之于算，足以知此矣。若诚累思之。”

于是荣方归而思之，数日不能得。复见陈子曰：“方思之不能得，敢请问之。”陈子曰：“思之未熟。……吾岂以道隐子哉！固复熟思之。”

荣方复归，思之数日不能得。复见陈子曰：“方思之以精熟矣，智有所不及，而神有所穷知，不能得。愿终请说之。”陈子曰：“复坐，吾语汝。”

荣方与陈子的对话生动地呈现了启发式教学样态，师生间平等的对话讨论足可媲美古希腊苏格拉底几何教学的“产婆术”。数学之学，首在思维。思维发展关键在于自主，所以，“凡教之道，不愤不启，不悱不发。愤之，悱之，然后启发。举一隅，使反之以三也”[2]。

其次，善用变式教学。中国数学教师在教学中常常会引入变式以提高学生的参与度，为学生提供学习的脚手架，从而提高学习成功率。教师所用变式包含“概念性变式”和“过程性变式”两种情况[3]。概念性变式是对数学概念进行多角度展现，通过非本质属性和本质属性的比较让学生理解概念本质。过程性变式是在问题解决教学中，教师为学生提供复杂度较低而与要解决问题具有相同（或部分相同）数量关系的问题，助力学生思考，使其解决问题。

再次，强调精讲多练。第一，讲的内容要精，即紧扣目标，突出重点、突破难点;第二，方法要恰当，既符合学生实际情况，又遵循教学規律，还能够随机应变;第三，语言要精练，既能激疑引思，又能提纲挈领。多练并不是一味地搞题海战术，而是教师在充分研究学情和学习任务的基础上设计出富有效能的习题，通过一定量的练习达到熟能生巧的目的。

精讲多练以教师精心备课为前提，教师须吃透两头——教材和学生。要掌握教材体系，深刻理解每课教学内容。对学生的了解要深入，知道他们已知什么，学习困难在哪儿，何处要重点讲练，如何进行拓展等。精讲多练要关注一题多解和多题一解。前者有利于学生数学知识的相互联系，有助于求异思维和发散思维的发展;后者有利于学生解题策略的形成，促进知识迁移能力的发展。

最后，增强学习趣味。在游戏中学习和运用歌诀是中国数学教学的一种传统。古人根据小孩子年龄特点设计了丰富多样的数学游戏以增强其兴趣，诱发思维。数学游戏可以分为两类：一类以发展空间观念为主，如七巧板、华容道、九连环、孔明锁、鲁班球、折纸、翻花绳等;另一类是数字游戏，如算24点、九宫格、拿三堆、打纸牌等，主要培养学生运算能力和对策思维。

古人认为牢记可以通向理解，所以常常把一些数学问题编成有节奏、押韵的句子——数学歌诀，以便于教学和记忆。中国最早的数学歌诀出现在《周髀算经》中，宋元之际的杨辉和朱世杰的著作中也出现不少，至明代程大位的《算法统宗》达到炉火纯青的境界。数学歌诀展现了中国古代数学家的浪漫气质和艺术才华[4]，对数学教学影响深远。现在许多数学歌诀大家都还耳熟能详，如乘法口诀、九宫格口诀等。歌诀运用已深入中国数学教学的血脉，今天许多数学老师仍在使用。例如，教学《角的度量》时，有“中心对顶点，零线对一边。先看内外圈，再看另一边”。教学“凑十法”时会说“看大数，分小数。凑成十，加余数”，等等。

（三）当代中国繁荣的教学研究

沿袭教的传统，中华人民共和国成立以后的教学法研究非常盛行，以2001年第八次课改为界可分为前后两个阶段。

课改以前的教学法研究主要集中在两个方面：一是探索新的教学思想、教和学的关系、教学内容、教学方法与手段、教学组织与结构等;二是开展教学实验，力图在教学理论指导下，解决教学中存在的诸多問题，全面提高教育教学质量。后者尤为火热，出现“实验范围广泛、实验层次多样、实验类型各异、实验团体建立”的盛况[5]。就数学教学研究而言，有中科院心理研究所的“教为主导，学为主体”自学辅导推广实验，顾泠沅小组的“尝试指导，效果回授”实验，魏书生的“方法比事实更重要”培养学生自学能力的探索，马芯兰的“优化教材结构，加强能力培养”小学数学教学改革实验[6]，黎世法六因素单元教学法，邱学华“先试后导，先练后讲”尝试教学法[7]，等等。

这些研究基于或极力寻求教学理论的支撑，都归纳或建构出一套操作性很强的流程，从某种意义上可视为教学模式的研究。事实上，从1994年到2006年教学模式研究发展迅猛，受到广泛、深入的关注[8]。

2001年教育部颁发《基础教育课程改革纲要（试行）》，开始了新课改。在“改变课程内容‘繁、难、偏、旧’的现状”的同时，要求“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及交流与合作的能力。”

课改的前期采取自上而下的推进模式，将国外许多教学理论和观点（特别是建构主义）引进中国。就数学教育而言，“大众数学”、人本主义教育思想、数学教育的“个性化”、数学教学的“生活化”、数学学习的“活动化”成为一种潮流。随着改革的推进，各种问题逐步显现，大家认识到，我们不应采取简单的“拿来主义”，而应认真研究先进国家所倡导的各种教学方法是否真正适应中国的文化传统与社会环境。或者说，从外部引入某种教学方法并进行大规模的推广应用前，我们应当先花大力气去弄清这一方法的基本特征及其主要优缺点，再通过必要的调整与发展使之真正适合自己的国情。……在教学方法的改革上，我们应给教师的创造性劳动留下更大的空间，并应充分尊重教师自己的选择[9]。

二、数学教学智慧的概念理解

“数学教学智慧”一词常被提及但缺少界定与深入研究。例如，代钦在《数学通报》撰文《中国的传统数学教学智慧》[10]，《人民教育》曾刊发黄爱华题为《数学教学智慧》的文章[11]，他们都没有对“数学教学智慧”进行概念界定。

（一）“数学教学智慧”概念界定的考量因素

当前对“数学教学智慧”概念的界定需要考量三个方面的内容：

一是当前数学教学改革的实践和目标。一方面，第八次课改倡导“自主、合作和探究”的学习方式，使课堂的生成性逐渐加强，由此催生了“教学智慧”以及与其相近的概念——“教育智慧”“教学机智”“智慧型教师”等。另一方面，新课程提出“要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”这实际上是中国传统因材施教的观点在当前数学教学上的新表达，其实现离不开数学教学智慧。

二是要基于中国传统的数学教学智慧文化。意大利历史学家克罗齐说过，当生活的发展需要时，死历史就会复活，过去史就变成现在的。现在对我们沉默不语的历史，将依次被新生活的光辉耀照，将重新开口说话[12]。从中国数学教学智慧文化传统看，启发有助于调动学生思维积极性，而变式则为思维的攀登提供了脚手架。精讲多练注重数学知识和技能的掌握，在游戏中学习和运用歌诀则是为了消除数学知识高度抽象性和逻辑严密性给学习者所带来的枯燥乏味感，增强其学习的兴趣。我们从中不难概括出传统数学教学智慧的要点，即要根据学生数学学习需要进行适学化的加工。

三是国际数学教学的发展趋势。20世纪80年代，国际教师研究热点转向了教学实践。舒尔曼的学科教学知识（Pedagogical Content Knowledge，简称PCK）、埃巴斯的实践知识、舍恩的反思性实践者概念相继提出[13]。其中PCK影响尤为广泛。

舒尔曼认为PCK是教师的学科知识与教育学知识结合而形成的综合性知识，是知道如何根据学习者的不同兴趣和能力将特定主题、问题和事件组织起来，以教学的方式加以呈现的知识。具体包含使用恰当的类比、说明、举例、解释、示范等方式来呈现学科内容，知道学生理解的难易点等。

PCK揭示了教师专业知识的核心所在，是区分学科教师与学科专家的知识之一。例如，数学家和数学教师都掌握数学知识，但是两者有着根本的区别。数学家的数学知识是用来进行数学研究和新探索的依据，而数学教师的数学知识则是用来对学生进行教学的内容材料，必须经过“心理学化”才能为学生所理解。PCK还是区分经验教师与新手教师的知识之一，是使教师教学最有效的知识。新手教师虽有学科知识，但却因缺乏对其进行有效的组织、调整与呈现的能力，而不能在教学中成功运用。PCK发展较好的专家教师能从多个角度看到大局，从而能更加地灵活选择适合主题的教学方法。进一步的研究表明，教师PCK发展水平与学生理解之间有着密切的联系[14]。

（二）数学教学智慧概念界定与理解

基于上述考量因素分析，我们试做如下界定：数学教学智慧是教师遵循学生数学学习规律，对所教学数学知识进行适学化加工，促进学生数学素养发展的能力。其中加工行为主要指对知识内容进行改造和重组、情景化、多元表征（动作、图示、表象、符号）、变式和类比等。这种能力不是某种单一能力，而是一种高级的综合能力。它是教师整合了知识、经验、情感和信念等多种因素之后，融通而成的一种实践智慧，是为了实现正当的目的而实施恰当行为的能力。

从教学工作过程看，教师的加工转化行为可以分为两个相继进行的阶段，即教学设计阶段和现场执教阶段。相应地，数学教学智慧表现为教学设计智谋和现场调适机智两种形式。前者是教师秉持促进学生适合发展的教学理念，在充分了解学生学业水平和认知特点的基础上，对教学的目标、方法、流程、媒介等进行预设的智慧和谋略。后者是教师将预设计划实施，在遭遇到新情况时及时地进行调整以适应学生需要的机智。它不仅仅表现为一种被动的“救失”行为，还可以表现为一种主动的创新行为，即根据教学现场的状况，灵机一动，主动出击，创造出更美好的局面。

三、数学教学智慧的现实意义

（一）数学教学智慧是数学学科育人的需要

学科育人是落实立德树人根本任务的学科切入口和实现方式，是学科教学智慧的宗旨。数学学科育人就是从数学学科的性质、地位、任务出发，体现学科的特质，实现数学学科特殊的育人功能。具体而言，教师要在对数学知识及其育人价值深刻理解的基础上，创造性地设计和实施具体的教学活动，促进学生数学核心素养——包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等方面的发展。数学学科育人超越了单纯的数学双基教学和学生思维发展的教学行为，也不是借助数学知识教学对学生进行简单化的思想品德的说教。它指向学生个体全部精神世界——数学知识、情感、态度和价值观诸方面浑然一体的发展，是为了获得终身发展和社会发展所需要的关键能力和必备品格。显然，要圆满完成这一任务，教师光有数学学科教学知识和能力是不够的，需要教师将数学教学知识与良好的情感、正确的价值观熔炼而成数学学科教学智慧方能胜任。

（二）数学教学智慧让学生得到适合的数学发展

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》提出“尊重教育规律和学生身心发展规律，为每个学生提供适合的教育”。2011版《义务教育数学课程标准》“课程基本理念”也指出，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。让每一个学生在数学上得到适合自己的发展，是新时代数学教学应该努力实现的目标，其实现需要教师的数学学科教学智慧。

首先，教师要能够在现行的班级授课制条件下兼顾每一个学生的学习需要，因材施教。即能根据学生的文化背景、认知风格、学业水平和情绪状态等方面的差异，设置多样化的教学目标，提供丰富饱满的教学内容，创设疑趣情境，激发学生主动思考的积极性。在为学生提供充分自主的学习空间的情况下，能够根据现场学生学习的具体情况进行差异化的指导。其次，教师能够根据教学现场的各种生成和变化，随机应变，因势利导。既要避免不良后果的产生，还要能够将不利的局面化为积极的因素，使课堂朝着更为美好的方向发展。

（三）数学教学智慧让教师职业生活更加幸福

无论从数学知识应用的广泛性、学生数学学业成绩的重要性，还是数学素养于人的发展的重要性来看，数学教师的社会地位在教师中都是较高的。然而数学知识的高度抽象性和逻辑严密性又使其成为学习难度最大的学科，给一线数学教师带来了较大的工作压力。这一问题的解决需要社会各方协力共为，其根本之道还在于教师教学智慧的发展。富有数学教学智慧的教师的教学效能更高，不仅能胜任教学工作，而且能使学生的学业水平更高，从而赢得学生和家长的更多信任和尊重。富有数学教学智慧的教师还具有敏锐感受、准确判断生成和变动过程中可能出现的新情势和新问题的能力，具有把握教育教学时机、处理复杂问题和矛盾的机智，还具有使学生积极投入学校生活、热爱学习、勇于创造、乐于和他人友好相处、能够敞开心扉与他人进行心灵对话的魅力。教师的教学智慧使他的教学工作乃至教育生活达到科学与艺术相结合的境界，不仅形成了自己独特的教学风格，还充分展现了教学活动的迷人魅力。此时，数学课堂不仅是工作的场所，更是享受教书育人的幸福的地方。

参考文献：

[1]陶行知.陶行知教育名篇[M].北京：教育科学出版社，2005：1.

[2]代钦，松宫哲夫.数学教育史——文化视野下的中国数学教育[M].北京：北京师范大学出版社，2011：82-84.

[3]鲍建生，黄荣金，易凌峰，等.变式教学研究（续）[J].数学教学，2003（2）：6-10.

[4]范良火，黄毅英，蔡金法，等.华人如何学习数学[M].南京：江苏教育出版社，2005：21.

[5]定仁，徐继存.教学论研究二十年（1979～1999）[M].北京：人民教育出版社，2001：481.

[6]李建刚.现代教学的理论与实践[M].济南：山东教育出版社，1993：527.

[7]邱学华.尝试、开拓、创新[M].海口：海南出版社，1998：序言.

[8]曹一鸣.中国数学课堂教学模式及其发展研究[M].北京：北京师范大学出版社，2007：16.

[9]郑毓信.国际视野下的小学数学教育[M].北京：人民教育出版社，2003：187.

[10]代钦.中国的传统数学教学智慧[J].数学通报，2012（8）：1.

[11]黄爱华，胡爱民.数学教学智慧[J].人民教育，2007（21）：32.

[12]克罗齐.作为思想和行动的历史[M].田时纲，译.北京：中国社会科学出版社，2005：4.

[13]古铁雷斯，伯拉.数学教育心理学研究手册——过去、现在与未来[M].徐文彬，喻平，孙玲，译.桂林：广西师范大学出版社，2009：521.

[14]廖錫元.PCK——使教学最有效的知识[J].教师教育研究，2005（11）：38.

责任编辑：赵赟

*本文系国家社会科学基金“十三五”规划2019年度教育学一般课题“新中国成立70年小学数学教育发展史研究”（BOA190223）的阶段研究成果。

收稿日期：2022-03-09

作者简介：王九红，南京市天正小学，正高级教师，博士，江苏省特级教师，主要研究方向为数学课程与教学论。