函数问题中常见的转化思想

广东惠州市惠阳区第一中学高中部（516000） 刘锦浓

函数是高中数学的基础，它知识点多，覆盖面广，综合性强，很容易与其他知识建立联系。解决函数问题所需的转化思想是重要的数学思维策略，它在数学解题中应用广泛。运用转化思想可以将陌生变为熟悉，将复杂变为简单，将抽象变为直观，从而有效解决问题。本文主要探讨函数问题中常见的转化思想。

一、数与形的转化

数形结合，实质上就是将抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转化。

（一）以形助数

［例1］设方程log3x+x-3=0的根为x1，方程3x+x-3=0的根为x2，求x1+x2的值。

分析：本题若直接解出x1，x2的值，再求x1+x2是不现实的。观察两个方程发现，y=log3x与y=3x互 为反函数，可利用反函数的图像关于直线y=x对称的性质，辅以图像解题。

解：将原方程化为log3x=3-x，3x=3-x，方程log3x+x-3=0 的根为x1，实质上是函数y=log3x与y=3-x图像的交点的横坐标；方程3x+x-3=0 的根为x2，实质上是函数y=3x与y=3-x图像的交点的横坐标。如图1，设其交点分别为A、B，函数y=x与y=3-x图像的交点为P。

图1

因为y=x与y=3-x垂直，且函数y=log3x与y=3x的图像关于直线y=x对称，所以点A、B关于点P对称，易得，所以x1+x2=3。

评析：本题主要是把方程转化为函数的图像相交求解。由图形分析数量间的本质联系，解决数学问题时能做到快、准，解题往往事半功倍。

（二）以数助形

［例2］如图2，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形。记∠COP=α，当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。

图2

分析：要求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大，可分两步进行：（1）找出矩形ABCD的面积S与α之间的函数关系；（2）由函数关系，求S的最大值。

解：在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，

评析：本题主要是把几何问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的配角公式转化为形如y=Asin(wx+φ)的函数求解，进而实现以数解形。

二、函数与方程的转化

（一）利用函数解方程题

在解一些高次方程、无理方程或超越方程时，直接解题难度比较大，可以考虑构造函数，把方程问题转化为函数问题，再利用函数的单调性、奇偶性等解题。

［例3］在实数范围内解方程(5x+3)3+x3+6x+3=0。

分析：这是一个高次方程，如果先去括号后移项再化简，会十分麻烦。但若不展开，而直接把（5x+3)看成一个整体，则可把复杂的高次方程问题转化为简单的方程问题，再利用函数的单调性，就很容易求得原方程的解。

解：原方程可等价转化为(5x+3)3+(5x+3)=-(x3+x)，即(5x+3)3+(5x+3)=(-x)3+(-x)，

设函数f(x)=x3+x，则f(x)为奇函数，且在实数集上是单调递增函数。这时原方程又可等价转化为f(5x+3)=f(-x)。由函数的单调性可知5x+3=-x，∴x=-即原方程的实数解为x=-

评析：函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简。

（二）利用方程解函数题

在求解函数性质（如值域）时，可把函数问题转化为方程问题，再利用方程有解的条件解题。

［例4］求函数y=的值域。

分析：可将函数转化为含有参数y的关于x的一元二次方程，再利用判别式法求解。

解：由y=得yx2-(y+1)x+y=0，这是一个关于x的一元二次方程。

当y=0时，解得x=0，方程有解；

当y≠0 时，为使关于x的一元二次方程有解，必须令Δ=(y+1)2-4y2≥0，解得≤y≤1(y≠0)。综合可得函数的值域是

［例5］已知数列{an}满足a1=33，an+1-an=2n，则的最小值为______________。

解析：∵an+1-an=2n，∴当n≥2 时，an-an-1=2(n-1)，

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(2n-2)+(2n-4)+…+2+33=n2-n+33(n≥2)，

又a1=33=1-1+33，故a1满足上式，

评析：函数思想与方程思想是密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决。如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点；又如求方程f(x)=g(x)的解的问题可以转化为函数y=f(x)与y=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴的交点问题。

三、常量与变量的转化

在有些数学问题中涉及多个变量，而从正面由常量求解变量较难，对此可选择把某些变量看作常量，减少变量的个数，再列出剩余变量的关系式，从而简化运算。

［例6］已知实数x、y满足x2-3xy+y2=2，则x2+y2的取值范围是______________。

分析：本题有x，y两个变量，且题设与结论是关于x，y的对称式，故可以x为主变量，令y=x+t，其中x，t为常量，列出变量x的关系式解题。

解：令y=x+t，

由x2-3xy+y2=2得x2-3x(x+t)+(x+t)2=2，

化简得：x2+xt+2-t2=0，即x2+xt=t2-2，

∵x∈R，∴Δ=t2-4(2-t2)≥0，解得t2≥

∴x2+y2=x2+(x+t)2=2x2+2tx+t2=2(t2-2)+t2=3t2-4 ≥

∴x2+y2的取值范围是

四、特殊与一般的转化

（一）特殊化法

利用特殊情况，如特殊值、特殊位置、特殊函数等，可求解一般化问题。

［例7］当x-y=1 时，x4-xy3-x3y-3x2y+3xy2+y4的值是_________。

解析：本题如果用传统解法，由x-y=1得x=1+y再代入原式，运算量大，不可取。把原式化成含x-y的形式，再用x-y=1整体代入，还是较烦琐。若根据题型特点，取特殊值x=1，y=0代入原式即得所求值是1。

（二）一般化法

［例8］已知f(x)=，求f(-5)+f(-4)+…+f(4)+f(5)的值。

分析：本题若逐项求值比较困难，因为自变量的值（除0 外）都是互为相反数，所以不妨从相反数入手，观察f(x)与f(-x)的一般关系。

五、特定模型的转化

转化思想并不只是在函数范围内应用，在整个高中数学中也经常用来解决一些知识内容陌生、题意复杂难懂或者计算量比较大等不容易处理的问题。灵活多变的转化技巧，往往能够简化运算，降低问题难度。一些特定问题，如求取值范围，经常可以转化为一元二次函数、三角函数、基本不等式、对勾函数等，再利用函数性质、运算规则等进行求解。

［例9］如图3，已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的短轴长为2，过下焦点且与x轴平行的弦长为

图3

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若A、B分别为椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx(k) ＞0 与椭圆C相交于M、N两点，求四边形AMBN的面积的最大值及此时k的值。

解：（1）x2=1；过程略。

（2）易知点A(1,0)，B直线AB的方程为

当然，在解一道函数题时并非仅应用一种转化思想，有时需要配合应用几种转化思想，如例1 中，是先把方程转化为函数，再转化为图像解题。函数问题中的转化思想也不限于上述几种。在实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把陌生问题转化为熟悉问题来处理，或者将复杂的问题转化为简单的问题，或者将难以解决的、比较抽象的问题转化为易于解决的、比较直观的问题。按照这些原则进行转化，省时省力，犹如顺水推舟。在解题教学中，教师经常渗透转化思想，可以提高学生的解题能力和解题效率。