几何距离公式的推理与应用

四川师范大学数学科学学院（610068） 勾艺茹

四川省阿坝州茂县中学（623200） 李述芬

四川师范大学数学科学学院（610068） 邵 利

一、引言

几何中最基础的元素为“点”，“点”运动成“线”，“线”运动成“面”，“面”运动成“体”。按空间维度，几何可归纳为从“点”出发到一维的“线”，再从一维的“线”到二维的“面”，接着从二维的“面”到三维的“体”三类。以上变化可谓是环环相扣。数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系则是按照空间维度的顺序展开的。本文从低维进阶到高维空间的视角介绍几何距离相关公式的推导与应用。

二、几何距离公式

几何中点、线、面三者之间的距离公式按排列组合方式进行分类，有点与点、点与线、点与面、线与线、线与面、面与面六种类型（注：线、面等相关距离问题，需要平行关系才有意义）。其中最基础的类型为点与点、点与线、点与面。

（一）两点的距离公式

数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系中的两点的距离公式见表1。

表1 两点的距离公式

续表

（二）“一生二”——由两点的距离公式到点到直线的距离公式

（1）定义：过点作目标直线的垂线，这点到垂足的距离。

设直线l的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（x0,y0)，则点P到直线l的距离

（2）公式推导：

如图1所示，过点P作直线l的垂线，垂足为M。

图1

将②两边同时减去Ax1+By1+C，得

将①③式两边分别平方，得

（三）“二生三”——由点到直线的距离公式到点到面的距离公式

高中教材在平面解析几何中涉及点到直线的距离公式，此公式为点到直线的距离求解提供了便利。然而对于立体几何中点到平面的距离公式，教材未给出相应的内容。

（1）公式猜想

【点到线的距离】设直线l的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（x0,y0)，则点P到直线l的距离

【点到面的距离】设平面α的方程式为Ax+By+Cz+D=0，点P的坐标为（x0,y0,z0)，则点P到平面α的距离d=

（2）公式推导

前提：在点到面的距离公式推导过程中，均要用到平面法向量，因此先对平面法向量进行说明。

设（x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)为平面内任意两个点，由点在面上得：

由⑥-⑦得

A(x1-x2)+B(y1-y2)+C(z1-z2)=0，

即(A,B,C)·(x1-x2,y1-y2,z1-z2)=0。

图2

图3

（3）学以致用

下面利用点到面的距离公式，解决立体几何距离问题以及一类不等式问题。

［例1］（点面距离）如图4，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E,M,N分别是BC,BB1，A1D的中点。求点C到平面C1DE的距离。

图4

分析：求点到平面的距离，需要知道点的坐标以及平面方程。首先建立直角坐标系，其次通过C1，D，E三点确定平面C1DE的方程，最后将点与平面数据代入公式求解距离。

解答：如图4，四边形ABCD为菱形，则连接AC、BD交点为O，且AC⊥BD。以点O为原点建立空间直角坐标系O-xyz。

∵AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E是BC的中点。∴B(1,0,0)，D(-1,0,0)，C

设平面C1DE的方程式为：ax+by+cz+d=0，

［例2］（面面距离）已知平面α：2x+3y+z+5=0，平面β：2x+3y+z+18=0。求两平面的距离。

分析：求解两平面之间的距离，可以转化为求解一平面上的一点到另一平面的距离，因此，在平面α找一点P，求点P到平面β的距离。

解答：设P(x0,y0,z0)为平面α上的一点，则满足2x0+3y0+z0+5=0，P到平面β的距离为

两平面的距离求解公式：

平面α：Ax+By+Cz+D1=0，平面β：Ax+By+Cz+D2=0，平面α与平面β的距离为

［例3］设x,y,z∈R，且x+y+z=1。

（1）求（x-1)2+（y+1)2+（z+1)2的最小值。

（2）（x-2)2+（y-1)2+（z-a)2≥证明：a≤-3或a≥-1。

分析：将题干与问题进行转化。

已知平面x+y+z-1=0，第（1）问求平面外一点（1,-1,-1)到平面的距离的平方；

第（2）问要求证明点（2,1,a)到平面的距离的平方为时，a的范围为a≤-3或a≥-1。

解 答：（1）设平面α为x+y+z-1=0，点P(1,-1,-1)为平面外一点，则点P到平面α的距离的平方为

（2）设平面α为x+y+z-1=0，点Q（2,1,a)为平面外一点，点Q到平面α距离的平方最小值为则-3 或a≥-1。

三、小结

正如《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”，几何也秉承着一定的逻辑不断衍生变化。学生在学习几何时可采用先观察、再猜想、最后证明的方式抓住其中的逻辑规律，借助相似性展开联想，进行迁移，发展直观想象核心素养。