圆锥曲线内接四边形的又一个新性质

湖北省大冶市第一中学 (435100) 徐国辉 舒红霞

文[1]给出了圆锥曲线内接四边形如下的新性质.

性质1 已知四边形ABCD是抛物线y2=2px的内接四边形，则kAB+kCD=0⟺kBC+kDA=0⟺kAC+kBD=0.

性质2 已知四边形ABCD是圆锥曲线mx2+ny2=1(mn≠0)的内接四边形，则kAB+kCD=0⟺kBC+kDA=0⟺kAC+kBD=0.

文[2]给出了性质1与性质2的简单证明及圆锥曲线内接四边形的一个类似性质.笔者经过探究，发现了圆锥曲线内接四边形的又一个新性质.

证明：设四边形ABCD是圆锥曲线mx2+ny2=1(mn≠0)的内接四边形，设直线AB,CD的方程分别为y=k1x+b1，y=k2x+b2，直线AC,BD的方程分别为y=k3x+b3和y=k4x+b4，则A,B,C,D同在由AB,CD生成的二次曲线(y-k1x-b1(y-k2x-b2=0和由AC,BD生成的二次曲线(y-k3x-b3·(y-k4x-b4=0上，又因A,B,C,D是圆锥曲线mx2+ny2=1(mn≠0)上的四点，因而存在μ，ν(μ≠0，ν≠0)，使得μ(y-k1x-b1)(y-k2x-b2)+ν(y-k3x-b3)(y-k4x-b4)=mx2+ny2-1.

在性质3中，当四边形退化为三角形时有如下性质.

限于篇幅只证明性质5(2).