广义模糊函数空间的收敛性质

杨寒彪，文钊颖，林文辉

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

1 引言及预备知识

设 （P, ≤ ） 是一个偏序集，且d 是P 中的一个度量. 如果由d 导出的拓扑与 （P, ≤ ） 上的区间拓扑一致，我们称（P, ≤ ,d）为偏序度量空间，视紧度量偏序空间（P, ≤,d）为一种广义的单元空间.

对于紧度量空间（X ,d ）以及空间（P, ≤ ,d），我们视由X 到P 的连续函数为广义模糊函数，用C （X , P ） 表示由X 到P 的所有广义模糊连续函数集合全体. 对于任意 f ∈C （X , P） ，令 ↓ f= ｛ （ x ,p）∈X × P :p ≤ f （ x ）｝ ，称其为 f 的超图. 那么， ↓ C （X ,T ） = ｛↓ f :f 是 从 X 到T 的连 续函 数 ｝ 可视为广义模糊函数空间. 设 C ld （X × P）为X × P中带有Hausdorff度量的所有非空闭集的全体，即对于A, B ∈ C ld（X × P），dH（A,B ） = m in ｛δ: A ⊂Bd（B , δ）,B ⊂Bd（A,δ）｝ ， 其 中 d （（ x , p ） , （x ′ , p ′ ）） = m ax ｛ d （x , x ′ ） ,d （p , p ′）｝. 那 么（Cld （ X × P ）, dH）是紧度量空间. 对于一个拓扑空间X （不一定是紧的或可度量的）和一个拓扑偏序集P，假设τ 是 C ld （X × P）中的一个拓扑， A 是一个从X 到P 的所有映射之集的子集，且对于任意f ∈ A都满足 ↓ f ∈ C ld （X × P）. 由 （ Cld（X × P ）,τ）的子空间，我们可以得到一个函数空间 ↓ Aτ.

许多文章研究过空间 ↓ Aτ，见文献[1-9]. 特别地，文献[4]给出了具有Fell拓扑的所有连续映射↓ CF（X ,ℝ ）可度量化的充要条件，其中ℝ 是用通常拓扑和序设置的实数集. 此外，许多论文在不同情况下使用无限维拓扑工具，以确定这些空间的拓扑结构. 例如，知名的Curtis-Schori-West超空间定理提到 ↓ USC （X , ｛ 0 ,1｝ ｛0 ｝） 同胚于Hilbert立方体 Q = ［ -1 ,1］ω（用 ↓ USC （X , ｛ 0 ,1｝ ｛0 ｝） ≈ Q 表示）当d H d H且仅当X 是一个非退化的Peano连续统，其中 ｛ 0,1｝ 是具有离散拓扑的两点集且0 ≤ 1，USC （X , ｛0 ,1｝）是从 X 到 ｛ 0,1｝ 的所有上半连续映射的集合以及0是常值0映射，参见文献[10]和[11，定理8.4.5]. 文献[12]证明了↓USCF（X , ｛0 ,1｝）≈ Q 当且仅当X 是一个局部紧、局部连通以及没有紧分量的可分的度量空间.文献[13-17]给出了所有度量函数空间 ↓ CF（ X,I ） 的拓扑分类，其中X 是可度量的，且 I= ［ 0,1］具有通常拓扑和序. 文献[18]证明了对于每一个非退化的Peano连续统X 以及每一个具有n 个枝（或n 条边）｛S1, S2, …, Sn｝ 的 有 限 树T ， 都 有 ↓ C （X , （ T , ≤ ））≈ ⊕in=1↓ C UB （ Si） ， 其 中 CUB （ Si）= ｛ f ∈ C （X , T ）:max f （ X） ∈Si｝. 此外，每个 ↓ C UB （ Si）都是可缩的空间.

显然，对于任意 v1,v2∈M （ T,≤）， v1和 v2都是不可比较的.

设 E 为 （ T,≤ ） 的一条边， E 在 （ T ,≤ ） 中的上顶点为 vE. 设

我们称 SE为与E 相关的枝. 这样有限树（ T ,≤ ）可以写成所有枝的成对不相交并集，其中包含 vT的一个枝与 ［ 0,1］ 等距且同构于单位区间 ［ 0,1］ ，其他的都等距且同构于半开半闭单位区间 ［ 0,1） . 对于 T 中任意的顶点v，任意的枝S ，有v ∈ S，则当t ∈ S或t ∈B （ v,1）时，v 与t 是可以比较的.

在文献[18]中，作者考虑了上述偏序 ≤ 的有限树T ，证明了 ↓ C （X , （ T,≤ ））的稠密性及其闭包表达形式.

2 定义和定理

在本文中， X = ［ 0,1］=I，T =（ T,≤）是有限树. 对于有限树T 以及A ⊂ T，设A 为 A 的基数，V （ T）为T 中顶点的集合. 如果顶点v 在T 中与k 个枝连接，那么顶点v 称为k 阶的，其中k ∈ℕ. 在本文中，T 中任意非端点的顶点的阶数都大于或等于3. 此外，本文只讨论偏序≤下的T ，因此我们把

现在介绍一些本文需要用到的定义和定理.

由文献[18]的引理1、引理8、引理12、引理14和引理15，我们有以下定理.

定理1对带有度量d 的有限树T ，以及上一节定义的序≤，令 v 是最大元. 我们有以下事实：

3 广义模糊函数空间的收敛性质

我们需要引理1 和引理2 来证明主定理.

引理1令，以及

证明显然1）是正确的，现在证明2）和3）.

情况1对于任意充分大的，存在使得是不可比较的. 因为v 是顶点，所以

由上述定理和引理证明主定理.

证明我们考虑以下情况.

由定理5，只需证明情况2.1 和情况2.2.