广义模糊函数空间的收敛性质

2022-06-02 13:05杨寒彪文钊颖林文辉
关键词:广义度量顶点

杨寒彪,文钊颖,林文辉

(五邑大学 数学与计算科学学院,广东 江门 529020)

1 引言及预备知识

设 (P, ≤ ) 是一个偏序集,且d 是P 中的一个度量. 如果由d 导出的拓扑与 (P, ≤ ) 上的区间拓扑一致,我们称(P, ≤ ,d)为偏序度量空间,视紧度量偏序空间(P, ≤,d)为一种广义的单元空间.

对于紧度量空间(X ,d )以及空间(P, ≤ ,d),我们视由X 到P 的连续函数为广义模糊函数,用C (X , P ) 表示由X 到P 的所有广义模糊连续函数集合全体. 对于任意 f ∈C (X , P) ,令 ↓ f= { ( x ,p)∈X × P :p ≤ f ( x )} ,称其为 f 的超图. 那么, ↓ C (X ,T ) = {↓ f :f 是 从 X 到T 的连 续函 数 } 可视为广义模糊函数空间. 设 C ld (X × P)为X × P中带有Hausdorff度量的所有非空闭集的全体,即对于A, B ∈ C ld(X × P),dH(A,B ) = m in {δ: A ⊂Bd(B , δ),B ⊂Bd(A,δ)} , 其 中 d (( x , p ) , (x ′ , p ′ )) = m ax { d (x , x ′ ) ,d (p , p ′)}. 那 么(Cld ( X × P ), dH)是紧度量空间. 对于一个拓扑空间X (不一定是紧的或可度量的)和一个拓扑偏序集P,假设τ 是 C ld (X × P)中的一个拓扑, A 是一个从X 到P 的所有映射之集的子集,且对于任意f ∈ A都满足 ↓ f ∈ C ld (X × P). 由 ( Cld(X × P ),τ)的子空间,我们可以得到一个函数空间 ↓ Aτ.

许多文章研究过空间 ↓ Aτ,见文献[1-9]. 特别地,文献[4]给出了具有Fell拓扑的所有连续映射↓ CF(X ,ℝ )可度量化的充要条件,其中ℝ 是用通常拓扑和序设置的实数集. 此外,许多论文在不同情况下使用无限维拓扑工具,以确定这些空间的拓扑结构. 例如,知名的Curtis-Schori-West超空间定理提到 ↓ USC (X , { 0 ,1} {0 }) 同胚于Hilbert立方体 Q = [ -1 ,1]ω(用 ↓ USC (X , { 0 ,1} {0 }) ≈ Q 表示)当d H d H且仅当X 是一个非退化的Peano连续统,其中 { 0,1} 是具有离散拓扑的两点集且0 ≤ 1,USC (X , {0 ,1})是从 X 到 { 0,1} 的所有上半连续映射的集合以及0是常值0映射,参见文献[10]和[11,定理8.4.5]. 文献[12]证明了↓USCF(X , {0 ,1})≈ Q 当且仅当X 是一个局部紧、局部连通以及没有紧分量的可分的度量空间.文献[13-17]给出了所有度量函数空间 ↓ CF( X,I ) 的拓扑分类,其中X 是可度量的,且 I= [ 0,1]具有通常拓扑和序. 文献[18]证明了对于每一个非退化的Peano连续统X 以及每一个具有n 个枝(或n 条边){S1, S2, …, Sn} 的 有 限 树T , 都 有 ↓ C (X , ( T , ≤ ))≈ ⊕in=1↓ C UB ( Si) , 其 中 CUB ( Si)= { f ∈ C (X , T ):max f ( X) ∈Si}. 此外,每个 ↓ C UB ( Si)都是可缩的空间.

显然,对于任意 v1,v2∈M ( T,≤), v1和 v2都是不可比较的.

设 E 为 ( T,≤ ) 的一条边, E 在 ( T ,≤ ) 中的上顶点为 vE. 设

我们称 SE为与E 相关的枝. 这样有限树( T ,≤ )可以写成所有枝的成对不相交并集,其中包含 vT的一个枝与 [ 0,1] 等距且同构于单位区间 [ 0,1] ,其他的都等距且同构于半开半闭单位区间 [ 0,1) . 对于 T 中任意的顶点v,任意的枝S ,有v ∈ S,则当t ∈ S或t ∈B ( v,1)时,v 与t 是可以比较的.

在文献[18]中,作者考虑了上述偏序 ≤ 的有限树T ,证明了 ↓ C (X , ( T,≤ ))的稠密性及其闭包表达形式.

2 定义和定理

在本文中, X = [ 0,1]=I,T =( T,≤)是有限树. 对于有限树T 以及A ⊂ T,设A 为 A 的基数,V ( T)为T 中顶点的集合. 如果顶点v 在T 中与k 个枝连接,那么顶点v 称为k 阶的,其中k ∈ℕ. 在本文中,T 中任意非端点的顶点的阶数都大于或等于3. 此外,本文只讨论偏序≤下的T ,因此我们把

现在介绍一些本文需要用到的定义和定理.

由文献[18]的引理1、引理8、引理12、引理14和引理15,我们有以下定理.

定理1对带有度量d 的有限树T ,以及上一节定义的序≤,令 v 是最大元. 我们有以下事实:

3 广义模糊函数空间的收敛性质

我们需要引理1 和引理2 来证明主定理.

引理1令,以及

证明显然1)是正确的,现在证明2)和3).

情况1对于任意充分大的,存在使得是不可比较的. 因为v 是顶点,所以

由上述定理和引理证明主定理.

证明我们考虑以下情况.

由定理5,只需证明情况2.1 和情况2.2.

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