初中数学教学中逆向思维的培养

杨杰

摘要：逆向思维是创造性思维的一个组成部分，也是进行思维训练的载体，培养学生逆向思维过程也是培养学生思维敏捷性、拓展学生思维视野的过程。本课例通过提公因式法分解因式教学过程，试图培养学生的逆向思维。

关键词：逆向思维;数学教学;数学思维;因式分解;提公因式法

一、设计背景及问题分析

因式分解需要把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，如果从运算角度上考虑，实际上就是把一个表示和的形式，改变式子的结构，写成乘积的形式，但要保持两者仍相等，这样的变形过程与整式乘法之间是互逆的关系.因此，分解因式的变形正是体现了逆向思维的过程，所以我以本节课为课例进行探索研究数学教学中逆向思维的培养过程。

二、培养逆向思维的教学设计

（一）理解公式的形成過程

因式分解的原理来自多项式乘法，比如（a+b）（a-b）=a2-b2 和a2-b2=（a+b）（a-b）是一种逆向变形的关系.教学过程中，既要引导学生借助正向思维去获得公式，掌握其规律，也要让学生通过“瓜”来找“藤”，做到来去自如.

对于提取公因式法的学习，我这样操作：

1.让学生写出：a（m+n+q）=am+an+aq，然后利用等式的特征写出am+an+aq=a（m+n+q）.

2.我可以借助数形结合的方法展示如图，从而很快让学生理解：am+an+aq=a（m+n+q）

3.通过比喻的方式让记住这两个公式的表达形式：a（m+n+q）=am+an+aq——假如a前去某公司（括号正代表公司的房子）参观，正好遇到了过去的朋友m，n，q三人都在这家公司工作，于是a分别与这三人握手示好;am+an+aq=a（m+n+q）——握手并在这家公司办完事情后，a离开了这家公司，所以a已经在括号（公司）的外面了，而原来与他握手的三人还在括号里面.

4.计算25×4+25×34+25×2，在实践中理解这表示4个25相加，34个25相加，2个25相加，所以一共是40个25相加，与以原式等于40×25，这样就促进了理解.

5.归纳提取公因式法.

6.加强实战训练，尝试练习提取公因式法.

（二）利用等式性质，作出逆向思考

从命题的角度分析，一个原命题的命题可以是真命题也可以是假命题，比如对于平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2来说，它只是一种整式乘法的形式，表述成语言就是两数和与之两数差的乘积等于这两数的平方差，那么“如果两数写成平方差的形式，其结果是否等于两数之和与两数之差的积呢？”有的学生想当然地说这是成立的，理由呢，大家就会一筹莫展，而事实上，a=b成立，b=a就是成立的，用反证法也能证明它.学生就接触过这样的例子：因为|5|=5、|-5|=5，所以绝对值等于5的数有5与-5.但同样5=|5|还是成立的，这里要防止是的把调换两式位置两种情况与原逆命题混为一谈.比如对于平方差公式的思考方法：因为（a+b）（a-b）=a2-b2，所以等式a2-b2=（a+b）（a-b）右边部分等于a2-b2，与左边完全一样，所以a2-b2=（a+b）（a-b）成立.也可以运用反证法思考（学生还没有学习过，但其逻辑常识是早已被学生所接受的）：如果a2-b2≠（a+b）（a-b），那么根据（a+b）（a-b）=a2-b2，替换上以后出现a2-b2≠a2-b2的情况，这说明前边的假设是错误的，故a2-b2=（a+b）（a-b）.

三、课堂实践

【实践过程】

2019年4月26日，八年级4班。

通过教室电子录课设备录下整节课的教学过程，课下与本组老师交流课堂中的关键环节，如提取公因式法概念的获取效果和运用逆向思维解题的正确率。

【片段描述】

师： 分解因式  5a2x+10ay-25a3xy

生：先统观全局，适当变化，发现可以逆用分配律，而“a2”与“a3”逆用同底数幂的乘法am·an=am+n，可变成“a·a”与“a·a2”，便于寻找公因式：

解：5a2x+10ay-25a3xy

=5a·ax+5a·2y-5a·5a2xy

=5a（ax+2y-5a2xy）

师：试说明993-99能被100整除

生：993可以逆用同底数幂的乘法法则变成99×992，然后逆用分配律将99×992-99进行分解。

解：993-99

=99×992-99×1

=99×（992-1）

=99×9800

=99×98×100

所以，993-99能被100整除

四、研究结论

在两轮课堂实践后，从课堂观察员教师的观察事实和微测评数据，验证了逆向思维对知识获取的重要性，如果在学习分配律、乘法公式、幂的运算性质时，多进行些逆向思维训练，那么在学因式分解时，就显得容易多了。

参考文献：

[1]马建林.新课标下初中数学教学逆向思维的开发与探索[J].数学学习与研究，2021（10）：2.

[2]王国森.初中数学教学中学生逆向思维的培养策略[J].知识窗 2021（16）：3.