求解含参二次函数最值问题的步骤

李令军

含参二次函数最值问题比较常见，通常要求求含参二次函数在给定区间或实数集R上的最值.由于问题中涉及参数，所以解答此类问题通常需要利用分类讨论思想来对参数进行分类讨论，进而求得函数的最值.

而对于含参二次函数在给定区间上的最值问题，需要讨论函数图象的对称轴与定义域的位置关系，以便利用二次函数的单调性求函数的最值.

求二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）在区间[m，n]上的最值的步骤如下：

3.画出相应的函数图象，结合图象寻找取得最值的点，并求得最值.

（1）若a>0，则函数图象的开口向上，

（1）若a<0，则函数图象的开口向下，

下面举例说明.

例1.求f（x）=ax²-2x在0≤x≤1上的最小值.

解（1）当a=0时，f（x）=-2x为一次函数，在[0，1]上单调递减，

所以f（x）_min=f（1）=-2，即函数的最小值为-2.

所以f（x）在[0，1]上单调递减，

所以f（x）_min=f（1）=a-2，即函数的最小值为a-2.

所以f（x）=ax²-2x在[0，1]上单调递减，

所以f（x）_min=f（1）=a-2，即函数的最小值为a-2.

本题中a为参数，需利用分类讨论思想，分a=0、a>0、a<0三种情况进行讨论.尤其要注意a=0的情形，此时函数为一次函数，需利用一次函数的单调性来求最值.当a>0、a<0時，函数为二次函数，再利用分类讨论思想讨论对称轴与定义域[0，1]的位置关系，结合二次函数的图象，即可判断出函数的单调性，根据函数的单调性便能求得函数的最值.

例2.已知函数f（x）=ax²+2ax+1在区间[-1，2]上有最大值4，求实数a的值.

解：f（x）=ax²+2ax+1=a（x+1）²+1-a.

可知其图象的对称轴为x=-1，在[-1，2]的左侧，

（1）当a=0时，f（x）=1，函数无最大值，

所以a=0不符合题意，舍去;

（2）当a>0时，函数f（x）图象的开口向上，在区间[-1，2]上单调递增，

所以函数的最大值为f（2）=8a+1=4

（3）当a<0时，函数f（x）图象的开口向下，在区间[-1，2]上单调递减，

所以函数f（x）最大值为f（-1）=1-a=4，解得a=-3.

本题中函数的对称轴和定义域固定，而函数的开口方向不确定，所以只需讨论a>0，a<0时函数的单调性，即可解题.若函数的定义域中含有参数，则需根据参数的取值确定定义域端点值的大小，进而将其与函数图象的对称轴进行比较，以确定定义域与函数图象的对称轴的位置关系，判断函数的单调性.

可见，解答含参二次函数最值问题，往往要灵活运用分类讨论思想和数形结合思想，这样能有效地提升解题的效率.在运用分类讨论思想解题时，要注意两点：一是对二次项的系数进行讨论;二是要对对称轴与定义域的位置关系进行讨论.而结合二次函数的图象来分析函数的对称轴与所给区间之间的位置关系，往往能达到事半功倍的效果.