李海艳
直线与圆锥曲线问题具有较强的综合性,且运算量较大,侧重于考查直线的方程、直线的斜率、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式、圆锥曲线的方程、平面几何图形的性质等.常见的命题形式有求直线的斜率、求直线的方程、求圆锥曲线的方程、判断直线与圆锥曲线的位置关系、求圆锥曲线中弦的长度等.本文主要探讨下列三类直线与圆锥曲线问题的解法.
一、直线的斜率问题
解:设点A(x1,y1),B(x2,y2),
因为直线y=kx-1与y轴交于点P,
所以点P(0,-1)
消去y得(3+4k2)x2-8kx-8=0,Δ>0
则(-x1,-1-y1)=3(x2,y2+1)
所以x1=-3x2
设出直线与圆锥曲线的两个交点的坐标,将直线和椭圆的方程联立,通过消元,构造关于x的一元二次方程,即可根据韦达定理建立方程,通過解方程即可求得直线的斜率.求直线的斜率,需重点研究直线与圆锥曲线的方程以及交点的坐标.
二、弦中点问题
∵AB的中点为M(-4,1)
∴x1+x2=-8,y1+y2=2
∴正确答案为选项C.
该题是与弦中点有关的圆锥曲线离心率问题,需首先设出交点A和B的坐标,将其代入椭圆的方程中并作差,求得直线的斜率的表达式,便可根据中点的坐标建立关于a、b的等式,求得椭圆的离心率.运用点差法解答中点弦问题,关键是将两个交点的坐标代入圆锥曲线的方程中,并作差,据此建立关系式.
三、弦长问题
(1)求椭圆M的方程;
(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
综上可见,无论是求直线的斜率、解答中点弦问题,还是解答弦长问题,都需重点研究直线与圆锥曲线的方程,可将两个方程联立,构造一元二次方程,也可将交点的坐标代入圆锥曲线的方程,并将两个方程作差.