高中数学综合训练（五）

王琪

一、选择题

A.3B.4C.7D.8

A.-1B.1C.3D.-3

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

4.已知数列{a_n}为等差数列，S_n为其前n项和，a₆+a₃-a₅=3，则S₇=（）.

A. 42B. 21C.7D.3

5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图（图1）和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生，图2），则下列结论中不一定正确的氏（）.

A.互联网行业从业人员中90后占一半以上

B.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80 后多

C.互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80 前多

D.互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%

7.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）=2x，那么f（log₂3）的值为（）.

8.如图3，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的桿）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为（）.

10.已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，点H为BF的中点，有下述四个结论：

①DE⊥BF;

②EF与CH所成角为60°;

③EC⊥平面DBF;

④BF与平面ACFE所成角为45°.

其中所有正确结论的编号是（）.

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

12.已知球O是正四面体A-BCD的外接球，BC=2，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是（）.

二、填空题

16.若有且仅有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线y=x³+ax上，则实数a=________.

三、解答题

17.等差数列{a_n}的公差为2，a₂，a₄，a₈分别为等比数列{b_n}的第2项，第3项，第4项.

（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式;

18.如图6，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC-c=2b.

（1）求角A的大小;

（1）若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC;

20.东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力.某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元;超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元;超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元;超过24小时，按前述标准重新计费.上述标准不足一小时的按一小时计费.为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：

以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率.

（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的2×2列联表：

完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？

（2）（i）X表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望E（X）;

（ii）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，ξ表示3辆车中停车费用大于E（X）的车辆数，求P（ξ≥2）的概率.

四、选考题

（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程;

（1）解不等式f（x）≤1;

参考答案与解析

一、选择题

1-12DDABBDDACBCA

二、填空题

三、解答题

17.【解析】（1）依题意得：b₃²=b₂b₄，

所以（a₁+6）²=（a₁+2）（a₁+14），

所以a₁²+12a₁+36=a₁²+16a₁+28，解得a₁=2.

则a_n=2n.

设等比数列{b_n}的公比为q，

又b₂=a₂=4，所以b_n=4×2^n-2=2ⁿ.

（2）由（1）知，a_n=2n，b_n=2ⁿ.

又当n=1时，c₁=a₁b₂=2³不满足上式，

数列{c_n}的前2020项的和S₂₀₂₀=8+2×2³+3×2⁴+…+2020×2²⁰²¹，

设T₂₀₂₀=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+2019×2²⁰²⁰+2020×2²⁰²¹③，

则2T₂₀₂₀=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+2019×2²⁰²¹+2020×2²⁰²²④，

③-④得：-T₂₀₂₀=2²+2³+2⁴+…+2²⁰²¹-2020×2²⁰²²

所以T₂₀₂₀=2019×2²⁰²²+4

所以S₂₀₂₀=T₂₀₂₀+4=2019×2²⁰²²+8.

18.【解析】（1）因為2acosC-c=2b，

根据正弦定理，得2sinAcosC-sinC=2sinB，

即2sinAcosC-sinC=2sin（A+C），

所以2sinAcosC-sinC=2sinAcosC+2sinCcosA，

整理得-sinC=2sinCcosA，

因为D是AC中点，设AD=x，则AB=2x，

在△ABD中，根据余弦定理，得BD²=AB²+AD²-2AB·ADcosA，

19.【解析】（1）∵点S在底面ABCD上的射影为点O，∴SO⊥平面ABCD，

∴CP⊥SD，同理可得AP⊥SD，

∴SD⊥平面PAC，

∵点P在棱SD上，∴0≤λ≤1，

∴P（-λ，0，1-λ），

令z=λ，可得x=1-λ，

∴存在点P符合题意，点P为棱SD靠近端点S的三等分点.

根据上表数据代入公式可得

所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关.

所以X的分布列为：

四、选考题

21.【解析】（1）对于曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，可得ρ²=4ρcosθ，

所以曲线C的普通方程为（x-2）²+y²=4.

①当x≤-1时，-3≤1恒成立，所以x≤-1;

②当-1

所以-1

③当x≥2时，3≤1显然不成立，所以不合题意：

综上所述，不等式的解集为（-∞，1]